Phương pháp chung:
Dạng 1: Tìm nguyên hàm: $\int {P\left( x \right)} \sin \alpha xdx$ hoặc $\int {P\left( x \right)} \cos \alpha xdx$, với $P$ là một đa thức thuộc $R[X]$ và $α∈R^*.$
Khi đó, ta đặt: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{u = P(x)}\\
{dv = \sin \alpha xdx}
\end{array}} \right.$ hoặc $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{u = P(x)}\\
{dv = \cos \alpha xdx}
\end{array}} \right.$
Dạng 2: Tìm nguyên hàm: $\int {{e^{ax}}\cos bxdx} $ hoặc $\int {{e^{ax}}\sin bxdx} $ với $a,b \ne 0.$
Khi đó, ta đặt: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{u = \cos bx}\\
{dv = {e^{ax}}dx}
\end{array}} \right.$ hoặc $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{u = \sin bx}\\
{dv = {e^{ax}}dx}
\end{array}} \right.$
Ví dụ 23: Tìm nguyên hàm: $I = \int {\frac{x}{{{{\cos }^2}x}}dx} .$
Sử dụng phương pháp tích phân từng phần, bằng cách đặt: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{u = x}\\
{dv = \frac{{dx}}{{{{\cos }^2}x}}}
\end{array}} \right.$ $ \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{du = dx}\\
{v = \tan x}
\end{array}} \right.$
Khi đó: $I = x\tan x – \int {\tan } xdx$ $ = x\tan x – \int {\frac{{\sin x}}{{\cos x}}} dx$ $ = x\tan x + \int {\frac{{d(\cos x)}}{{\cos x}}} $ $ = x\tan x + \ln |\cos x| + C.$
Ví dụ 24: Tìm nguyên hàm: $I = \int {\frac{{{{\cos }^2}xdx}}{{{{\sin }^3}x}}} .$
Biến đổi $I$ về dạng: $I = \int {\frac{{\cos x \cdot d(\sin x)}}{{{{\sin }^3}x}}} .$
Đặt $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{u = \cos x}\\
{dv = \frac{{d(\sin x)}}{{{{\sin }^3}x}}}
\end{array}} \right.$ $ \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{du = – \sin xdx}\\
{v = – \frac{1}{{{{\sin }^2}x}}}
\end{array}} \right.$
Khi đó: $I = – \frac{{\cos x}}{{{{\sin }^2}x}} – \int {\frac{{dx}}{{\sin x}}} $ $ = – \frac{{\cos x}}{{{{\sin }^2}x}} – \int d \left( {\ln \left| {\tan \frac{x}{2}} \right|} \right)$ $ = – \frac{{\cos x}}{{{{\sin }^2}x}} – \ln \left| {\tan \frac{x}{2}} \right| + C.$
Chú ý: Bài toán trên cũng có thể giải được bằng phương pháp đổi biến số, bằng cách nhận xét rằng: ${\rm{R}}( – \sin x,\cos x) = – {\rm{R}}(\sin x,\cos x)$, ta sử dụng phép đổi biến tương ứng là $t=\cos x.$
Dạng 1: Tìm nguyên hàm: $\int {P\left( x \right)} \sin \alpha xdx$ hoặc $\int {P\left( x \right)} \cos \alpha xdx$, với $P$ là một đa thức thuộc $R[X]$ và $α∈R^*.$
Khi đó, ta đặt: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{u = P(x)}\\
{dv = \sin \alpha xdx}
\end{array}} \right.$ hoặc $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{u = P(x)}\\
{dv = \cos \alpha xdx}
\end{array}} \right.$
Dạng 2: Tìm nguyên hàm: $\int {{e^{ax}}\cos bxdx} $ hoặc $\int {{e^{ax}}\sin bxdx} $ với $a,b \ne 0.$
Khi đó, ta đặt: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{u = \cos bx}\\
{dv = {e^{ax}}dx}
\end{array}} \right.$ hoặc $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{u = \sin bx}\\
{dv = {e^{ax}}dx}
\end{array}} \right.$
Ví dụ 23: Tìm nguyên hàm: $I = \int {\frac{x}{{{{\cos }^2}x}}dx} .$
Sử dụng phương pháp tích phân từng phần, bằng cách đặt: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{u = x}\\
{dv = \frac{{dx}}{{{{\cos }^2}x}}}
\end{array}} \right.$ $ \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{du = dx}\\
{v = \tan x}
\end{array}} \right.$
Khi đó: $I = x\tan x – \int {\tan } xdx$ $ = x\tan x – \int {\frac{{\sin x}}{{\cos x}}} dx$ $ = x\tan x + \int {\frac{{d(\cos x)}}{{\cos x}}} $ $ = x\tan x + \ln |\cos x| + C.$
Ví dụ 24: Tìm nguyên hàm: $I = \int {\frac{{{{\cos }^2}xdx}}{{{{\sin }^3}x}}} .$
Biến đổi $I$ về dạng: $I = \int {\frac{{\cos x \cdot d(\sin x)}}{{{{\sin }^3}x}}} .$
Đặt $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{u = \cos x}\\
{dv = \frac{{d(\sin x)}}{{{{\sin }^3}x}}}
\end{array}} \right.$ $ \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{du = – \sin xdx}\\
{v = – \frac{1}{{{{\sin }^2}x}}}
\end{array}} \right.$
Khi đó: $I = – \frac{{\cos x}}{{{{\sin }^2}x}} – \int {\frac{{dx}}{{\sin x}}} $ $ = – \frac{{\cos x}}{{{{\sin }^2}x}} – \int d \left( {\ln \left| {\tan \frac{x}{2}} \right|} \right)$ $ = – \frac{{\cos x}}{{{{\sin }^2}x}} – \ln \left| {\tan \frac{x}{2}} \right| + C.$
Chú ý: Bài toán trên cũng có thể giải được bằng phương pháp đổi biến số, bằng cách nhận xét rằng: ${\rm{R}}( – \sin x,\cos x) = – {\rm{R}}(\sin x,\cos x)$, ta sử dụng phép đổi biến tương ứng là $t=\cos x.$
