Dạng 8: Tìm nguyên hàm: $I = \int {\frac{{{a_1}\sin x + {b_1}\cos x + {c_1}}}{{{a_2}\sin x + {b_2}\cos x + {c_2}}}} dx.$
Cách giải: Ta thực hiện theo các bước sau:
+ Bước 1: Biến đổi: ${a_1}\sin x + {b_1}\cos x + {c_1}$ $ = A\left( {{a_2}\sin x + {b_2}\cos x + {c_2}} \right) + {\rm{B}}\left( {{a_2}\cos x – {b_2}\sin x} \right) + C.$
+ Bước 2: Khi đó: $I = \int {\frac{{A\left( {{a_2}\sin x + {b_2}\cos x + {c_2}} \right) + B\left( {{a_2}\cos x – {b_2}\sin x} \right) + C}}{{{a_2}\sin x + {b_2}\cos x + {c_2}}}} dx$ $ = A\int d x + B\int {\frac{{{a_2}\cos x – {b_2}\sin x}}{{{a_2}\sin x + {b_2}\cos x + {c_2}}}} dx + C\int {\frac{{dx}}{{{a_2}\sin x + {b_2}\cos x + {c_2}}}} $ $ = Ax + B\ln \left| {{a_2}\sin x + {b_2}\cos x + {c_2}} \right| + C\int {\frac{{dx}}{{{a_2}\sin x + {b_2}\cos x + {c_2}}}} $, trong đó: $\int {\frac{{dx}}{{{a_2}\sin x + {b_2}\cos x + {c_2}}}} $ được xác định nhờ dạng 4.
Ví dụ 8: Tìm họ nguyên hàm của hàm số: $f(x) = \frac{{5\sin x}}{{2\sin x – \cos x + 1}}.$
Giả sử: $5\sin x = a(2\sin x – \cos x + 1) + b(2\cos x + \sin x) + c$ $ = (2a + b)\sin x + (2b – a)\cos x + a + c.$
Đồng nhất đẳng thức, ta được: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{2a + b = 5}\\
{2b – a = 0}\\
{a + c = 0}
\end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{a = 2}\\
{b = 1}\\
{c = – 2}
\end{array}} \right.$
Khi đó: $f(x) = \frac{{2(2\sin x – \cos x + 1) + (2\cos x + \sin x) – 2}}{{2\sin x – \cos x + 1}}$ $ = 2 + \frac{{2\cos x + \sin x}}{{2\sin x – \cos x + 1}} – \frac{2}{{2\sin x – \cos x + 1}}.$
Do đó: $F(x) = \int 2 dx + \int {\frac{{2\cos x + \sin x}}{{2\sin x – \cos x + 1}}} dx – \int {\frac{2}{{2\sin x – \cos x + 1}}} dx$ $ = 2\int d x + \int {\frac{{d(2\sin x – \cos x + 1)}}{{2\sin x – \cos x + 1}}} – \int {\frac{{2dx}}{{2\sin x – \cos x + 1}}} $ $ = 2x + \ln |2\sin x – \cos x + 1| – \ln \left| {\tan \left( {\frac{x}{2} – \frac{\pi }{4}} \right)} \right| + C.$
Chú ý: Trong lời giải trên ta đã tận dụng kết quả trong ví dụ 7 là: $\int {\frac{{2dx}}{{2\sin x – \cos x + 1}}} $ $ = \ln \left| {\tan \left( {\frac{x}{2} – \frac{\pi }{4}} \right)} \right| + C.$
Cách giải: Ta thực hiện theo các bước sau:
+ Bước 1: Biến đổi: ${a_1}\sin x + {b_1}\cos x + {c_1}$ $ = A\left( {{a_2}\sin x + {b_2}\cos x + {c_2}} \right) + {\rm{B}}\left( {{a_2}\cos x – {b_2}\sin x} \right) + C.$
+ Bước 2: Khi đó: $I = \int {\frac{{A\left( {{a_2}\sin x + {b_2}\cos x + {c_2}} \right) + B\left( {{a_2}\cos x – {b_2}\sin x} \right) + C}}{{{a_2}\sin x + {b_2}\cos x + {c_2}}}} dx$ $ = A\int d x + B\int {\frac{{{a_2}\cos x – {b_2}\sin x}}{{{a_2}\sin x + {b_2}\cos x + {c_2}}}} dx + C\int {\frac{{dx}}{{{a_2}\sin x + {b_2}\cos x + {c_2}}}} $ $ = Ax + B\ln \left| {{a_2}\sin x + {b_2}\cos x + {c_2}} \right| + C\int {\frac{{dx}}{{{a_2}\sin x + {b_2}\cos x + {c_2}}}} $, trong đó: $\int {\frac{{dx}}{{{a_2}\sin x + {b_2}\cos x + {c_2}}}} $ được xác định nhờ dạng 4.
Ví dụ 8: Tìm họ nguyên hàm của hàm số: $f(x) = \frac{{5\sin x}}{{2\sin x – \cos x + 1}}.$
Giả sử: $5\sin x = a(2\sin x – \cos x + 1) + b(2\cos x + \sin x) + c$ $ = (2a + b)\sin x + (2b – a)\cos x + a + c.$
Đồng nhất đẳng thức, ta được: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{2a + b = 5}\\
{2b – a = 0}\\
{a + c = 0}
\end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{a = 2}\\
{b = 1}\\
{c = – 2}
\end{array}} \right.$
Khi đó: $f(x) = \frac{{2(2\sin x – \cos x + 1) + (2\cos x + \sin x) – 2}}{{2\sin x – \cos x + 1}}$ $ = 2 + \frac{{2\cos x + \sin x}}{{2\sin x – \cos x + 1}} – \frac{2}{{2\sin x – \cos x + 1}}.$
Do đó: $F(x) = \int 2 dx + \int {\frac{{2\cos x + \sin x}}{{2\sin x – \cos x + 1}}} dx – \int {\frac{2}{{2\sin x – \cos x + 1}}} dx$ $ = 2\int d x + \int {\frac{{d(2\sin x – \cos x + 1)}}{{2\sin x – \cos x + 1}}} – \int {\frac{{2dx}}{{2\sin x – \cos x + 1}}} $ $ = 2x + \ln |2\sin x – \cos x + 1| – \ln \left| {\tan \left( {\frac{x}{2} – \frac{\pi }{4}} \right)} \right| + C.$
Chú ý: Trong lời giải trên ta đã tận dụng kết quả trong ví dụ 7 là: $\int {\frac{{2dx}}{{2\sin x – \cos x + 1}}} $ $ = \ln \left| {\tan \left( {\frac{x}{2} – \frac{\pi }{4}} \right)} \right| + C.$
