Dạng 7: Tìm nguyên hàm: $I = \int {\frac{{{\rm{d}}x}}{{ asin x + b\cos x + c}}} .$
Cách giải: Ta xét 3 trường hợp sau:
+ Trường hợp 1: Nếu $c = \sqrt {{a^2} + {b^2}} $ thì ta thực hiện phép biến đổi: $\frac{1}{{ asin x + b\cos x + c}}$ $ = \frac{1}{{c\left[ {1 + \cos (x – \alpha )} \right]}}$ $ = \frac{1}{{2c}} \cdot \frac{1}{{{{\cos }^2}\frac{{x – \alpha }}{2}}}$, trong đó: $\sin \alpha = \frac{{\rm{a}}}{{\sqrt {{{\rm{a}}^2} + {{\rm{b}}^2}} }}$ và $\cos \alpha = \frac{b}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}.$
Khi đó: $I = \frac{1}{{2c}}\int {\frac{{dx}}{{{{\cos }^2}\frac{{x – \alpha }}{2}}}} $ $ = \frac{1}{c}\int {\frac{{d\left( {\frac{{x – \alpha }}{2}} \right)}}{{{{\cos }^2}\frac{{x – \alpha }}{2}}}} $ $ = \frac{1}{c}\tan \frac{{x – \alpha }}{2} + C.$
+ Trường hợp 2: Nếu $c = – \sqrt {{a^2} + {b^2}} $ thì ta thực hiện phép biến đổi: $\frac{1}{{ asin x + b\cos x + c}}$ $ = \frac{1}{{c\left[ {1 – \cos (x – \alpha )} \right]}}$ $ = \frac{1}{{2c}} \cdot \frac{1}{{{{\sin }^2}\frac{{x – \alpha }}{2}}}$, trong đó: $\sin \alpha = \frac{a}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}$ và $\cos \alpha = \frac{b}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}.$
Khi đó: $I = \frac{1}{{2c}}\int {\frac{{dx}}{{{{\sin }^2}\frac{{x – \alpha }}{2}}}} $ $ = \frac{1}{c}\int {\frac{{d\left( {\frac{{x – \alpha }}{2}} \right)}}{{{{\sin }^2}\frac{{x – \alpha }}{2}}}} $ $ = \frac{1}{c} cot \frac{{x – \alpha }}{2} + C.$
+ Trường hợp 3: Nếu ${c^2} \ne {a^2} + {b^2}$ thì ta thực hiện phép đổi biến $t = \tan \frac{x}{2}.$
Khi đó: $dx = \frac{{2dt}}{{1 + {t^2}}}$, $\sin x = \frac{{2t}}{{1 + {t^2}}}$ và $\cos x = \frac{{1 – {t^2}}}{{1 + {t^2}}}.$
Ví dụ 7: Tìm nguyên hàm: $I = \int {\frac{{2dx}}{{2\sin x – \cos x + 1}}} .$
Đặt $t = \tan \frac{x}{2}$, ta được: $dt = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{{{{\cos }^2}\frac{x}{2}}}dx$ $ = \frac{1}{2} \left( {1 + {{\tan }^2}\frac{x}{2}} \right)dx$ $\frac{1}{2}\left( {1 + {t^2}} \right)dx$ $ \Rightarrow dx = \frac{{2dt}}{{1 + {t^2}}}.$
Khi đó: $I = \int {\frac{{\frac{{4dt}}{{1 + {t^2}}}}}{{\frac{{4t}}{{1 + {t^2}}} – \frac{{1 – {t^2}}}{{1 + {t^2}}} + 1}}} $ $ = \int {\frac{{2dt}}{{{t^2} + 2t}}} $ $ = 2\int {\frac{{d(t + 1)}}{{{{(t + 1)}^2} – 1}}} $ $ = \ln \left| {\frac{{t – 1}}{{t + 1}}} \right| + C$ $ = \ln \left| {\frac{{\tan \frac{x}{2} – 1}}{{\tan \frac{x}{2} + 1}}} \right| + C$ $ = \ln \left| {\tan \left( {\frac{x}{2} – \frac{\pi }{4}} \right)} \right| + C.$
