Phương pháp chung: Sử dụng các phép biến đổi lượng giác đưa biểu thức dưới dấu tích phân về dạng quen thuộc. Các phép biến đổi thường dùng bao gồm:
+ Phép biến đổi tích thành tổng.
+ Hạ bậc.
+ Các kỹ thuật biến đổi khác.
Dạng 1: Sử dụng phép biến đổi tích thành tổng.
Cách giải: Ở đây chúng ta nhớ lại các công thức lượng giác sau:
$\cos x\cos y = \frac{1}{2}\left[ {\cos (x + y) + \cos (x – y)} \right].$
$\sin x\sin y = \frac{1}{2}\left[ {\cos (x – y) – \cos (x + y)} \right].$
$\sin x\cos y = \frac{1}{2}\left[ {\sin (x + y) + \sin (x – y)} \right].$
$\cos x\sin y = \frac{1}{2}\left[ {\sin (x + y) – \sin (x – y)} \right].$
Ví dụ 11: Tìm họ nguyên hàm của hàm số: $f(x) = \cos 3x.\cos 5x.$
Sử dụng các phép biến đổi tích thành tổng, ta được: $f(x) = \frac{1}{2}(\cos 8x + \cos 2x).$
Khi đó: $F\left( x \right) = \frac{1}{2}\int {\left( {\cos 8x + \cos 2x} \right)dx} $ $ = \frac{1}{2}\left( {\frac{1}{8}\sin 8x + \frac{1}{2}\sin 2x} \right) + C.$
Chú ý: Nếu hàm $f(x)$ là tích của nhiều hơn $2$ hàm số lượng giác ta thực hiện phép biến đổi dần, cụ thể ta đi xem xét ví dụ sau:
Ví dụ 12: Tìm họ nguyên hàm của hàm số: $f(x) = \cos x.\sin 2x.\cos 3x.$
Sử dụng các phép biến đổi tích thành tổng, ta được: $f(x) = \frac{1}{2}(\sin 3x + \sin x)\cos 3x$ $ = \frac{1}{2}(\sin 3x.\cos 3x + \cos 3x.\sin x)$ $ = \frac{1}{2}\left[ {\frac{1}{2}\sin 6x + \frac{1}{2}(\sin 4x – \sin 2x)} \right]$ $ = \frac{1}{4}(\sin 6x + \sin 4x + \sin 2x).$
Khi đó: $F(x) = \frac{1}{4}\int {(\sin 6x + \sin 4x + \sin 2x)} dx$ $ = \frac{1}{4}\left( { – \frac{1}{6}\cos 6x – \frac{1}{4}\cos 4x – \frac{1}{2}\cos 2x} \right) + C$ $ = – \frac{1}{{24}}\cos 6x – \frac{1}{{16}}\cos 4x – \frac{1}{4}\cos 2x + C.$
Ví dụ 13: Tìm họ nguyên hàm của hàm số: $f(x) = \tan x.\tan \left( {\frac{\pi }{3} – x} \right).\tan \left( {\frac{\pi }{3} + x} \right).$
Ta có: $f(x) = \frac{{\sin x.\sin \left( {\frac{\pi }{3} – x} \right).\sin \left( {\frac{\pi }{3} + x} \right)}}{{\cos x.\cos \left( {\frac{\pi }{3} – x} \right).\cos \left( {\frac{\pi }{3} + x} \right)}}.$
Sử dụng các phép biến đổi tích thành tổng, ta được:
$\sin x.\sin \left( {\frac{\pi }{3} – x} \right).\sin \left( {\frac{\pi }{3} + x} \right)$ $ = \frac{1}{2}\sin x\left( {\cos 2x – \cos \frac{{2\pi }}{3}} \right)$ $ = \frac{1}{2}\cos 2x.\sin x + \frac{1}{4}\sin x$ $ = \frac{1}{4}(\sin 3x – \sin x) + \frac{1}{4}\sin x$ $ = \frac{1}{4}\sin 3x.$
$\cos x.\cos \left( {\frac{\pi }{3} – x} \right).\cos \left( {\frac{\pi }{3} + x} \right)$ $ = \frac{1}{2}\cos x\left( {\cos \frac{{2\pi }}{3} + \cos 2x} \right)$ $ = – \frac{1}{4}\cos x + \frac{1}{2}\cos 2x.\cos x$ $ = – \frac{1}{4}\cos x + \frac{1}{4}(\cos 3x + \cos x)$ $ = \frac{1}{4}\cos 3x.$
Suy ra: $f(x) = \tan 3x.$
Khi đó: $F(x) = \frac{1}{4}\int {\tan } 3xdx$ $ = \frac{1}{4}\int {\frac{{\sin 3x}}{{\cos 3x}}} dx = $ $ – \frac{1}{{12}}\int {\frac{{d(\cos 3x)}}{{\cos 3x}}} $ $ = – \frac{1}{{12}}\ln |\cos 3x| + C.$
+ Phép biến đổi tích thành tổng.
