Bước 1: Tìm tập xác định của hàm số Bước 2:Tìm y’ và lập phương trình y’ = 0 tìm nghiệm ( nếu có thì ghi ra nếu vô nghiệm thì nêu vô nghiệm – vì chủ yếu là để Tìm dấu của y’ sử dụng trong bảng biến thiên Bước 3:Chỉ cần tìm giới hạn của số hạng có mũ cao nhất, ở đây là tìm $\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } {x^3} = ??$ hoặc $\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } ( - {x^3}) = ??$ Bước 4:BBT luôn gồm có “ 3 dòng”: dành cho x, y’ và y Bước 5:Phải nêu điểm cực đại; điểm cực tiểu (nếu không có thì không nêu ra) (Điểm uốn cần thiết khi giúp vẽ đồ thị của hàm số không cực trị) Bước 6:Vẽ đồ thị cần thực hiện theo thứ tự gợi ý sau:
Vẽ hệ trục tọa độ Oxy
Xác định các điểm cực đại, cực tiểu, điểm uốn, giao điểm với Ox,Oy
Nhận xét hàm số có bao nhiêu dạng đồ thị và áp dụng dạng đồ thị phù hợp cho bài toán của mình (tham khảo các dạng đồ thị ở sau mỗi dạng hàm số)
VẬN DỤNG Ví dụ 1: Khảo sát hàm số :y = x$^3$ + 3x$^2$ – 4.
Giải
Bước 1: Tập xác định D = R Bước 2: y’ = 3x$^2$ + 6x
y’ = 0 ↔ 3x$^2$ + 6x = 0 ↔x(3x + 6) = 0 ↔ x = 0; x = - 2 Bước 3: Giới hạn: $\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = + \infty ;\,\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = - \infty $ Bước 4: Lập bảng biến thiên
Bước 5:
Điểm cực đại: x = - 2 ; y = 0
Điểm cực tiểu: x = 0; y = -4
y’’ = 6x + 6
y’’ = 0 ↔ 6x + 6 = 0 ↔ x = 1 ( điểm uốn I(1;-2)) Bước 6:
Đồ thị hàm số:
Giao điểm với Ox:
y = 0 →x = -2; x = 1
Giao điểm với Oy:
x = 0 → y = - 4
Câu 1
Đồ thị nào sau đây là đồ thị của hàm số đồng biến trên (1;2)
A. (1), (2) và (4)
B. (1) và (3)
C. (3) và (2)
D. (4) và (3)
Hướng dẫn
Đáp án (1) (2) (4)
Câu 2
Cho hàm số có đồ thị dưới đây
Phát biểu nào sau đây là đúng?
A. Hàm số đồng biến trên \(\left( { - \infty ; - 1} \right) \cup \left( {1; + \infty } \right)\) và nghịch biến trên (-1; 1)
B. Hàm số đồng biến trên \(\left( { - \infty ; - 1} \right) ; \left( {1; + \infty } \right)\) và nghịch biến trên (-1; 1)
C. Hàm số nghịch biến trên \(\left( { - \infty ; - 1} \right) \cup \left( {1; + \infty } \right)\) và đồng biến trên (-1; 1)
D. Hàm số nghịch biến trên R \ (-1; 1)
Hướng dẫn
Hàm số đồng biến trên \((-\infty ;-1);(1;+\infty )\)
Hàm số nghịch biến trên (-1; 1)
Câu 3
Cho hàm số có đồ thị dưới đây
Phát biểu nào sau đây là đúng?
A. Giá trị cực đại của hàm số là x = - 1
B. Giá trị lớn nhất của hàm số là 4
C. Hàm số đạt cực đại tại x = -1 và đạt cực tiểu tại x = 1
D. Hàm số đạt cực tiểu tại x = -1 và đạt cực đại tại x = 0
Hướng dẫn
Hàm số đạt cực đại tại x = -1
Hàm số đạt cực trị tại x = 1
Gía trị cực đại 4, giá trị cực tiểu 0
Câu 4
Quan sát các đồ thị và cho biết trong các phát biểu sau, phát biểu nào là sai?
