Dạng 2: Sử dụng công thức hạ bậc.
Cách giải: Ở đây chúng ta ghi nhớ lại các công thức lượng giác:
${\sin ^2}x = \frac{{1 – \cos 2x}}{2}.$
${\cos ^2}x = \frac{{1 + \cos 2x}}{2}.$
${\sin ^3}x = \frac{{3\sin x – \sin 3x}}{4}.$
${\cos ^3}x = \frac{{3\cos x + \cos 3x}}{4}.$
Các công thức trên được sử dụng trong các phép hạ bậc mang tính cục bộ, còn hằng đẳng thức: ${\sin ^2}x + {\cos ^2}x = 1$ được sử dụng trong các phép hạ bậc mang tính toàn cục cho các biểu thức, ví dụ như:
${\sin ^4}x + {\cos ^4}x$ $ = {\left( {{{\sin }^2}x + {{\cos }^2}x} \right)^2} – 2{\sin ^2}x.{\cos ^2}x$ $ = 1 – \frac{1}{2}{\sin ^2}2x$ $ = 1 – \frac{1}{4}(1 – \cos 4x)$ $ = \frac{1}{4}\cos 4x + \frac{3}{4}.$
${\sin ^6}x + {\cos ^6}x$ $ = {\left( {{{\sin }^2}x + {{\cos }^2}x} \right)^3}$ $ – 3{\sin ^2}x.{\cos ^2}x\left( {{{\sin }^2}x + {{\cos }^2}x} \right)$ $ = 1 – \frac{3}{4}{\sin ^2}2x$ $ = 1 – \frac{3}{8}(1 – \cos 4x)$ $ = \frac{3}{8}\cos 4x + \frac{5}{8}.$
Ví dụ 14: Tìm họ nguyên hàm của hàm số: $f(x) = {\sin ^4}2x.$
Biến đổi $f(x)$ về dạng: $f(x) = {\left( {\frac{{1 – \cos 4x}}{2}} \right)^2}$ $ = \frac{1}{4}\left( {1 – 2\cos 4x + {{\cos }^2}4x} \right)$ $ = \frac{1}{4}\left[ {1 – 2\cos 4x + \frac{1}{2}(1 + \cos 8x)} \right]$ $ = \frac{1}{8}(3 – 4\cos 4x + \cos 8x).$
Khi đó: $F(x) = \frac{1}{8}\int {\left( {3 – 4\cos 4x + \cos 8x} \right)dx} $ $ = \frac{1}{8}\left( {3x – \sin 4x + \frac{1}{8}\sin 8x} \right) + {\rm{C}}{\rm{.}}$
Ví dụ 15: Tìm họ nguyên hàm của hàm số: $f(x) = {\sin ^8}x + {\cos ^8}x.$
Biến đổi $f(x)$ về dạng: $f(x) = {\left( {{{\sin }^4}x + {{\cos }^4}x} \right)^2} – 2{\sin ^4}x.{\cos ^4}x$ $ = {\left( {\frac{1}{4}\cos 4x + \frac{3}{4}} \right)^2} – \frac{1}{8}{\sin ^4}2x$ $ = \frac{1}{{16}}{\cos ^2}4x + \frac{3}{8}\cos 4x$ $ + \frac{9}{{16}} – \frac{1}{8}{\left( {\frac{{1 – \cos 4x}}{2}} \right)^2}$ $ = \frac{1}{{16}} \cdot \frac{{1 + \cos 8x}}{2} + \frac{3}{8}\cos 4x$ $ + \frac{9}{{16}} – \frac{1}{{32}}{\left( {1 – 2\cos 4x + {{\cos }^2}4x} \right)^2}$ $ = \frac{{1 + \cos 8x}}{{32}} + \frac{3}{8}\cos 4x + \frac{9}{{16}}$ $ – \frac{1}{{32}}{\left( {1 – 2\cos 4x + \frac{{1 + \cos 8x}}{2}} \right)^2}$ $ = \frac{1}{{64}}\cos 8x + \frac{7}{{16}}\cos 4x + \frac{{35}}{{64}}.$
Khi đó: $F\left( x \right) = \frac{1}{{64}}\int {\cos 8xdx} + \frac{7}{{16}}\int {\cos 4xdx} + \frac{{35}}{{64}}\int {dx} $ $ = \frac{1}{{512}}\sin 8x + \frac{7}{{64}}\sin 4x + \frac{{35}}{{64}} + C.$
Chú ý: Nhiều bài toán cần vận dụng đồng thời hai kỹ thuật biến đổi tổng thành tích và hạ bậc.
