Hàm số mũ và hàm số logarit

[Tăng Giáp]

I. HÀM SỐ MŨ
1. Định nghĩa
Cho a > 0, a ≠ 1.
Hàm số $y = {a^x}$
Trong đó a là cơ số của hàm mũ.

VD1: Trong các hàm số sau, hàm số nào là hàm số mũ:
a) $y = {\left( {\sqrt 3 } \right)^x}$
b) $y = {5^{\frac{x}{3}}}$
c) $y = {x^{ - 4}}$
d) $y = {4^{ - x}}$

2. Đạo hàm của hàm số mũ
- $\mathop {\lim }\limits_{t \to 0} \frac{{{e^t} - 1}}{t} = 1$
- ${\left( {{e^x}} \right)^\prime } = {e^x}$;
- ${\left( {{e^u}} \right)^\prime } = {e^u}.{u^\prime }$
- ${\left( {{a^x}} \right)^\prime } = {a^x}\ln a$
- ${\left( {{a^u}} \right)^\prime } = {a^u}\ln a.{u^\prime }$

VD2: Tính đạo hàm:
a) $y = {2^{x + 1}} \Rightarrow {y^\prime } = {2^{x + 1}}.\ln 2$
b) $y = {5^{2{\rm{x}} - 4}} \Rightarrow {y^\prime } = {2.5^{2{\rm{x}} - 4}}.\ln 5$
c) $y = {8^{{x^2} + x}} \Rightarrow {y^\prime } = (2{\rm{x}} + 1){.8^{{x^2} + x}}.\ln 8$
d) $y = {e^{2{\rm{x}} + 1}} \Rightarrow {y^\prime } = 2.{e^{2{\rm{x}} + 1}}$
3. Khảo sát hàm số mũ
$y = {a^x}$ (a > 0, a ≠ 1)
$y = {a^x}$ (0 < a < 1)
- D = R
- ${y^\prime } = {a^x}.\ln a$ < 0, x
- $\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } {a^x} = + \infty ,\,\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {a^x} = 0$'

II. HÀM SỐ LOGARIT
1. Định nghĩa
Cho a > 0, a ≠ 1. Hàm số $y = {\log _a}x$ đgl hàm số logarit cơ số a.

VD1: Tìm tập xác định của các hàm số:
a) $y = {\log _2}(2{\rm{x}} + 1) \Rightarrow $
b) $y = {\log _3}({x^2} - 3{\rm{x}} + 2)$
c) $y = \ln \frac{{ - x - 1}}{{x - 1}}$
d) $y = \lg ({x^2} + x + 1)$

Lời giải​

a) 2x + 1 > 0 => D = $\left( { - \frac{1}{2}; + \infty } \right)$
b) ${x^2} - 3{\rm{x}} + 2 > 0$
=> D = (–∞; 1) $ \cup $ (2; +∞)
c) $\frac{{ - x - 1}}{{x - 1}} > 0$ => D = (–1; 1)
d) ${x^2} + x + 1 > 0$ => D = R

2. Đạo hàm của hàm số logarit
${\left( {{{\log }_a}x} \right)^\prime } = \frac{1}{{x\ln a}}$ với (x > 0)
${\left( {{{\log }_a}u} \right)^\prime } = \frac{{{u^\prime }}}{{u\ln a}}$
Đặc biệt:
- ${\left( {\ln {\rm{x}}} \right)^\prime } = \frac{1}{x}$
- ${\left( {\ln u} \right)^\prime } = \frac{{{u^\prime }}}{u}$

VD2: Tính đạo hàm:
a) $y = {\log _2}(2{\rm{x}} + 1) \Rightarrow {y^\prime } = \frac{2}{{(2{\rm{x}} + 1)\ln 2}}$
b) $y = {\log _3}({x^2} - 3{\rm{x}} + 2) \Rightarrow {y^\prime } = \frac{{2{\rm{x}} - 3}}{{({x^2} - 3{\rm{x}} + 2)\ln 3}}$
c) $y = \ln \frac{{ - x - 1}}{{x - 1}} \Rightarrow {y^\prime } = - \frac{2}{{{x^2} - 1}}$
d) $y = \lg ({x^2} + x + 1) \Rightarrow {y^\prime } = \frac{{2{\rm{x}} + 1}}{{({x^2} + x + 1)\ln 10}}$

