Mũ, Lũy thừa và Lôgarit là một nội dung mới và lạ đối với hs. Nhớ các công thức logarit, công thức mũ hay công thức lũy thừa ở sách giáo khoa còn nhiều khó khăn đối với đa số học sinh mới tiếp cận nên bài này sẽ hệ thống đầy đủ và chi tiết:
I. Công thức mũ và lũy thừa
Tính chất: Khi các lũy thừa và căn đã xác định
II. Công thức logarit đầy đủ
Công thức Logarit là chủ đề quan trọng nên bạn cần phải nhớ kĩ và vận dụng thành thạo. Sau đây là toàn bộ chi tiết về công thức Logarit mà bạn cần biết để áp dụng và học tốt.
* Chú ý: ĐK để lôgarit có nghĩa là: Cơ số lớn hơn 0 và khác 1. Biểu thức dưới dấu lôgarit phải lớn hơn 0.
1. \({\log _a}1 = 0,\,{\log _a}a = 1\)
2. ${\log _a}{a^m} = m$
3. ${a^{{{\log }_a}b}} = b$
4. ${\log _a}(x.y) = {\log _a}x + {\log _a}y$
5. ${\log _a}(\frac{x}{y}) = {\log _a}x - {\log _a}y$, ${\log _a}(\frac{1}{y}) = - {\log _a}y$
6. ${\log _a}(\frac{x}{y}) = - {\log _a}(\frac{y}{x})$
7. ${\log _a}{x^\alpha } = \alpha {\log _a}x$, ${\log _a}{x^2} = 2{\log _a}\left| x \right|$
8. ${\log _{{a^\alpha }}}x = \frac{1}{\alpha }{\log _a}x$, ${\log _{{a^\beta }}}{x^\alpha } = \frac{\alpha }{\beta }{\log _a}x$
9. $\lg b = \log b = {\log _{10}}b$ ( logarit thập phân)
10. $\ln b = {\log _e}b,$ ( e = 2,718…..) ( logarit tự nhiên hay loga Nêpe)
Các công thức logarit đổi cơ số thường dùng
Đạo hàm của hàm số sơ cấp
Đạo hàm mũ
Đạo hàm mũ
\({\left( {u.v} \right)^,} = {u^,}.v + u.{v^,}\)
\({\left( {\frac{u}{v}} \right)^,} = \frac{{{u^,}.v - u.{v^,}}}{{{v^2}}}\)
\({\left( {\frac{1}{x}} \right)^,} = - \frac{1}{{{x^2}}}\), \({\left( {\frac{1}{v}} \right)^,} = - \frac{{{v^,}}}{{{v^2}}}\)
\({\left( {\sqrt x } \right)^,} = \frac{1}{{2\sqrt x }}\), \({\left( {\sqrt u } \right)^,} = \frac{{{u^,}}}{{2\sqrt u }}\)
IV .CÁC DẠNG CƠ BẢN CỦA PHƯƠNG TRÌNH , BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LÔGARIT.