Ví dụ 16: Tìm họ nguyên hàm của hàm số:
a) $f(x) = {\sin ^3}x.\sin 3x.$
b) $f(x) = {\sin ^3}x.\cos 3x + {\cos ^3}x.\sin 3x.$
a) Biến đổi $f(x)$ về dạng: $f(x) = \frac{{3\sin x – \sin 3x}}{4}\sin 3x$ $ = \frac{3}{4}\sin 3x.\sin x – \frac{1}{4}{\sin ^2}3x$ $ = \frac{3}{8}\left( {\cos 2x – \cos 4x} \right) – \frac{1}{8}\left( {1 – \cos 6x} \right)$ $ = \frac{1}{8}\left( {3\cos 2x – 3\cos 4x + \cos 6x – 1} \right).$
Khi đó: $F(x) = \frac{1}{8}\int {(3\cos 2x – 3\cos 4x + \cos 6x – 1)} dx$ $ = \frac{1}{8}\left( {\frac{3}{2}\sin 2x – \frac{3}{4}\sin 4x + \frac{1}{6}\sin 6x – x} \right) + C.$
b. Biến đổi $f(x)$ về dạng: $f(x) = \frac{{3\sin x – \sin 3x}}{4}\cos 3x$ $ + \frac{{\cos 3x + 3\cos x}}{4}\sin 3x$ $ = \frac{3}{4}(\cos 3x.\sin x + \sin 3x.\cos x)$ $ = \frac{3}{4}\sin 4x.$
Khi đó: $F\left( x \right) = \frac{3}{4}\int {\sin 4xdx} $ $ = – \frac{3}{{16}}\cos 4x + C.$
Cách giải: Ở đây chúng ta ghi nhớ lại các công thức lượng giác:
${\sin ^2}x = \frac{{1 – \cos 2x}}{2}.$
${\cos ^2}x = \frac{{1 + \cos 2x}}{2}.$
${\sin ^3}x = \frac{{3\sin x – \sin 3x}}{4}.$
${\cos ^3}x = \frac{{3\cos x + \cos 3x}}{4}.$
Các công thức trên được sử dụng trong các phép hạ bậc mang tính cục bộ, còn hằng đẳng thức: ${\sin ^2}x + {\cos ^2}x = 1$ được sử dụng trong các phép hạ bậc mang tính toàn cục cho các biểu thức, ví dụ như:
${\sin ^4}x + {\cos ^4}x$ $ = {\left( {{{\sin }^2}x + {{\cos }^2}x} \right)^2} – 2{\sin ^2}x.{\cos ^2}x$ $ = 1 – \frac{1}{2}{\sin ^2}2x$ $ = 1 – \frac{1}{4}(1 – \cos 4x)$ $ = \frac{1}{4}\cos 4x + \frac{3}{4}.$
${\sin ^6}x + {\cos ^6}x$ $ = {\left( {{{\sin }^2}x + {{\cos }^2}x} \right)^3}$ $ – 3{\sin ^2}x.{\cos ^2}x\left( {{{\sin }^2}x + {{\cos }^2}x} \right)$ $ = 1 – \frac{3}{4}{\sin ^2}2x$ $ = 1 – \frac{3}{8}(1 – \cos 4x)$ $ = \frac{3}{8}\cos 4x + \frac{5}{8}.$
Ví dụ 14: Tìm họ nguyên hàm của hàm số: $f(x) = {\sin ^4}2x.$
Biến đổi $f(x)$ về dạng: $f(x) = {\left( {\frac{{1 – \cos 4x}}{2}} \right)^2}$ $ = \frac{1}{4}\left( {1 – 2\cos 4x + {{\cos }^2}4x} \right)$ $ = \frac{1}{4}\left[ {1 – 2\cos 4x + \frac{1}{2}(1 + \cos 8x)} \right]$ $ = \frac{1}{8}(3 – 4\cos 4x + \cos 8x).$