 

[Tăng Giáp]

III. VÍ DỤ MINH HỌA


Câu 1:
Tìm tập xác định D của hàm số \(y = {\log _2}\left( {{x^2} - 2x - 3} \right)\).
A. \(D = \left( { - \infty ; - 1} \right) \cup \left( {3; + \infty } \right)\)
B. \(D = \left( { - \infty ; - 1} \right] \cup \left[ {3; + \infty } \right)\)
C. \(D = \left[ { - 1;3} \right]\)
D. \(D = \left( { - 1;3} \right)\)
Hướng dẫn

Spoiler

Điều kiện: \({x^2} - 2x - 3 > 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x < - 1\\ x > 3 \end{array} \right. \Rightarrow D = \left( { - \infty ; - 1} \right) \cup \left( {3; + \infty } \right)\)

Câu 2:
Tập xác định của hàm số \(y = \ln \frac{{{{\left( {2x - 5} \right)}^3}{{\left( {x - 7} \right)}^2}}}{{12 - x}}\) chứa bao nhiêu số nguyên?
A. 8
B. 9
C. 10
D. 11
Hướng dẫn

Spoiler

Hàm số đã cho xác định khi:
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\frac{{{{\left( {2x - 5} \right)}^3}{{\left( {x - 7} \right)}^2}}}{{12 - x}} > 0}\\ {x \ne 12} \end{array}} \right.\) \(\Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {x \ne 7;x \ne \frac{5}{2};x \ne 12}\\ {\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\frac{5}{2} < x < 12}\\ {x > 12;x < \frac{5}{2}\left( l \right)} \end{array}} \right.} \end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {x \ne 7}\\ {\frac{5}{2} < x < 12} \end{array}} \right.} \right.\)
Trong khoảng đó có 8 số nguyên.

Câu 3:
Tính đạo hàm của hàm số f(x)= log3x tại \(x_0=5\).
A. \(f'({x_0}) = \frac{{\ln 3}}{5}\)
B. \(f'({x_0}) = \frac{1}{{5\ln 3}}\)
C. \(f'({x_0}) = \frac{5}{{\ln 3}}\)
D. \(f'({x_0}) = 5\ln 3\)
Hướng dẫn

Spoiler

\(\begin{array}{l} f(x) = {\log _3}x \Rightarrow f'(x) = \frac{1}{{x\ln 3}}\\ \Rightarrow f'(5) = \frac{1}{{5\ln 3}} \end{array}\)

Câu 4:
Tính đạo hàm của hàm số \(y = {\log _{2017}}\left( {{x^2} + 1} \right)\).
A. \(y' = \frac{1}{{{x^2} + 1}}\)
B. \(y' = \frac{1}{{\left( {{x^2} + 1} \right)\ln 2017}}\)
C. \(y' = \frac{{2x}}{{2017}}\)
D. \(y' = \frac{{2x}}{{\left( {{x^2} + 1} \right)\ln 2017}}\)
Hướng dẫn

Spoiler

\(y = {\log _{2017}}\left( {{x^2} + 1} \right) \Rightarrow y' = \frac{{\left( {{x^2} + 1} \right)'}}{{\left( {{x^2} + 1} \right)\ln 2017}} = \frac{{2{\rm{x}}}}{{\left( {{x^2} + 1} \right)\ln 2017}}\)

Câu 5:
Tìm tập xác định D của hàm số \(y = {\log _9}{\left( {x + 1} \right)^2} - \ln \left( {3 - x} \right) + 2\).
A. \(D = \left( {3; + \infty } \right)\)
B. \(D = \left( { - \infty ;3} \right)\)
C. \(D = \left( { - \infty ; - 1} \right) \cup \left( { - 1;3} \right)\)
D. \(D = \left( { - 1;3} \right)\)
Hướng dẫn