A. Hàm số có đồ thị (1) đồng biến trên \(\left( { - \infty ; - 1} \right) \cup \left( {1; + \infty } \right).\)
B. Hàm số có đồ thị (2) đồng biến trên R
C. Hàm số có đồ thị (3) nghịch biến trên R
D. Hàm số có đồ thị (4) nghịch biến trên các khoảng \(\left( { - \infty ; - 1} \right);\left( {0;1} \right)\)
Hướng dẫn
Đáp án A
Câu 5
Đồ thị dưới đây là đồ thị của một trong các hàm số đã chỉ ra trong các phương án A, B, C, D. Hỏi đó là đồ thị của hàm số nào?
A. y=-x3
B. y=x3
C. y=x4
D. y=-x2
Hướng dẫn
\(y=x^3\)
Câu 6
Đồ thị dưới đây là đồ thị của một trong các hàm số đã chỉ ra trong các phương án A, B, C, D. Hỏi đó là đồ thị của hàm số nào?
A. \(y = x{\left( {x - 3} \right)^2}.\)
B. \(y = {x^4} - 9{x^2}\)
C. \(y = \frac{{x(x - 3)}}{{x - 1}}\)
D. \(y = - x{\left( {x - 3} \right)^2}.\)
Hướng dẫn
\(y=x(x-3)^2\)
Câu 7
Điều kiện để đồ thị hàm số bậc ba \(y = a{x^3} + b{x^2} + cx + d,a \ne 0\) cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt là
A. \(\left\{ \begin{array}{l} {b^2} - 3{\rm{a}}c > 0\\ {y_{C{\rm{D}}}}.{y_{CT}} > 0 \end{array} \right.\)
B. \(\left\{ \begin{array}{l} {b^2} - 3{\rm{a}}c < 0\\ {y_{C{\rm{D}}}}.{y_{CT}} < 0 \end{array} \right.\)
C. \(\left\{ \begin{array}{l} {b^2} - 3{\rm{a}}c < 0\\ {y_{C{\rm{D}}}}.{y_{CT}} > 0 \end{array} \right.\)
D. \(\left\{ \begin{array}{l} {b^2} - 3{\rm{a}}c > 0\\ {y_{C{\rm{D}}}}.{y_{CT}} < 0 \end{array} \right.\)
Hướng dẫn
\(y=ax^3 +bx^2+cx+d \ \ (a\neq 0)\) cắt Ox tại 3 điểm phân biệt
\(\left\{\begin{matrix} \Delta y'>0\\ y_{CD}.y_{CT}<0 \end{matrix}\right.\)
Câu 8
Các số a, b, c cần thỏa mãn điều kiện gì dưới đây để đồ thị hàm số \(y = a{x^3} + b{x^2} + cx + d\) có hình dạng như sau
A. \(\left\{ \begin{array}{l} a > 0\\ {b^2} - 3{\rm{a}}c > 0 \end{array} \right.\)
B. \(\left\{ \begin{array}{l} a < 0\\ {b^2} - 3{\rm{a}}c > 0 \end{array} \right.\)
C. \(\left\{ \begin{array}{l} a > 0\\ {b^2} - 3{\rm{a}}c < 0 \end{array} \right.\)
D. \(\left\{ \begin{array}{l} a < 0\\ {b^2} - 3{\rm{a}}c < 0 \end{array} \right.\)
Câu 11
Cho đồ thị hàm số y = f(x) như hình dưới đây.
Trong các đồ thị ở các phương án A, B, C, D đồ thị nào là đồ thị của hàm số y =|f(x)|
A.
B.
C.
D.
Hướng dẫn
\((C_1) \ y=\left | f(x) \right |\)
\(=\left\{\begin{matrix} f(x) \ neu \ f(x)\geqslant 0\\ -f(x) \ neu \ f(x)< 0 \end{matrix}\right.\)
Đáp án B
Câu 12
Cho đồ thị hàm số y = f(x) như hình dưới đây
Trong các đồ thị ở các phương án A, B, C, D đồ thị nào là đồ thị của hàm số y = f(|x|)
A.
