Dạng 3: Sử dụng các phép biến đổi lượng giác khác nhau.
Cách giải: Ở đây ngoài việc vận dụng một cách linh hoạt các công thức biến đổi lượng giác các em học sinh còn cần thiết biết cách định hướng trong phép biến đổi.
Ví dụ 17: Tìm họ nguyên hàm của hàm số:
a) $f(x) = \frac{{\sin x – \cos x}}{{\sin x + \cos x}}.$
b) $f(x) = \frac{{\cos 2x}}{{\sin x + \cos x}}.$
a) Ta có: $F(x) = \int {\frac{{\sin x – \cos x}}{{\sin x + \cos x}}} dx$ $ = – \int {\frac{{d(\sin x + \cos x)}}{{\sin x + \cos x}}} $ $ = – \ln (\sin x + \cos x) + C.$
b) Ta có: $F(x) = \int {\frac{{\cos 2x}}{{\sin x + \cos x}}} dx$ $ = \int {\frac{{{{\cos }^2}x – {{\sin }^2}x}}{{\sin x + \cos x}}} dx$ $ = \int {(\cos x – \sin x)} dx$ $ = \sin x + \cos x + C.$
Ví dụ 18: Tìm nguyên hàm: $I = \int {\frac{{\sin 3x.\sin 4x}}{{\tan x + \cot 2x}}} dx.$
Biến đổi biểu thức dưới dấu tích phân về dạng: $\frac{{\sin 3x.\sin 4x}}{{\tan x + \cot 2x}}$ $ = \frac{{\sin 3x.\sin 4x}}{{\frac{{\cos x}}{{\cos x.\sin 2x}}}}$ $ = \sin 4x.\sin 3x.\sin 2x$ $ = \frac{1}{2}(\cos x – \cos 7x)\sin 2x$ $ = \frac{1}{2}(\sin 2x.\cos x – \cos 7x.\sin 2x)$ $ = \frac{1}{4}(\sin 3x + \sin x – \sin 9x + \sin 5x).$
Khi đó: $I = \frac{1}{4}\int {(\sin x + \sin 3x + \sin 5x – \sin 9x)} dx$ $ = – \frac{1}{4}\left( {\cos x + \frac{1}{3}\cos 3x + \frac{1}{5}\cos 5x – \frac{1}{9}\cos 9x} \right) + C.$
Tổng quát: Các nguyên hàm dạng $\int {{{\sin }^m}} x.{\cos ^n}xdx$ với $m$, $n$ là những số nguyên được tính nhờ các phép biến đổi hoặc dùng công thức hạ bậc.
Cách giải: Ở đây ngoài việc vận dụng một cách linh hoạt các công thức biến đổi lượng giác các em học sinh còn cần thiết biết cách định hướng trong phép biến đổi.
Ví dụ 17: Tìm họ nguyên hàm của hàm số:
a) $f(x) = \frac{{\sin x – \cos x}}{{\sin x + \cos x}}.$
b) $f(x) = \frac{{\cos 2x}}{{\sin x + \cos x}}.$
a) Ta có: $F(x) = \int {\frac{{\sin x – \cos x}}{{\sin x + \cos x}}} dx$ $ = – \int {\frac{{d(\sin x + \cos x)}}{{\sin x + \cos x}}} $ $ = – \ln (\sin x + \cos x) + C.$
b) Ta có: $F(x) = \int {\frac{{\cos 2x}}{{\sin x + \cos x}}} dx$ $ = \int {\frac{{{{\cos }^2}x – {{\sin }^2}x}}{{\sin x + \cos x}}} dx$ $ = \int {(\cos x – \sin x)} dx$ $ = \sin x + \cos x + C.$
Ví dụ 18: Tìm nguyên hàm: $I = \int {\frac{{\sin 3x.\sin 4x}}{{\tan x + \cot 2x}}} dx.$
Biến đổi biểu thức dưới dấu tích phân về dạng: $\frac{{\sin 3x.\sin 4x}}{{\tan x + \cot 2x}}$ $ = \frac{{\sin 3x.\sin 4x}}{{\frac{{\cos x}}{{\cos x.\sin 2x}}}}$ $ = \sin 4x.\sin 3x.\sin 2x$ $ = \frac{1}{2}(\cos x – \cos 7x)\sin 2x$ $ = \frac{1}{2}(\sin 2x.\cos x – \cos 7x.\sin 2x)$ $ = \frac{1}{4}(\sin 3x + \sin x – \sin 9x + \sin 5x).$
Khi đó: $I = \frac{1}{4}\int {(\sin x + \sin 3x + \sin 5x – \sin 9x)} dx$ $ = – \frac{1}{4}\left( {\cos x + \frac{1}{3}\cos 3x + \frac{1}{5}\cos 5x – \frac{1}{9}\cos 9x} \right) + C.$
Tổng quát: Các nguyên hàm dạng $\int {{{\sin }^m}} x.{\cos ^n}xdx$ với $m$, $n$ là những số nguyên được tính nhờ các phép biến đổi hoặc dùng công thức hạ bậc.