Spoiler

Hàm số đã cho xác định khi:
\(\left\{ \begin{array}{l} {\left( {x + 1} \right)^2} \ne 0\\ 3 - x > 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x \ne - 1\\ x < 3 \end{array} \right. \Rightarrow D = \left( { - \infty ; - 1} \right) \cup \left( { - 1;3} \right)\)

Câu 6:
Tính đạo hàm của hàm số \(y = {\log _{2017}}({x^2} + 1)\).
A. \(y' = \frac{{2x}}{{2017}}\)
B. \(y' = \frac{{2x}}{{({x^2} + 1)\ln 2017}}\)
C. \(y' = \frac{1}{{\left( {{x^2} + 1} \right)\ln 2017}}\)
D. \(y' = \frac{1}{{\left( {{x^2} + 1} \right)}}\)
Hướng dẫn

Spoiler

\(y' = \left( {{{\log }_{2017}}\left( {{x^2} + 1} \right)} \right)' = \frac{{2x}}{{\left( {{x^2} + 1} \right)\ln 2017}}\)

Câu 7:
Tính đạo hàm của hàm số \(y = \ln \left| {\sin x} \right|\).
A. \(y' = \ln \left| {\cos x} \right|\)
B. \(y' = \cot x\)
C. \(y' = \tan x\)
D. \(y' = \frac{1}{{\sin x}}\)
Hướng dẫn

Spoiler

Ta có: \(\left( {\ln \left| u \right|} \right)' = \frac{{u'}}{u};\,\,\left( {\sin x} \right)' = \cos x\) ,
Vậy: \(y' = \left( {\ln \left| {\sin x} \right|} \right)' = \frac{{\left( {\sin x} \right)'}}{{\sin x}} = \frac{{\cos x}}{{\sin x}} = {\mathop{\rm cotx}\nolimits}\)

Câu 8:
Tính đạo hàm của hàm số sau: \(y = ln(x^2 + 1) + log_{2}(x^2 - x + 1)\)
A. \(y' = \frac{2x}{x^2 + 1} + \frac{2x - 1}{(x^2 - x + 1) ln2}\)
B. \(y' = \frac{x}{x^2 +1} + \frac{2x - 1}{(x^2 - x + 1) ln2}\)
C. \(y' = \frac{x}{x^2 +1} + \frac{x - 1}{(x^2 - x + 1) ln2}\)
D. \(y' = \frac{2x}{x^2 + 1} + \frac{x - 1}{(x^2 - x + 1) ln2}\)
Hướng dẫn

Spoiler

\(y = ln(x^2 + 1) + log_{2}(x^2 - x + 1)\) ⇒ \(y' = \frac{2x}{x^2 + 1} + \frac{2x - 1}{(x^2 - x + 1) ln2}\)

Câu 9:
Tính đạo hàm của hàm số sau: \(y = \sqrt[3]{ln^2x}\)
A. \(\frac{1}{3x\sqrt[3]{ln \ x}}\)
B. \(\frac{1}{5x\sqrt[3]{ln \ x}}\)
C. \(\frac{2}{x\sqrt[3]{ln \ x}}\)
D. \(\frac{2}{3x\sqrt[3]{ln \ x}}\)
Hướng dẫn

Spoiler

\(y = \sqrt[3]{ln^2x}\) ⇒ \(y' = \frac{2.(ln \ x). \frac{1}{x}}{3\sqrt[3]{ln^4 \ x}} = \frac{2}{3x\sqrt[3]{ln \ x}}\)

Câu 10:
Tìm tập xác định D của hàm số \(y = {\log _2}\left( {{x^2} - 2x} \right)\) .
A. \(\left( {0;2} \right)\)
B. \(\left( { - \infty ;0} \right) \cup \left( {2; + \infty } \right)\)
C. \(\left[ {0;2} \right]\)
D. \(( - \infty ;0] \cup [2; + \infty )\)
Hướng dẫn

Spoiler

Tập xác định của hàm số \(y = {\log _2}\left( {{x^2} - 2x} \right)\)
\({x^2} - 2x > 0 \Leftrightarrow x\left( {x - 2} \right) > 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x < 0\\ x > 2 \end{array} \right.\)
Vậy đáp án đúng là B.