B.
C.
D.
Hướng dẫn
(C2) y = f(|x|) là hàm số chẵn
Đồ thị nhận Oy làm trục đối xứng
\(x\geqslant 0 f(|x|)=f(x)\)
\(x<0\), \(f(|x|)=f(|-x|)\) lấy đối xứng phần đồ thị bên của tương ứng với \(x\geq 0\) qua trục Oy.
Đáp án D
Câu 13
Cho đồ thị hàm số y = f(x) như hình dưới đây.
Trong các đồ thị ở các phương án A, B, C, D đồ thị nào là đồ thị của hàm số y = |f(|x|)|
A.
B.
C.
D.
Hướng dẫn
\((C_3) \ y=\left | f(|x|) \right |=\left\{\begin{matrix} f(|x|)) \ \ f(|x|)) \geqslant 0\\ -f(|x|)) \ \ f(|x|))<0 \end{matrix}\right.\)
(C3)
+ Phần đồ thị (C2) ở phía trên Ox
+ Lấy đối xứng phần đồ thị (C2) ở dưới Ox qua Ox
Đáp án A
Câu 14
Cho đồ thị hàm số y=f(x) như hình dưới đây.
Giá trị m để đường thẳng y = m cắt đồ thị hàm số y = f(|x|) tại 2 điểm phân biệt là.
A. m = - 2,m > 2
B. m = - 2,m = 2
C. m \(\geq\) 2
D. m \(\geq\) -2
Hướng dẫn
y = f(|x|) là hàm số chẵn
Đồ thị nhận Oy làm trục đối xứng
\(x\geqslant 0 f(|x|)=f(x)\)
\(x<0\), \(f(|x|)=f(|-x|)\) lấy đối xứng phần đồ thị bên của tương ứng với \(x\geq 0\) qua trục Oy.
Vậy ta được đồ thị hàm số y = f(|x|) là:
dựa vào đồ thị ta thấy đồ thị hàm số y = |f(x)| cắt đường thẳng y = m tại 2 điểm phân biệt khi m=-2 và m>2
Câu 15
Cho đồ thị hàm số y = f(x) như hình dưới đây.
Giá trị m để đường thẳng y = m cắt đồ thị hàm số y=|f(|x|)| tại 4 điểm phân biệt là.
A. - 2 < m < 2
B. m=2
C. m=0
D. m=2, m=0
Hướng dẫn
y = m cắt \(y=\left | |x^3| - 3x^2+2 \right |\) tại 4 điểm phân biệt
m = 0
Đáp án C
Chú ý:
đường thẳng y = m là đường thẳng vuông góc Oy tại điểm có tung độ B
Tìm m để số nghiệm \(\left | |x^3| - 3x^2+2 \right |=m\) là 4
Câu 16
Cho các dạng đồ thị của hàm số \(y=ax^3+bx^2+cx+d\) như sau:
Và các điều kiện:
\(1.\left\{\begin{matrix} a>0 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \\ b^2-3ac>0 \end{matrix}\right.\) \(2.\left\{\begin{matrix} a>0 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \\ b^2-3ac<0 \end{matrix}\right.\)
\(3.\left\{\begin{matrix} a<0 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \\ b^2-3ac>0 \end{matrix}\right.\) \(4.\left\{\begin{matrix} a<0 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \\ b^2-3ac<0 \end{matrix}\right.\)
Hãy chọn sự tương ứng đúng giữa các dạng đồ thị và điều kiện.
A. A→ 2;B →4;C →1;D→ 3
B. A →3;B →4;C → 2;D →1
C. A →1;B →3;C → 2;D →4
D. A →1;B → 2;C → 3;D → 4
Hướng dẫn
Chọn A.
Câu 17
Đường cong bên là đồ thị của một hàm số trong bốn hàm số được liệt kể ở bốn phương án A, B, C, D. Hỏi đó là hàm số nào?