a) $0 < a \ne 1\quad \quad {a^{f(x)}} = {a^{g(x)}}\quad \Leftrightarrow \quad f(x) = g(x)$
${\log _a}f(x) = {\log _a}g(x)\quad \Leftrightarrow \quad \left\{ \begin{array}{l}f(x) > 0\;\,\;hay\quad (g(x) > 0)\\f(x) = g(x)\end{array} \right.$
b) $a > 1\quad \quad \quad {a^{f(x)}} > {a^{g(x)}}\quad \Leftrightarrow \quad f(x) > g(x)$
${\log _a}f(x) > {\log _a}g(x)\quad \Leftrightarrow \quad f(x) > g(x) > 0$
c) $0 < a < 1\quad \quad {a^{f(x)}} > {a^{g(x)}}\quad \Leftrightarrow \quad f(x) < g(x)$
${\log _a}f(x) > {\log _a}g(x)\quad \Leftrightarrow \quad 0 < f(x) < g(x)$
* So sánh:
+) a > 1 : ${a^\alpha } > {a^\beta }\; \Leftrightarrow \;\alpha > \beta $
+) 0 < a < 1 : ${a^\alpha } > {a^\beta }\; \Leftrightarrow \;\alpha < \beta $
+) Với $0 < a < b$, \(m \in Z\) thì : ${a^m} < {b^m}\; \Leftrightarrow \;m > 0$
${a^m} > {b^m}\; \Leftrightarrow \;m < 0$
+) Với $a < b$,\(n \in N\) lẻ thì: ${a^n} < {b^n}\;$
+) Với $a,b > 0$, $n \in {\mathbb{Z}^*}$ thì: ${a^n} = {b^n}\; \Leftrightarrow \;a = b$
+) $a > 1\;:{\log _a}b > {\log _a}c \Leftrightarrow b > c$
${\log _a}b > 0 \Leftrightarrow b > 1$
+) $0 < a < 1:{\log _a}b > {\log _a}c \Leftrightarrow b < c$
${\log _a}b > 0 \Leftrightarrow b < 1$
+) ${\log _a}b = {\log _a}c \Leftrightarrow b = c$
V. Hàm số mũ, hàm số logarit
+) Hàm số mũ: \(y = {a^x}\)(a>0), đồng biến khi a>1, nghịch biến khi 0<a<1
Áp dụng khi so sánh: +) a>1: \({x_1} > {x_2}\) thì \({a^{{x_1}}} > {a^{{x_2}}}\)
+) 0<a<1: \({x_1} > {x_2}\)thì \({a^{{x_1}}} < {a^{{x_2}}}\)
+) Hàm số logarit: \(y = {\log _a}x\) ( \(0 < a \ne 1,\,x > 0\) ), đồng biến khi a>1, nghịch biến khi 0<a<1
Áp dụng khi so sánh: +) a>1: \({x_1} > {x_2}\) thì \({\log _a}{x_1} > {\log _a}{x_1}\)
+) 0<a<1: \({x_1} > {x_2}\)thì \({\log _a}{x_1} < {\log _a}{x_1}\)
VI. Công thức lãi kép.
1. Gửi A đồng, lãi xuất r/1 kì hạn. Sau n kì hạn thu được bao nhiêu đồng? \(T = A{(1 + r)^n}\)
2. Gửi A đồng, kì hạn m tháng với lãi xuất r/1 tháng. Sau n kì hạn thu được bao nhiêu đồng? \(T = A{(1 + m.r)^n}\)
3. Vay A đồng, lãi xuất r/ 1 tháng. Từ tháng thứ 2 trả đều đặn vào cuối mỗi tháng m đồng. Sau n tháng hết nợ. Hỏi mỗi tháng trả bao nhiêu tiền? \(m = \frac{{A.r.{{\left( {1 + r} \right)}^n}}}{{{{\left( {1 + r} \right)}^n} - 1}}\)
4. Gửi A đồng, lãi xuất r/ 1 kì hạn. Sau bao nhiêu kì hạn(N) thì có B đồng? \(N = \frac{{\log B - \log A}}{{\log (1 + r)}}\)
5. Mỗi tháng gửi đều đặn A đồng vào đầu tháng, với lãi xuất r/ 1 tháng ( lãi kép). Số tiền thu được sau n tháng. \(T = \frac{{A(1 + r)}}{r}\left[ {{{\left( {1 + r} \right)}^n} - 1} \right]\)
I. Công thức mũ và lũy thừa
Tính chất: Khi các lũy thừa và căn đã xác định
II. Công thức logarit đầy đủ
Công thức Logarit là chủ đề quan trọng nên bạn cần phải nhớ kĩ và vận dụng thành thạo. Sau đây là toàn bộ chi tiết về công thức Logarit mà bạn cần biết để áp dụng và học tốt.
* Chú ý: ĐK để lôgarit có nghĩa là: Cơ số lớn hơn 0 và khác 1. Biểu thức dưới dấu lôgarit phải lớn hơn 0.
