Dạng 10: Tìm nguyên hàm: $I = \int {\frac{{dx}}{{a{{\sin }^2}x + b\sin x\cos x + c{{\cos }^2}x}}} .$
Cách giải: Ta thực hiện theo các bước sau:
+ Bước 1: Biến đổi $I$ về dạng: $I = \int {\frac{{dx}}{{\left( {a{{\tan }^2}x + b\tan x + c} \right){{\cos }^2}x}}} .$
+ Bước 2: Thực hiện phép biến đổi: $t = \tan x.$
Suy ra: $dt = \frac{1}{{{{\cos }^2}x}}dx$ và $\frac{{dx}}{{\left( {a{{\tan }^2}x + b\tan x + c} \right){{\cos }^2}x}}$ $ = \frac{{dt}}{{a{t^2} + bt + c}}.$
Khi đó: $I = \int {\frac{{dt}}{{a{t^2} + bt + c}}} .$
Ví dụ 10: Tìm nguyên hàm: $I = \int {\frac{{dx}}{{3{{\sin }^2}x – 2\sin x\cos x – {{\cos }^2}x}}} .$
Sử dụng đẳng thức: $\frac{{dx}}{{{{\cos }^2}x}} = d(\tan x).$
Ta có: $I = \int {\frac{{dx}}{{\left( {3{{\tan }^2}x – 2\tan x – 1} \right){{\cos }^2}x}}} $ $ = \frac{1}{3}\int {\frac{{d(\tan x)}}{{{{\left( {\tan x – \frac{1}{3}} \right)}^2} – \frac{4}{9}}}} $ $ = \frac{1}{3}\int {\frac{{d\left( {\tan x – \frac{1}{3}} \right)}}{{{{\left( {\tan x – \frac{1}{3}} \right)}^2} – \frac{4}{9}}}} $ $ = \frac{1}{4}\ln \left| {\frac{{\tan x – \frac{1}{3} – \frac{2}{3}}}{{\tan x – \frac{1}{3} + \frac{2}{3}}}} \right| + C$ $ = \frac{1}{4}\ln \left| {\frac{{\tan x – 1}}{{3\tan x + 1}}} \right| + C$ $ = \frac{1}{4}\ln \left| {\frac{{\sin x – \cos x}}{{3\sin x + \cos x}}} \right| + C.$
Cách giải: Ta thực hiện theo các bước sau:
+ Bước 1: Biến đổi $I$ về dạng: $I = \int {\frac{{dx}}{{\left( {a{{\tan }^2}x + b\tan x + c} \right){{\cos }^2}x}}} .$
+ Bước 2: Thực hiện phép biến đổi: $t = \tan x.$
Suy ra: $dt = \frac{1}{{{{\cos }^2}x}}dx$ và $\frac{{dx}}{{\left( {a{{\tan }^2}x + b\tan x + c} \right){{\cos }^2}x}}$ $ = \frac{{dt}}{{a{t^2} + bt + c}}.$
Khi đó: $I = \int {\frac{{dt}}{{a{t^2} + bt + c}}} .$
Ví dụ 10: Tìm nguyên hàm: $I = \int {\frac{{dx}}{{3{{\sin }^2}x – 2\sin x\cos x – {{\cos }^2}x}}} .$
Sử dụng đẳng thức: $\frac{{dx}}{{{{\cos }^2}x}} = d(\tan x).$
Ta có: $I = \int {\frac{{dx}}{{\left( {3{{\tan }^2}x – 2\tan x – 1} \right){{\cos }^2}x}}} $ $ = \frac{1}{3}\int {\frac{{d(\tan x)}}{{{{\left( {\tan x – \frac{1}{3}} \right)}^2} – \frac{4}{9}}}} $ $ = \frac{1}{3}\int {\frac{{d\left( {\tan x – \frac{1}{3}} \right)}}{{{{\left( {\tan x – \frac{1}{3}} \right)}^2} – \frac{4}{9}}}} $ $ = \frac{1}{4}\ln \left| {\frac{{\tan x – \frac{1}{3} – \frac{2}{3}}}{{\tan x – \frac{1}{3} + \frac{2}{3}}}} \right| + C$ $ = \frac{1}{4}\ln \left| {\frac{{\tan x – 1}}{{3\tan x + 1}}} \right| + C$ $ = \frac{1}{4}\ln \left| {\frac{{\sin x – \cos x}}{{3\sin x + \cos x}}} \right| + C.$