A. \(y = - {x^3} + 3{x^2} - 1\)
B. \(y = - {x^4} + 2{x^2} + 2\)
C. \(y = {x^4} + 2{x^2} + 2\)
D. \(y = {x^3} + 3{x^2} + 1\)
Hướng dẫn
Nhận thấy đây là đồ thị hàm bậc ba nên ta có thể loại ngay đáp án B và C.
Để so sánh giữa ý A và D thì chúng ta cùng đến với bảng tổng quát các dạng đồ thị của hàm bậc 3
\(y = a{x^3} + b{x^2} + cx + d,\left( {a \ne 0} \right)\)( đã được đề cập ở trang 35 SGK cơ bản)
Nhìn vào bảng ta nhận thấy với ý D có hệ số \(a = 1 > 0\) nên đúng dạng đồ thị ta chọn đáp án D.
Câu 18
Kết luận nào sau đây là không đúng về đồ thị hàm số \(y = a{x^3} + b{x^2} + cx + d\left( {a \ne 0} \right)\)?
A. Đồ thị hàm số bậc ba luôn cắt trục hoành tại ít nhất một điểm.
B. Đồ thị hàm số bậc ba nhận điểm có hoành độ là nghiệm của phương trình y''=0 làm tâm đối xứng.
C. Nếu phương trình y'=0 có 2 nghiệm phân biệt thì đồ thị hàm số bậc ba có 1 điểm cực đại, 1 điểm cực tiểu.
D. Đồ thị hàm số bậc ba không có điểm cực trị khi và chỉ khi phương trình y'=0 vô nghiệm.
Hướng dẫn
Mệnh đề D là mệnh đề sai vì:
Ta thấy nếu phương trình y'=0 vô nghiệm thì đồ thị hàm số bậc ba đúng là không có điểm cực trị, nhưng đó có phải là toàn bộ trường hợp có thể xảy ra hay không? Không, vì nếu phương trình y'=0 có nghiệm kép thì đồ thị hàm số bậc ba cũng không có điểm cực trị. (Như bảng trang 35 SGK)
Câu 19
Tìm toạ độ tâm đối xứng của đồ thị hàm số \(y = {x^3} - 3x + 5\).
A. (0;5)
B. (1;3)
C. (-1;1)
D. Không có điểm uốn.
Câu 20
Những mệnh đề nào sau đây là mệnh đề đúng?
(1) Nếu hàm số f(x) đạt cực đại tại x0 thì x0 được gọi là điểm cực đại của hàm số.
(2) Cho hàm số f(x) là hàm số bậc 3, nếu hàm số có cực trị thì đồ thị hàm số cắt trục Ox tại 3 điểm phân biệt.
(3) Cho hàm số f(x) là hàm số bậc 3, nếu đồ thị hàm số cắt trục Ox tại duy nhất một điểm thì hàm số không có giá trị cực trị.
A. (1)
B. (2)
C. (1);(2)
D. (2);(3)
Hướng dẫn
Với mệnh đề (1): đây là mệnh đề đúng, ta cùng nhớ lại chú ý trang 14 sách giáo khoa cơ bản nhé:
“Nếu hàm số f(x) đạt cực đại (cực tiểu) tại x0 thì x0 được gọi là điểm cực đại (điểm cực tiểu) của hàm số; f(x0) được gọi là giá trị cực đại (giá trị cực tiểu) của hàm số, kí hiệu là fCĐ(fCT), còn điểm \(M\left( {{x_0};f\left( {{x_0}} \right)} \right)\) được gọi là điểm cực đại (điểm cực tiểu) của đồ thị hàm số.”
Chú ý tránh nhầm các khái niệm: “điểm cực đại của hàm số”, “điểm cực đại của đồ thị hàm số”. “giá trị cực đại”, …
Với mệnh đề (2): Ta nhận thấy đây là mệnh đề sai, ta chỉ lấy đơn cử ví dụ như hình vẽ sau đây:
Đồ thị hàm số ở hình vẽ có 2 điểm cực trị nhưng chỉ cắt trục Ox tại duy nhất 1 điểm, nên kết luận này là sai.