Câu 11
Tìm đạo hàm của hàm số \(y = \log \left( {2{x^2}} \right)\)
A. \(y' = \frac{{2.\ln 10}}{x}\)
B. \(y' = \frac{2}{{x.\ln 10}}\)
C. \(y' = \frac{1}{{2{x^2}.\ln 10}}\)
D. \(\frac{{\ln 10}}{{2{x^2}}}\)
Hướng dẫn

Spoiler

Ta có \(\left( {{{\log }_a}u} \right) = \frac{{u'}}{{u.{\mathop{\rm lna}\nolimits} }}\). Áp dụng vào hàm số trên ta có \(y' = \frac{{4x}}{{2{x^2}.\ln 10}} = \frac{2}{{x.\ln 10}}\)
=> Đáp án B.

Câu 12:
Tập xác định của hàm số \(y = \log \frac{{x - 3}}{{x - 1}}\) là ?
A. \(\left( { - \infty ;1} \right) \cup \left( {3; + \infty } \right)\)
B. \(\left( {3; + \infty } \right)\)
C. \(\left( {1;3} \right)\)
D. R\{1}
Hướng dẫn

Spoiler

Ở đây có 2 điều kiện cần đáp ứng:
1. Điều kiện để hàm phân thức có nghĩa.
2. Điều kiện để hàm log xác định.
Vậy ta có: \(\left\{ \begin{array}{l} x \ne 1\\ \left( {x - 3} \right)\left( {x - 1} \right) > 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x > 3\\ x < 1 \end{array} \right.\)
Đáp án A.

Câu 13
Tìm tập xác định của hàm số \(y = \sqrt {{{\log }_{\frac{1}{3}}}\left( {x - 3} \right) - 1}\).
A. \(D = \left[ {3;\frac{{10}}{3}} \right)\)
B. \(D = \left( {3;\frac{{10}}{3}} \right]\)
C. \(D = \left( { - \infty ;\frac{{10}}{3}} \right]\)
D. \(D = \left( {3; + \infty } \right)\)
Hướng dẫn

Spoiler

ĐK: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {x - 3 > 0}\\ {{{\log }_{\frac{1}{3}}}\left( {x - 3} \right) \ge 1} \end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {x > 3}\\ { - {{\log }_3}\left( {x - 3} \right) \ge 1} \end{array}} \right.\)
\(\Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {x > 3}\\ {{{\log }_3}\left( {x - 3} \right) \le - 1} \end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {x > 3}\\ {x - 3 \le {3^{ - 1}}} \end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {x > 3}\\ {x \le \frac{{10}}{3}} \end{array}} \right.} \right.\)
\(x \in \left( {3;\frac{{10}}{3}} \right]\). Đáp án B.

Câu 14
Tính đạo hàm của hàm số \(f\left( x \right) = \ln \left( {x + \sqrt {{x^2} + 1} } \right)\) .
A. \(f'\left( x \right) = \frac{1}{{x + \sqrt {{x^2} + 1} }}\)
B. \(f'\left( x \right) = \frac{1}{{\sqrt {{x^2} + 1} }}\)
C. \(f'\left( x \right) = \frac{{1 + \sqrt {{x^2} + 1} }}{{2\left( {x + \sqrt {{x^2} + 1} } \right)}}\)
D. \(f'\left( x \right) = \frac{{1 + \sqrt {{x^2} + 1} }}{{x + \sqrt {{x^2} + 1} }}\)
Hướng dẫn

Spoiler

Ta có: \(f'\left( x \right) = \frac{{1 + \frac{{2x}}{{2\sqrt {{x^2} + 1} }}}}{{x + \sqrt {{x^2} + 1} }} = \frac{{\frac{{\sqrt {{x^2} + 1} + x}}{{\sqrt {{x^2} + 1} }}}}{{x + \sqrt {{x^2} + 1} }} = \frac{1}{{\sqrt {{x^2} + 1} }}\)