Khi đó: $F(x) = \frac{1}{8}\int {\left( {3 – 4\cos 4x + \cos 8x} \right)dx} $ $ = \frac{1}{8}\left( {3x – \sin 4x + \frac{1}{8}\sin 8x} \right) + {\rm{C}}{\rm{.}}$
Ví dụ 15: Tìm họ nguyên hàm của hàm số: $f(x) = {\sin ^8}x + {\cos ^8}x.$
Biến đổi $f(x)$ về dạng: $f(x) = {\left( {{{\sin }^4}x + {{\cos }^4}x} \right)^2} – 2{\sin ^4}x.{\cos ^4}x$ $ = {\left( {\frac{1}{4}\cos 4x + \frac{3}{4}} \right)^2} – \frac{1}{8}{\sin ^4}2x$ $ = \frac{1}{{16}}{\cos ^2}4x + \frac{3}{8}\cos 4x$ $ + \frac{9}{{16}} – \frac{1}{8}{\left( {\frac{{1 – \cos 4x}}{2}} \right)^2}$ $ = \frac{1}{{16}} \cdot \frac{{1 + \cos 8x}}{2} + \frac{3}{8}\cos 4x$ $ + \frac{9}{{16}} – \frac{1}{{32}}{\left( {1 – 2\cos 4x + {{\cos }^2}4x} \right)^2}$ $ = \frac{{1 + \cos 8x}}{{32}} + \frac{3}{8}\cos 4x + \frac{9}{{16}}$ $ – \frac{1}{{32}}{\left( {1 – 2\cos 4x + \frac{{1 + \cos 8x}}{2}} \right)^2}$ $ = \frac{1}{{64}}\cos 8x + \frac{7}{{16}}\cos 4x + \frac{{35}}{{64}}.$
Khi đó: $F\left( x \right) = \frac{1}{{64}}\int {\cos 8xdx} + \frac{7}{{16}}\int {\cos 4xdx} + \frac{{35}}{{64}}\int {dx} $ $ = \frac{1}{{512}}\sin 8x + \frac{7}{{64}}\sin 4x + \frac{{35}}{{64}} + C.$
Chú ý: Nhiều bài toán cần vận dụng đồng thời hai kỹ thuật biến đổi tổng thành tích và hạ bậc.
Ví dụ 16: Tìm họ nguyên hàm của hàm số:
a) $f(x) = {\sin ^3}x.\sin 3x.$
b) $f(x) = {\sin ^3}x.\cos 3x + {\cos ^3}x.\sin 3x.$
a) Biến đổi $f(x)$ về dạng: $f(x) = \frac{{3\sin x – \sin 3x}}{4}\sin 3x$ $ = \frac{3}{4}\sin 3x.\sin x – \frac{1}{4}{\sin ^2}3x$ $ = \frac{3}{8}\left( {\cos 2x – \cos 4x} \right) – \frac{1}{8}\left( {1 – \cos 6x} \right)$ $ = \frac{1}{8}\left( {3\cos 2x – 3\cos 4x + \cos 6x – 1} \right).$
Khi đó: $F(x) = \frac{1}{8}\int {(3\cos 2x – 3\cos 4x + \cos 6x – 1)} dx$ $ = \frac{1}{8}\left( {\frac{3}{2}\sin 2x – \frac{3}{4}\sin 4x + \frac{1}{6}\sin 6x – x} \right) + C.$
b. Biến đổi $f(x)$ về dạng: $f(x) = \frac{{3\sin x – \sin 3x}}{4}\cos 3x$ $ + \frac{{\cos 3x + 3\cos x}}{4}\sin 3x$ $ = \frac{3}{4}(\cos 3x.\sin x + \sin 3x.\cos x)$ $ = \frac{3}{4}\sin 4x.$
Khi đó: $F\left( x \right) = \frac{3}{4}\int {\sin 4xdx} $ $ = – \frac{3}{{16}}\cos 4x + C.$