1. \({\log _a}1 = 0,\,{\log _a}a = 1\)
2. ${\log _a}{a^m} = m$
3. ${a^{{{\log }_a}b}} = b$
4. ${\log _a}(x.y) = {\log _a}x + {\log _a}y$
5. ${\log _a}(\frac{x}{y}) = {\log _a}x - {\log _a}y$, ${\log _a}(\frac{1}{y}) = - {\log _a}y$
6. ${\log _a}(\frac{x}{y}) = - {\log _a}(\frac{y}{x})$
7. ${\log _a}{x^\alpha } = \alpha {\log _a}x$, ${\log _a}{x^2} = 2{\log _a}\left| x \right|$
8. ${\log _{{a^\alpha }}}x = \frac{1}{\alpha }{\log _a}x$, ${\log _{{a^\beta }}}{x^\alpha } = \frac{\alpha }{\beta }{\log _a}x$
9. $\lg b = \log b = {\log _{10}}b$ ( logarit thập phân)
10. $\ln b = {\log _e}b,$ ( e = 2,718…..) ( logarit tự nhiên hay loga Nêpe)
Các công thức logarit đổi cơ số thường dùng
- ${\log _a}b = \frac{{{{\log }_c}b}}{{{{\log }_c}a}}$ hay ${\log _c}a.{\log _a}b = {\log _c}b$
- ${\log _a}b = \frac{{\ln b}}{{\ln a}}$
- ${\log _a}b = \frac{{\lg b}}{{\lg a}}$
- ${\log _a}b = \frac{1}{{{{\log }_b}a}}$ hay ${\log _a}b.{\log _b}a = 1$
- ${a^{{{\log }_b}c}} = {c^{{{\log }_b}a}}$
Đạo hàm của hàm số sơ cấp
Đạo hàm mũ
- $({e^x})' = {e^x}$
- $({a^x})' = {a^x}.\ln a$
- $({x^\alpha })' = \alpha .{x^{\alpha - 1}}\quad (\alpha \ne 0,\;x > 0)$
- $(\sqrt[n]{x})' = \frac{1}{{n\,\sqrt[n]{{{x^{n - 1}}}}}}$
- $({\log _a}\left| x \right|)' = \frac{1}{{{a^x}\ln a}}$
- $(\ln \left| x \right|)' = \frac{1}{x}$
Đạo hàm mũ
- $({e^u})' = u'.{e^u}$
- $({a^u})' = u'.{a^u}.\ln a$
- $({u^\alpha })' = \alpha .{u^{\alpha - 1}}\,u'$
- $(\sqrt[n]{u})' = \frac{{u'}}{{n.\,\sqrt[n]{{{u^{n - 1}}}}}}$
- $(\ln \left| u \right|)' = \frac{{u'}}{u}$
- $({\log _a}\left| u \right|)' = \frac{{u'}}{{u.\ln a}}$
\({\left( {u.v} \right)^,} = {u^,}.v + u.{v^,}\)
\({\left( {\frac{u}{v}} \right)^,} = \frac{{{u^,}.v - u.{v^,}}}{{{v^2}}}\)
\({\left( {\frac{1}{x}} \right)^,} = - \frac{1}{{{x^2}}}\), \({\left( {\frac{1}{v}} \right)^,} = - \frac{{{v^,}}}{{{v^2}}}\)
\({\left( {\sqrt x } \right)^,} = \frac{1}{{2\sqrt x }}\), \({\left( {\sqrt u } \right)^,} = \frac{{{u^,}}}{{2\sqrt u }}\)
IV .CÁC DẠNG CƠ BẢN CỦA PHƯƠNG TRÌNH , BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LÔGARIT.