Câu 15
Gọi \(T = \frac{1}{{\frac{1}{{{{\log }_a}x}} + \frac{1}{{{{\log }_b}x}} + \frac{1}{{{{\log }_c}x}} + \frac{1}{{{{\log }_d}x}}}}\), với a, b, c, x thích hợp để biểu thức có nghĩa. Đẳng thức nào sau đây là sai?
A. \(T = {\log _{abcd}}x\)
B. \(T = loa{g_x}\left ( abcd \right )\)
C. \(T = \frac{1}{{{{\log }_x}\left ( abcd \right )}}\)
D. \(T = \frac{1}{{{{\log }_x}a + {{\log }_x}b + {{\log }_x}c + {{\log }_x}d}}\)
Hướng dẫn

Spoiler

Các công thức cần nhớ:
\(\frac{1}{{{{\log }_a}b}} = {\log _b}a{\rm{ }}\left( 1 \right)\)
Công thức \({\log _a}x + {\log _a}y = {\log _a}\left ( xy \right )\left( 2 \right)\)
Áp dụng vào bài toán này.
Ta có \(T = \frac{1}{{{{\log }_x}a + {{\log }_x}b + {{\log }_x}c + {{\log }_x}d}}\) (áp dụng công thức (1)). Vậy ý D đúng.
\(T= \frac{1}{{{{\log }_x}\left ( abcd \right )}}\) (áp dụng công thức (2)). Vậy ý C đúng.
\(T={\log _{abcd}}x\) (áp dụng công thức(1) ). Vậy ý A đúng.
Chỉ còn lại ý B. Vậy chúng ta chọn B.

Câu 16
Tìm tập xác định của hàm số \(f(x) = {\log _{\sqrt 2 }}\sqrt {x + 1} - {\log _{\frac{1}{2}}}\left( {3 - x} \right) - {\log _8}{\left( {x - 1} \right)^3}\).
A. \(D = \left( {1;3} \right)\)
B. \(D = \left( {-1;1} \right)\)
C. \(D = \left( {-\infty ;3} \right)\)
D. \(D = \left( 1;{+\infty } \right)\)
Hướng dẫn

Spoiler

\(\begin{array}{l} \left\{ \begin{array}{l} x + 1 > 0\\ 3 - x > 0\\ x - 1 > 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x > - 1\\ x < 3\\ x > 1 \end{array} \right. \Leftrightarrow 1 < x < 3\\ \Rightarrow D = \left( {1;3} \right) \end{array}\)

Câu 17
Tính đạo hàm của hàm số \(f(x) = (3 + \ln x)\ln x\).
A. \(f'(x) = 1\)
B. \(f'(x) = \left( {3 + \frac{1}{x}} \right).\frac{1}{x}\)
C. \(f'(x) = \frac{{3 + 2\ln x}}{x}\)
D. \(f'(x) = \frac{{ - 2 - \ln x}}{x}\)
Hướng dẫn

Spoiler

\(f'(x) = \left( {3 + \ln x} \right)'\ln x + \left( {\ln x} \right)'\left( {3 + \ln x} \right) = \frac{1}{x}\ln x + \frac{1}{x}(3 + \ln x) = \frac{{3 + 2\ln x}}{x}\)

Câu 18
Cho hàm số \(f(x) = \ln \left( {2008x - {x^2}} \right)\). Giải bất phương trình \(f'(x) > 0.\)
A. x<1004
B. 0<x<1004
C. x>2008
D. 0<x<2008
Hướng dẫn

Spoiler

Điều kiện: \(2008x - {x^2} > 0 \Leftrightarrow 0 < x < 2008\)
\(f'(x) = \frac{{2008 - 2x}}{{2008x - {x^2}}} > 0 \Leftrightarrow 2008 - 2x > 0 \Leftrightarrow x < 1004\)
Kết hợp điều kiện: 0<x<1004

Câu 19
Tìm tập xác định D của hàm số \(y = {\log _2}( - {x^2} + 5x - 6)\).
A. \(D=\left( {2;3} \right)\)
B. \(D=\left( { - \infty ;2} \right)\)
C. \(D=\left( {3; + \infty } \right)\)
D. \(D=\left( { - \infty ;2} \right) \cup \left( {3; + \infty } \right)\)
Hướng dẫn

