Dạng 9: Tìm nguyên hàm: $I = \int {\frac{{{a_1}{{\sin }^2}x + {b_1}\sin x\cos x + {c_1}{{\cos }^2}x}}{{{a_2}\sin x + {b_2}\cos x}}} dx.$
Cách giải: Ta thực hiện theo các bước sau:
+ Bước 1: Biến đổi: ${a_1}{\sin ^2}x + {b_1}\sin x\cos x + {c_1}{\cos ^2}x$ $ = \left( {Asin x + B\cos x} \right)\left( {{a_2}\sin x + {b_2}\cos x} \right) + C\left( {{{\sin }^2}x + {{\cos }^2}x} \right).$
+ Bước 2: Khi đó: $I = \int {\frac{{\left( {A\sin x + B\cos x} \right)\left( {{a_2}\sin x + {b_2}\cos x} \right) + C}}{{{a_2}\sin x + {b_2}\cos x}}} dx$ $ = \int {\left( {A\sin x + B\cos x} \right)} dx + C\int {\frac{{dx}}{{{a_2}\sin x + {b_2}\cos x}}} $ $ = – A\cos x + B\sin x + \frac{C}{{\sqrt {a_2^2 + b_2^2} }}\int {\frac{{dx}}{{\sin (x + \alpha )}}} $ $ = – Acos x + Bsin x + \frac{C}{{\sqrt {a_2^2 + b_2^2} }}\ln \left| {\tan \frac{{x + \alpha }}{2}} \right| + C$, trong đó: $\sin \alpha = \frac{{{{\rm{b}}_2}}}{{\sqrt {{\rm{a}}_2^2 + {\rm{b}}_2^2} }}$ và $\cos \alpha = \frac{{{a_2}}}{{\sqrt {a_2^2 + b_2^2} }}.$
Ví dụ 9: Tìm họ nguyên hàm của hàm số: $f(x) = \frac{{4{{\sin }^2}x + 1}}{{\sqrt 3 \sin x + \cos x}}.$
Giả sử: $4{\sin ^2}x + 1 = 5{\sin ^2}x + {\cos ^2}x$ $ = \left( {asin x + b\cos x} \right)\left( {\sqrt 3 \sin x + \cos x} \right) + c\left( {{{\sin }^2}x + {{\cos }^2}x} \right)$ $ = \left( {a\sqrt 3 + c} \right){\sin ^2}x + \left( {a + b\sqrt 3 } \right)\sin x\cos x + \left( {b + c} \right){\cos ^2}x.$
Đồng nhất đẳng thức, ta được: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{a\sqrt 3 + c = 5}\\
{a + b\sqrt 3 = 0}\\
{b + c = 1}
\end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{a = \sqrt 3 }\\
{b = – 1}\\
{c = 2}
\end{array}} \right.$
Khi đó: $f(x) = \frac{{\left( {\sqrt 3 \sin x – \cos x} \right)\left( {\sqrt 3 \sin x + \cos x} \right) + 2}}{{\sqrt 3 \sin x + \cos x}}$ $ = \sqrt 3 \sin x – \cos x + \frac{2}{{\sqrt 3 \sin x + \cos x}}.$
Do đó: $F(x) = \int {\left( {\sqrt 3 \sin x – \cos x} \right)} dx – \int {\frac{{2dx}}{{\sqrt 3 \sin x + \cos x}}} $ $ = – \sqrt 3 \cos x – \sin x – \frac{1}{2}\ln \left| {\tan \left( {\frac{x}{2} + \frac{\pi }{{12}}} \right)} \right| + C.$
Chú ý: Trong lời giải trên ta đã tận dụng kết quả trong ví dụ 4 là: $\int {\frac{{2dx}}{{\sqrt 3 \sin x + \cos x}}} = \frac{1}{2}\ln \left| {\tan \left( {\frac{x}{2} + \frac{\pi }{{12}}} \right)} \right| + C.$
Cách giải: Ta thực hiện theo các bước sau:
+ Bước 1: Biến đổi: ${a_1}{\sin ^2}x + {b_1}\sin x\cos x + {c_1}{\cos ^2}x$ $ = \left( {Asin x + B\cos x} \right)\left( {{a_2}\sin x + {b_2}\cos x} \right) + C\left( {{{\sin }^2}x + {{\cos }^2}x} \right).$
+ Bước 2: Khi đó: $I = \int {\frac{{\left( {A\sin x + B\cos x} \right)\left( {{a_2}\sin x + {b_2}\cos x} \right) + C}}{{{a_2}\sin x + {b_2}\cos x}}} dx$ $ = \int {\left( {A\sin x + B\cos x} \right)} dx + C\int {\frac{{dx}}{{{a_2}\sin x + {b_2}\cos x}}} $ $ = – A\cos x + B\sin x + \frac{C}{{\sqrt {a_2^2 + b_2^2} }}\int {\frac{{dx}}{{\sin (x + \alpha )}}} $ $ = – Acos x + Bsin x + \frac{C}{{\sqrt {a_2^2 + b_2^2} }}\ln \left| {\tan \frac{{x + \alpha }}{2}} \right| + C$, trong đó: $\sin \alpha = \frac{{{{\rm{b}}_2}}}{{\sqrt {{\rm{a}}_2^2 + {\rm{b}}_2^2} }}$ và $\cos \alpha = \frac{{{a_2}}}{{\sqrt {a_2^2 + b_2^2} }}.$
Ví dụ 9: Tìm họ nguyên hàm của hàm số: $f(x) = \frac{{4{{\sin }^2}x + 1}}{{\sqrt 3 \sin x + \cos x}}.$
Giả sử: $4{\sin ^2}x + 1 = 5{\sin ^2}x + {\cos ^2}x$ $ = \left( {asin x + b\cos x} \right)\left( {\sqrt 3 \sin x + \cos x} \right) + c\left( {{{\sin }^2}x + {{\cos }^2}x} \right)$ $ = \left( {a\sqrt 3 + c} \right){\sin ^2}x + \left( {a + b\sqrt 3 } \right)\sin x\cos x + \left( {b + c} \right){\cos ^2}x.$
Đồng nhất đẳng thức, ta được: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{a\sqrt 3 + c = 5}\\
{a + b\sqrt 3 = 0}\\
{b + c = 1}
\end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{a = \sqrt 3 }\\
{b = – 1}\\
{c = 2}
\end{array}} \right.$
Khi đó: $f(x) = \frac{{\left( {\sqrt 3 \sin x – \cos x} \right)\left( {\sqrt 3 \sin x + \cos x} \right) + 2}}{{\sqrt 3 \sin x + \cos x}}$ $ = \sqrt 3 \sin x – \cos x + \frac{2}{{\sqrt 3 \sin x + \cos x}}.$
Do đó: $F(x) = \int {\left( {\sqrt 3 \sin x – \cos x} \right)} dx – \int {\frac{{2dx}}{{\sqrt 3 \sin x + \cos x}}} $ $ = – \sqrt 3 \cos x – \sin x – \frac{1}{2}\ln \left| {\tan \left( {\frac{x}{2} + \frac{\pi }{{12}}} \right)} \right| + C.$
Chú ý: Trong lời giải trên ta đã tận dụng kết quả trong ví dụ 4 là: $\int {\frac{{2dx}}{{\sqrt 3 \sin x + \cos x}}} = \frac{1}{2}\ln \left| {\tan \left( {\frac{x}{2} + \frac{\pi }{{12}}} \right)} \right| + C.$