a) $0 < a \ne 1\quad \quad {a^{f(x)}} = {a^{g(x)}}\quad \Leftrightarrow \quad f(x) = g(x)$
${\log _a}f(x) = {\log _a}g(x)\quad \Leftrightarrow \quad \left\{ \begin{array}{l}f(x) > 0\;\,\;hay\quad (g(x) > 0)\\f(x) = g(x)\end{array} \right.$
b) $a > 1\quad \quad \quad {a^{f(x)}} > {a^{g(x)}}\quad \Leftrightarrow \quad f(x) > g(x)$
${\log _a}f(x) > {\log _a}g(x)\quad \Leftrightarrow \quad f(x) > g(x) > 0$
c) $0 < a < 1\quad \quad {a^{f(x)}} > {a^{g(x)}}\quad \Leftrightarrow \quad f(x) < g(x)$
${\log _a}f(x) > {\log _a}g(x)\quad \Leftrightarrow \quad 0 < f(x) < g(x)$
* So sánh:
+) a > 1 : ${a^\alpha } > {a^\beta }\; \Leftrightarrow \;\alpha > \beta $
+) 0 < a < 1 : ${a^\alpha } > {a^\beta }\; \Leftrightarrow \;\alpha < \beta $
+) Với $0 < a < b$, \(m \in Z\) thì : ${a^m} < {b^m}\; \Leftrightarrow \;m > 0$
${a^m} > {b^m}\; \Leftrightarrow \;m < 0$
+) Với $a < b$,\(n \in N\) lẻ thì: ${a^n} < {b^n}\;$
+) Với $a,b > 0$, $n \in {\mathbb{Z}^*}$ thì: ${a^n} = {b^n}\; \Leftrightarrow \;a = b$
+) $a > 1\;:{\log _a}b > {\log _a}c \Leftrightarrow b > c$
${\log _a}b > 0 \Leftrightarrow b > 1$
+) $0 < a < 1:{\log _a}b > {\log _a}c \Leftrightarrow b < c$
${\log _a}b > 0 \Leftrightarrow b < 1$
+) ${\log _a}b = {\log _a}c \Leftrightarrow b = c$
V. Hàm số mũ, hàm số logarit
+) Hàm số mũ: \(y = {a^x}\)(a>0), đồng biến khi a>1, nghịch biến khi 0<a<1
Áp dụng khi so sánh: +) a>1: \({x_1} > {x_2}\) thì \({a^{{x_1}}} > {a^{{x_2}}}\)
+) 0<a<1: \({x_1} > {x_2}\)thì \({a^{{x_1}}} < {a^{{x_2}}}\)
+) Hàm số logarit: \(y = {\log _a}x\) ( \(0 < a \ne 1,\,x > 0\) ), đồng biến khi a>1, nghịch biến khi 0<a<1
Áp dụng khi so sánh: +) a>1: \({x_1} > {x_2}\) thì \({\log _a}{x_1} > {\log _a}{x_1}\)
+) 0<a<1: \({x_1} > {x_2}\)thì \({\log _a}{x_1} < {\log _a}{x_1}\)
VI. Công thức lãi kép.
1. Gửi A đồng, lãi xuất r/1 kì hạn. Sau n kì hạn thu được bao nhiêu đồng? \(T = A{(1 + r)^n}\)
2. Gửi A đồng, kì hạn m tháng với lãi xuất r/1 tháng. Sau n kì hạn thu được bao nhiêu đồng? \(T = A{(1 + m.r)^n}\)
3. Vay A đồng, lãi xuất r/ 1 tháng. Từ tháng thứ 2 trả đều đặn vào cuối mỗi tháng m đồng. Sau n tháng hết nợ. Hỏi mỗi tháng trả bao nhiêu tiền? \(m = \frac{{A.r.{{\left( {1 + r} \right)}^n}}}{{{{\left( {1 + r} \right)}^n} - 1}}\)
4. Gửi A đồng, lãi xuất r/ 1 kì hạn. Sau bao nhiêu kì hạn(N) thì có B đồng? \(N = \frac{{\log B - \log A}}{{\log (1 + r)}}\)
5. Mỗi tháng gửi đều đặn A đồng vào đầu tháng, với lãi xuất r/ 1 tháng ( lãi kép). Số tiền thu được sau n tháng. \(T = \frac{{A(1 + r)}}{r}\left[ {{{\left( {1 + r} \right)}^n} - 1} \right]\)
Chỉnh sửa cuối:
