Dạng 2: Tìm nguyên hàm $I = \int {\frac{{dx}}{{\sin x + \sin \alpha }}} .$
Cách giải: Ta thực hiện theo các bước sau:
+ Bước 1: Biến đổi $I$ về dạng: $I = \int {\frac{{dx}}{{\sin x + \sin \alpha }}} $ $ = \frac{1}{2}\int {\frac{{dx}}{{\sin \frac{{x + \alpha }}{2}\cos \frac{{x – \alpha }}{2}}}} .$
+ Bước 2: Áp dụng dạng 1 đã trình bày ở phần trên để tìm nguyên hàm này.
Chú ý: Phương pháp trên cũng được được áp dụng cho các dạng nguyên hàm sau:
+ Nguyên hàm $I = \int {\frac{{dx}}{{\sin x + m}}} $, với $\left| m \right| \le 1.$
+ Nguyên hàm $I = \int {\frac{{dx}}{{\cos x + \cos \alpha }}} $ và $I = \int {\frac{{dx}}{{\cos x + m}}} $ với $\left| m \right| \le 1.$
Ví dụ 2: Tìm họ nguyên hàm của hàm số: $f\left( x \right) = \frac{1}{{2\sin x + 1}}.$
Biến đổi $f\left( x \right)$ về dạng: $f\left( x \right) = \frac{1}{{2\left( {\sin x + \frac{1}{2}} \right)}}$ $ = \frac{1}{2}.\frac{1}{{\sin x + \sin \frac{\pi }{6}}}$ $ = \frac{1}{4}.\frac{1}{{\sin \frac{{6x + \pi }}{{12}}.\cos \frac{{6x – \pi }}{{12}}}}.$
Sử dụng đồng nhất thức: $1 = \frac{{\cos \frac{\pi }{6}}}{{\cos \frac{\pi }{6}}}$ $ = \frac{{\cos \left( {\frac{{6x + \pi }}{{12}} – \frac{{6x – \pi }}{{12}}} \right)}}{{\frac{{\sqrt 3 }}{2}}}$ $ = \frac{2}{{\sqrt 3 }}\cos \left( {\frac{{6x + \pi }}{{12}} – \frac{{6x – \pi }}{{12}}} \right).$
Ta được: $F\left( x \right) = \frac{1}{{2\sqrt 3 }}\int {\frac{{\cos \left( {\frac{{6x + \pi }}{{12}} – \frac{{6x – \pi }}{{12}}} \right)}}{{\sin \frac{{6x + \pi }}{{12}}.\cos \frac{{6x – \pi }}{{12}}}}dx} $ $ = \frac{1}{{2\sqrt 3 }}\int {\frac{{\cos \frac{{6x + \pi }}{{12}}.\cos \frac{{6x – \pi }}{{12}} + \sin \frac{{6x + \pi }}{{12}}\sin \frac{{6x – \pi }}{{12}}}}{{\sin \frac{{6x + \pi }}{{12}}.\cos \frac{{6x – \pi }}{{12}}}}dx} $ $ = \frac{1}{{2\sqrt 3 }}\left[ {\int {\frac{{\cos \frac{{6x + \pi }}{{12}}}}{{\sin \frac{{6x + \pi }}{{12}}}}dx} + \int {\frac{{\sin \frac{{6x – \pi }}{{12}}}}{{\cos \frac{{6x – \pi }}{{12}}}}dx} } \right]$ $ = \frac{1}{{2\sqrt 3 }}\left[ {\ln \left| {\sin \frac{{6x + \pi }}{{12}}} \right| – \ln \left| {\cos \frac{{6x – \pi }}{{12}}} \right|} \right] + C$ $ = \frac{1}{{2\sqrt 3 }}\ln \left| {\frac{{\sin \frac{{6x + \pi }}{{12}}}}{{\cos \frac{{6x – \pi }}{{12}}}}} \right| + C.$
Cách giải: Ta thực hiện theo các bước sau:
+ Bước 1: Biến đổi $I$ về dạng: $I = \int {\frac{{dx}}{{\sin x + \sin \alpha }}} $ $ = \frac{1}{2}\int {\frac{{dx}}{{\sin \frac{{x + \alpha }}{2}\cos \frac{{x – \alpha }}{2}}}} .$
+ Bước 2: Áp dụng dạng 1 đã trình bày ở phần trên để tìm nguyên hàm này.
Chú ý: Phương pháp trên cũng được được áp dụng cho các dạng nguyên hàm sau:
+ Nguyên hàm $I = \int {\frac{{dx}}{{\sin x + m}}} $, với $\left| m \right| \le 1.$
+ Nguyên hàm $I = \int {\frac{{dx}}{{\cos x + \cos \alpha }}} $ và $I = \int {\frac{{dx}}{{\cos x + m}}} $ với $\left| m \right| \le 1.$
Ví dụ 2: Tìm họ nguyên hàm của hàm số: $f\left( x \right) = \frac{1}{{2\sin x + 1}}.$
Biến đổi $f\left( x \right)$ về dạng: $f\left( x \right) = \frac{1}{{2\left( {\sin x + \frac{1}{2}} \right)}}$ $ = \frac{1}{2}.\frac{1}{{\sin x + \sin \frac{\pi }{6}}}$ $ = \frac{1}{4}.\frac{1}{{\sin \frac{{6x + \pi }}{{12}}.\cos \frac{{6x – \pi }}{{12}}}}.$
Sử dụng đồng nhất thức: $1 = \frac{{\cos \frac{\pi }{6}}}{{\cos \frac{\pi }{6}}}$ $ = \frac{{\cos \left( {\frac{{6x + \pi }}{{12}} – \frac{{6x – \pi }}{{12}}} \right)}}{{\frac{{\sqrt 3 }}{2}}}$ $ = \frac{2}{{\sqrt 3 }}\cos \left( {\frac{{6x + \pi }}{{12}} – \frac{{6x – \pi }}{{12}}} \right).$
Ta được: $F\left( x \right) = \frac{1}{{2\sqrt 3 }}\int {\frac{{\cos \left( {\frac{{6x + \pi }}{{12}} – \frac{{6x – \pi }}{{12}}} \right)}}{{\sin \frac{{6x + \pi }}{{12}}.\cos \frac{{6x – \pi }}{{12}}}}dx} $ $ = \frac{1}{{2\sqrt 3 }}\int {\frac{{\cos \frac{{6x + \pi }}{{12}}.\cos \frac{{6x – \pi }}{{12}} + \sin \frac{{6x + \pi }}{{12}}\sin \frac{{6x – \pi }}{{12}}}}{{\sin \frac{{6x + \pi }}{{12}}.\cos \frac{{6x – \pi }}{{12}}}}dx} $ $ = \frac{1}{{2\sqrt 3 }}\left[ {\int {\frac{{\cos \frac{{6x + \pi }}{{12}}}}{{\sin \frac{{6x + \pi }}{{12}}}}dx} + \int {\frac{{\sin \frac{{6x – \pi }}{{12}}}}{{\cos \frac{{6x – \pi }}{{12}}}}dx} } \right]$ $ = \frac{1}{{2\sqrt 3 }}\left[ {\ln \left| {\sin \frac{{6x + \pi }}{{12}}} \right| – \ln \left| {\cos \frac{{6x – \pi }}{{12}}} \right|} \right] + C$ $ = \frac{1}{{2\sqrt 3 }}\ln \left| {\frac{{\sin \frac{{6x + \pi }}{{12}}}}{{\cos \frac{{6x – \pi }}{{12}}}}} \right| + C.$