+ Hạ bậc.
+ Các kỹ thuật biến đổi khác.
Dạng 1: Sử dụng phép biến đổi tích thành tổng.
Cách giải: Ở đây chúng ta nhớ lại các công thức lượng giác sau:
$\cos x\cos y = \frac{1}{2}\left[ {\cos (x + y) + \cos (x – y)} \right].$
$\sin x\sin y = \frac{1}{2}\left[ {\cos (x – y) – \cos (x + y)} \right].$
$\sin x\cos y = \frac{1}{2}\left[ {\sin (x + y) + \sin (x – y)} \right].$
$\cos x\sin y = \frac{1}{2}\left[ {\sin (x + y) – \sin (x – y)} \right].$
Ví dụ 11: Tìm họ nguyên hàm của hàm số: $f(x) = \cos 3x.\cos 5x.$
Sử dụng các phép biến đổi tích thành tổng, ta được: $f(x) = \frac{1}{2}(\cos 8x + \cos 2x).$
Khi đó: $F\left( x \right) = \frac{1}{2}\int {\left( {\cos 8x + \cos 2x} \right)dx} $ $ = \frac{1}{2}\left( {\frac{1}{8}\sin 8x + \frac{1}{2}\sin 2x} \right) + C.$
Chú ý: Nếu hàm $f(x)$ là tích của nhiều hơn $2$ hàm số lượng giác ta thực hiện phép biến đổi dần, cụ thể ta đi xem xét ví dụ sau:
Ví dụ 12: Tìm họ nguyên hàm của hàm số: $f(x) = \cos x.\sin 2x.\cos 3x.$
Sử dụng các phép biến đổi tích thành tổng, ta được: $f(x) = \frac{1}{2}(\sin 3x + \sin x)\cos 3x$ $ = \frac{1}{2}(\sin 3x.\cos 3x + \cos 3x.\sin x)$ $ = \frac{1}{2}\left[ {\frac{1}{2}\sin 6x + \frac{1}{2}(\sin 4x – \sin 2x)} \right]$ $ = \frac{1}{4}(\sin 6x + \sin 4x + \sin 2x).$
Khi đó: $F(x) = \frac{1}{4}\int {(\sin 6x + \sin 4x + \sin 2x)} dx$ $ = \frac{1}{4}\left( { – \frac{1}{6}\cos 6x – \frac{1}{4}\cos 4x – \frac{1}{2}\cos 2x} \right) + C$ $ = – \frac{1}{{24}}\cos 6x – \frac{1}{{16}}\cos 4x – \frac{1}{4}\cos 2x + C.$
Ví dụ 13: Tìm họ nguyên hàm của hàm số: $f(x) = \tan x.\tan \left( {\frac{\pi }{3} – x} \right).\tan \left( {\frac{\pi }{3} + x} \right).$
Ta có: $f(x) = \frac{{\sin x.\sin \left( {\frac{\pi }{3} – x} \right).\sin \left( {\frac{\pi }{3} + x} \right)}}{{\cos x.\cos \left( {\frac{\pi }{3} – x} \right).\cos \left( {\frac{\pi }{3} + x} \right)}}.$
Sử dụng các phép biến đổi tích thành tổng, ta được:
$\sin x.\sin \left( {\frac{\pi }{3} – x} \right).\sin \left( {\frac{\pi }{3} + x} \right)$ $ = \frac{1}{2}\sin x\left( {\cos 2x – \cos \frac{{2\pi }}{3}} \right)$ $ = \frac{1}{2}\cos 2x.\sin x + \frac{1}{4}\sin x$ $ = \frac{1}{4}(\sin 3x – \sin x) + \frac{1}{4}\sin x$ $ = \frac{1}{4}\sin 3x.$
$\cos x.\cos \left( {\frac{\pi }{3} – x} \right).\cos \left( {\frac{\pi }{3} + x} \right)$ $ = \frac{1}{2}\cos x\left( {\cos \frac{{2\pi }}{3} + \cos 2x} \right)$ $ = – \frac{1}{4}\cos x + \frac{1}{2}\cos 2x.\cos x$ $ = – \frac{1}{4}\cos x + \frac{1}{4}(\cos 3x + \cos x)$ $ = \frac{1}{4}\cos 3x.$
Suy ra: $f(x) = \tan 3x.$
Khi đó: $F(x) = \frac{1}{4}\int {\tan } 3xdx$ $ = \frac{1}{4}\int {\frac{{\sin 3x}}{{\cos 3x}}} dx = $ $ – \frac{1}{{12}}\int {\frac{{d(\cos 3x)}}{{\cos 3x}}} $ $ = – \frac{1}{{12}}\ln |\cos 3x| + C.$