Với mệnh đề (3): Ta cũng nhìn vào hình vẽ đã lấy làm ví dụ minh họa ở mệnh đề 2 để nhận xét rằng đây là mệnh đề sai.
Vây đáp án đúng của chúng ta là A: có 1 mệnh đề đúng.
Câu 21
Cho hàm số y=f(x) có bảng biến thiên sau:
Với giá trị nào của m thì phương trình f(x)=m có 3 nghiệm phân biệt?
A. \(1 \le m \le 5\)
B. \(1 < m < 5\)
C. \(m \le 1\) hoặc\(m \ge 5\)
D. \(m <1\) hoặc \(m >5\)
Hướng dẫn
Phương trình \(f(x) = m\) là phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số y = f(x) (có BBT như trên) và đường thẳng có phương trình \(y=m\).
Dựa vào BBT ta có phương trình \(f(x) = m\) có 3 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi 1<m<5.
Câu 22
Đường cong trong hình bên là đồ thị của một hàm số trong bốn hàm số được liệt kê ở bốn phương án A, B, C, D dưới đây. Hỏi hàm số đó là hàm số nào?
Hướng dẫn
+ Đây là đồ thị hàm số bậc ba, dựa vào hình dáng đồ thị ta thấy hệ số của \(x^3\) là số dương (hàm số tăng từ âm vô cực) nên loại phương án A và B.
+ Với phương án C và D ta kiểm tra giao điểm của đồ thị hàm số với trục tung, trục hoành, tọa độ các điểm cực trị, ta thấy D là phương án đúng vì:
\(y = f(x) = x{(x + 3)^2} + 4 = {x^3} + 6{x^2} + 9x + 4\)
\(y' = 3{x^2} + 12x + 9 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = - 1 \Rightarrow y = 0}\\ {x = - 3 \Rightarrow y = 4} \end{array}} \right.\)
+ Đồ thị hàm số có tọa độ điểm cực đại là (-3;4), tọa độ điêm cực tiểu là (-1;0).
+ Giao với trục tung tại điểm có tọa độ (0;4).
+ Giao với trục hoành tại điểm có tọa độ (-4;0);(-1;0)
Tất cả đều trùng khớp với hình vẽ.
Kiểm tra tương tự với phương án C.
Câu 23
Cho hàm số y=f(x) có đồ thị như hình vẽ sau. Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. Hàm số đạt cực tiểu tại A(-1;-1) và cực đại tại B(1;3)
B. Hàm số có giá trị cực đại bằng 1
C. Hàm số đạt giá trị nhỏ nhất bằng -1 và đạt giá trị lớn nhất bằng 3
D. Đồ thị hàm số có điểm cực tiểu A(-1;-1) và điểm cực đại B(1;3)
Hướng dẫn
A sai do tọa độ điểm cực đại sai.
B sai do giá trị cực đại của hàm số là 3.
C sai, từ độ thị hàm số ta dễ dàng thấy rằng hàm số không có giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất.
Vậy D là phương án đúng.
Câu 24
Cho hàm số y=f(x) xác định, liên tục trên R và có bảng biến thiên
Khẳng định nào sau đây là sai?
A. M(0;1) được gọi là điểm cực tiểu của hàm số
B. x0=-1 được gọi là điểm cực đại của hàm số
C. \(f( 0) = 1\) được gọi là giá trị lớn nhất của hàm số
D. f(1)=2 được gọi là giá trị cực đại của hàm số
Hướng dẫn
C sai do đó chỉ là giá trị cực tiểu của hàm số.
Hàm số không có giá trị nhỏ nhất.
Câu 25
Đường cong trong hình bên dưới là đồ thị của một hàm số trong bốn hàm số được liệt kê ở bốn phương án A, B, C, D dưới đây. Hỏi đó là hàm số nào?
