Dạng 2: Phương trình giao thoa sóng cơ

[Doremon]

1.Phương pháp

• Giả sử hai nguồn sóng có phương trình lần lượt là: $ {u_1} = a\cos \left( {\omega t + {\varphi _1}} \right)$ và ${u_2} = a\cos \left( {\omega t + {\varphi _2}} \right)$
• Khi đó tại điểm M trong trường giao thoa nhận được đồng thời hai sóng do hai nguồn truyền tới: ${u_{AM}} = a\cos \left( {\omega t + {\varphi _1} - 2\pi \frac{{{d_1}}}{\lambda }} \right)\,$ và ${u_{BM}} = a\cos \left( {\omega t + {\varphi _2} - 2\pi \frac{{{d_2}}}{\lambda }} \right)$
• Phương trình dao động tổng hợp tại M: $u = 2A\cos \left[ {\frac{{\pi \left( {{d_2} - {d_1}} \right)}}{\lambda } + \frac{{{\varphi _1} - {\varphi _2}}}{2}} \right].\cos \left( {\omega t - \pi \frac{{{d_1} + {d_2}}}{\lambda } + \frac{{{\varphi _1} + {\varphi _2}}}{2}} \right)$

Lưu ý:

• Biên độ dao động: ${A_M} = 2A\left| {\cos \left[ {\frac{{\pi \left( {{d_2} - {d_1}} \right)}}{\lambda } + \frac{{{\varphi _1} - {\varphi _2}}}{2}} \right].} \right|$
• Pha ban đầu: ${{\varphi _M} = - \pi \frac{{{d_1} + {d_2}}}{\lambda } + \frac{{{\varphi _1} + {\varphi _2}}}{2}}$

2. Vận dụng

Ví dụ 1:
Cho phương trình dao động của hai nguồn A và B trên mặt nước đều là u = acosωt. Biên độ sóng do A và B truyền đi đều bằng 1mm. Vận tốc truyền sóng là 3 m/s. M cách A và B lần lượt là ${d_1}$ = 2m và ${d_2}$ = 2,5 m. Tần số dao động là 40 Hz. Viết phương trình dao động tại M do mỗi nguồn A và B truyền tới.
A. x = cos(πt/20 – π) mm
B. x = cos(πt/20 ) mm
C. x = 0,5cos(πt/20 – π) mm
D. x = 0,5cos(πt/20 + π/2) mm

Lời giải​

• Phương trình dao động tại M có dạng tổng quát: $u = 2A\cos \left[ {\frac{{\pi \left( {{d_2} - {d_1}} \right)}}{\lambda } + \frac{{{\varphi _1} - {\varphi _2}}}{2}} \right].\cos \left( {\omega t - \pi \frac{{{d_1} + {d_2}}}{\lambda } + \frac{{{\varphi _1} + {\varphi _2}}}{2}} \right)$
• Theo đề, ta có: $\left\{ \begin{array}{l}a = 1mm\\v = 3\frac{m}{s}\\{d_1} = 2m\\{d_2} = 2,5m\\f = 40Hz\end{array} \right. \to \lambda = \frac{v}{f} = 0,075m = 7,5cm$

+ Vì hai nguồn dao động giống hệt nhau nên: $u = 1.\cos \left( {\frac{\pi }{{20}}t - 60\pi } \right)mm = \cos \left( {\frac{\pi }{{20}}t} \right)mm$
Chọn A

Ví dụ 2:
Có hai nguồn dao động kết hợp ${S_1}$ và ${S_2}$ trên mặt nước có phương trình dao động lần lượt là ${u_{s1}} = 2\cos \left( {10\pi t - \frac{\pi }{4}} \right)mm$ và ${u_{s2}} = 2\cos \left( {10\pi t + \frac{\pi }{4}} \right)mm.$ Tốc độ truyền sóng trên mặt nước là 10 cm/s. Xem biên độ của sóng không đổi trong quá trình truyền đi. Điểm M trên mặt nước cách ${S_1}$ khoảng ${S_1}M$ = 10 cm và ${S_2}$ khoảng ${S_2}M$ = 6 cm. Viết phương trình dao động tại điểm M
A. u = $2\sqrt 2 $cos10πt mm
B. u = 4cos(10πt + π/2)mm
C. u = 4cos(10πt – π/2)mm
D. u = 2cos10πt mm

Lời giải​

$\left\{ \begin{array}{l}
a = 2\\
\lambda = \frac{v}{f} = \frac{{10}}{5} = 2cm\\
{\varphi _1} = - \frac{\pi }{4}\\
{\varphi _2} = \frac{\pi }{4}\\
{d_1} = 10cm\\
{d_2} = 6cm
\end{array} \right. \to u = 2.2\cos \left[ {\frac{{\pi \left( {6 - 10} \right)}}{2} + \frac{{ - \frac{\pi }{4} - \frac{\pi }{4}}}{2}} \right].\cos \left( {10\pi t - \pi \frac{{6 + 10}}{2} + \frac{{ - \frac{\pi }{4} + \frac{\pi }{4}}}{2}} \right) = 2\sqrt 2 .\cos \left( {10\pi t} \right)mm$
Chọn A.

Ví dụ 3:
Tại ${S_1},\,{S_2}$ trên mặt chất lỏng ta tạo ra hai dao động điều hòa giống nhau với phương trình ${u_1} = {u_2} = $ 2cos(100πt ) cm. Cho rằng sóng truyền đi với biên độ không đổi và bước sóng là 12cm. M là một điểm trên mặt chất lỏng ấy cách ${S_1},\,{S_2}$ lần lượt ${S_1}$= 14cm và ${S_2}$= 16cm. Biên độ sóng tổng hợp tại M do hai sóng truyền tới là
A. $\sqrt 3 $ cm
B. $2\sqrt 3 $ cm
C. 2cm
D. 4cm

Lời giải​

• Độ lệch pha của hai sóng tại M là $\Delta \varphi = \frac{{2\pi }}{\lambda }\left( {{d_2} - {d_1}} \right) = \frac{\pi }{3}$
  
• Biên độ dao động tổng hợp tại M là ${A_M} = 2A\left| {\cos \frac{{\Delta \varphi }}{2}} \right| = 2\sqrt 3 \left( {cm} \right)$

Chọn B