Spoiler

Điều kiện: \(- {x^2} + 5x - 6 > 0 \Leftrightarrow 2 < x < 3\)
Suy ra: TXĐ: \(D = \left( {2;3} \right)\)

Câu 20
Tìm tập xác định D của hàm số \(y = \sqrt {\ln x + 2}\).
A. \(D=\left[ {{e^2}; + \infty } \right)\)
B. \(D=\left[ {\frac{1}{{{e^2}}}; + \infty } \right)\)
C. \(D=\left( {0; + \infty } \right)\)
D. D=8
Hướng dẫn

Spoiler

Điều kiện xác đinh của hàm số \(y = \sqrt {\ln x + 2}\) là \(\ln x + 2 \ge 0 \Rightarrow \ln x \ge - 2 \Rightarrow x \ge \frac{1}{{{e^2}}}\)

Câu 21
Cho hai hàm số \(y = {a^x}\) và \(y = {\log _a}x\) (với \(a > 0,a \ne 1\)). Khẳng định nào sau đây là sai?
A. Hàm số \(y = {\log _a}x\) có tập xác định là \(\left( {0; + \infty } \right)\)
B. Đồ thị hàm số \(y = {a^x}\) nhận trục Ox làm đường tiệm cận ngang
C. Hàm số \(y = {a^x}\) và \(y = {\log _a}x\) nghịch biến trên mỗi tập xác định tương ứng của nó khi \(0 < a < 1\)
D. Đồ thị hàm số \(y = {\log _a}x\) nằm phía trên trục Ox.
Hướng dẫn

Spoiler

Hàm số \(y = {\log _a}x\) có tập xác định là \(\left( {0; + \infty } \right)\)
Đồ thị hàm số \(y = {a^x}\) nhận Ox làm tiệm cận ngang vì \(\mathop {\lim {a^x}}\limits_{x \to - \infty } = 0\) nếu a>1 và \(\mathop {\lim {a^x}}\limits_{x \to + \infty } = 0\) nếu 0<a<1.
Hàm số \(y = {a^x}\) và \(y = {\log _a}x\) nghịch biến trên tập xác định khi 0<a<1 vì \(({a^x})' = {a^x}\ln a < 0,\forall a \in \left( {0;1} \right)\) và \(\left( {{{\log }_a}x} \right)' = \frac{1}{{x\ln a}} < 0,\forall x > 0,a \in \left( {0;1} \right)\).
Đồ thị hàm số \(y = {\log _a}x\) có hai phần nằm phía trên và phía dưới Ox, nên D sai.

Câu 22
Chọn khẳng định sai trong các khẳng định sau.
A. \(lnx > 0 \Leftrightarrow x > 1\)
B. \(log_{2}x < 0 \Leftrightarrow 0 < x < 1.\)
C. \({\log _{\frac{1}{2}}}x < {\log _{\frac{1}{2}}}y \Leftrightarrow x > y > 0.\)
D. \({\log _{\frac{1}{3}}}x > {\log _{\frac{1}{3}}}y \Leftrightarrow x > y > 0.\)
Hướng dẫn

Spoiler

Do cơ số \(a = \frac{1}{3}<1\) nên \({\log _{\frac{1}{3}}}x > {\log _{\frac{1}{3}}}y \Leftrightarrow 0 < x < y.\)+ \(f(x) = \left[ {\log 100(x - 3)} \right]\) có cơ số 10>1, nên hàm số đồng biến trên \((3; + \infty )\).
+ \(\log \left[ {100(x - 3)} \right] = log100 + log(x - 3) = 2 + log(x - 3)\) với x>3.
+ Khi \(x = 4 \Rightarrow \log \left[ {100(x - 3)} \right] = 2\), vậy đồ thị hàm số đi qua điểm (4;2).
+ \(f(x) = \log \left[ {100(x - 3)} \right]\) có tập xác định \(D = \left( {3; + \infty } \right)\).