A. \(y = {x^3} - 3{x^2} + 1\)
B. \(y = {x^3} + {x^2} + 1\)
C. \(y = - {x^3} + 3{x^2} + 1\)
D. \(y = {x^3} + x + 1\)
Hướng dẫn
Nhìn dạng đồ thị hàm số, ta thấy hàm số có đồ thị như hình bên không có cực trị.
Dễ thấy các hàm số ở các phương án A, B, C phương trình y'=0 có hai nghiệm phân biệt.
Vậy phương án đúng là D.
Câu 26
Cho hàm số \(y = f(x)\) có đồ thị như hình vẽ sau. Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?
A. Hàm số đạt cực tiểu tại x=1 và đạt cực đại tại x=-1.
B. Hàm số có giá trị cực đại bằng 1
C. Hàm số đạt giá trị nhỏ nhất bằng -1 và đạt giá trị lớn nhất bằng 3
D. Đồ thị hàm số có điểm cực tiểu A(-1; -1) và điểm cực đại B(1; 3)
Hướng dẫn
A sai, đúng là: Hàm số đạt cực tiểu tại x=-1 và đạt cực đại tại x=1.
B sai do giá trị cực đại của hàm số là 3.
C sai: dựa vào đồ thị hàm số ta có thể kết luận hàm số không có giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trên tập xác định.
D đúng: Đồ thị hàm số có điểm cực tiểu A(-1; -1) và điểm cực đại B(1; 3).
Câu 27
Cho hàm số f(x) xác định, liên tục trên R và có bảng biến thiên:
Khẳng định nào sau đây sai?
A. Hàm số có giá trị lớn nhất bằng 0.
B. Đường thẳng \(y=2\) cắt đồ thị hàm số \(y=f(x)\) tại 3 điểm phân biệt.
C. Hàm số đạt cực tiểu tại x=0.
D. Hàm số nghịch biến trên \(\left ( -2;0 \right )\)
Hướng dẫn
Từ bảng biến thiên ta thấy hàm số không có giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trên \(\mathbb{R}\).
Câu 28
Đường cong trong hình bên là đồ thị của một hàm số trong bốn hàm số được liệt kê ở bốn phương án A, B, C, D dưới đây. Hỏi hàm số đó là hàm số nào?
A. \(y = - {x^3} - 3x + 1\)
B. \(y = - {x^3} + 3x - 1\)
C. \(y = {x^3} + 3x + 1\)
D. \(y = {x^3} - 3x + 1\)
Hướng dẫn
Từ đồ thị ta thấy \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = - \infty\) suy ra hệ số của \(x^3\) dương.
Vậy loại A và B.
Xét phương án C, hàm số \(y = {x^3} + 3x + 1\) có \(y' = 3{x^2} + 3 > 0,\forall x\) nên đồ thị hàm số không có cực trị.
Từ hình vẽ ta thấy đồ thị hàm số có 2 điểm cực trị, vậy loại C.
Do đó D là phương án cần tìm.
Câu 29
Đường cong trong hình bên là đồ thị của một hàm số trong bốn hàm số được liệt kê ở bốn phương án A, B, C, D dưới đây. Hỏi đó là hàm số nào?
A. \(y = {x^3} + 6{x^2} - 9x + 1\)
B. \(y = - {x^3} + 6{x^2} - 9x + 3\)
C. \(y = {x^3} + 6{x^2} - 9x\)
D. \(y = - {x^3} + 6{x^2} - 9x\)
Hướng dẫn
Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = + \infty\)
Nên hệ số của x3 âm, vậy loại A và C.
Đồ thị hàm số đi qua điểm O(0;0), vậy loại B.
Do đó D là đáp án đúng.
Câu 30
Tìm giá trị cực tiểu \(y_{CT}\) của hàm số $y = \frac{1}{3}{x^3} - \frac{1}{2}{x^2} - 2x + 2.$
A. \({y_{CT}} = \frac{{19}}{6}\)
B. \({y_{CT}} =-1\)
C. \({y_{CT}} = 2\)
D. \({y_{CT}} =- \frac{{4}}{3}\)