Cách giải: Ta xét 3 trường hợp sau:
+ Trường hợp 1: Nếu $c = \sqrt {{a^2} + {b^2}} $ thì ta thực hiện phép biến đổi: $\frac{1}{{ asin x + b\cos x + c}}$ $ = \frac{1}{{c\left[ {1 + \cos (x – \alpha )} \right]}}$ $ = \frac{1}{{2c}} \cdot \frac{1}{{{{\cos }^2}\frac{{x – \alpha }}{2}}}$, trong đó: $\sin \alpha = \frac{{\rm{a}}}{{\sqrt {{{\rm{a}}^2} + {{\rm{b}}^2}} }}$ và $\cos \alpha = \frac{b}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}.$
Khi đó: $I = \frac{1}{{2c}}\int {\frac{{dx}}{{{{\cos }^2}\frac{{x – \alpha }}{2}}}} $ $ = \frac{1}{c}\int {\frac{{d\left( {\frac{{x – \alpha }}{2}} \right)}}{{{{\cos }^2}\frac{{x – \alpha }}{2}}}} $ $ = \frac{1}{c}\tan \frac{{x – \alpha }}{2} + C.$
+ Trường hợp 2: Nếu $c = – \sqrt {{a^2} + {b^2}} $ thì ta thực hiện phép biến đổi: $\frac{1}{{ asin x + b\cos x + c}}$ $ = \frac{1}{{c\left[ {1 – \cos (x – \alpha )} \right]}}$ $ = \frac{1}{{2c}} \cdot \frac{1}{{{{\sin }^2}\frac{{x – \alpha }}{2}}}$, trong đó: $\sin \alpha = \frac{a}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}$ và $\cos \alpha = \frac{b}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}.$
Khi đó: $I = \frac{1}{{2c}}\int {\frac{{dx}}{{{{\sin }^2}\frac{{x – \alpha }}{2}}}} $ $ = \frac{1}{c}\int {\frac{{d\left( {\frac{{x – \alpha }}{2}} \right)}}{{{{\sin }^2}\frac{{x – \alpha }}{2}}}} $ $ = \frac{1}{c} cot \frac{{x – \alpha }}{2} + C.$
+ Trường hợp 3: Nếu ${c^2} \ne {a^2} + {b^2}$ thì ta thực hiện phép đổi biến $t = \tan \frac{x}{2}.$
Khi đó: $dx = \frac{{2dt}}{{1 + {t^2}}}$, $\sin x = \frac{{2t}}{{1 + {t^2}}}$ và $\cos x = \frac{{1 – {t^2}}}{{1 + {t^2}}}.$
Ví dụ 7: Tìm nguyên hàm: $I = \int {\frac{{2dx}}{{2\sin x – \cos x + 1}}} .$
Đặt $t = \tan \frac{x}{2}$, ta được: $dt = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{{{{\cos }^2}\frac{x}{2}}}dx$ $ = \frac{1}{2} \left( {1 + {{\tan }^2}\frac{x}{2}} \right)dx$ $\frac{1}{2}\left( {1 + {t^2}} \right)dx$ $ \Rightarrow dx = \frac{{2dt}}{{1 + {t^2}}}.$
Khi đó: $I = \int {\frac{{\frac{{4dt}}{{1 + {t^2}}}}}{{\frac{{4t}}{{1 + {t^2}}} – \frac{{1 – {t^2}}}{{1 + {t^2}}} + 1}}} $ $ = \int {\frac{{2dt}}{{{t^2} + 2t}}} $ $ = 2\int {\frac{{d(t + 1)}}{{{{(t + 1)}^2} – 1}}} $ $ = \ln \left| {\frac{{t – 1}}{{t + 1}}} \right| + C$ $ = \ln \left| {\frac{{\tan \frac{x}{2} – 1}}{{\tan \frac{x}{2} + 1}}} \right| + C$ $ = \ln \left| {\tan \left( {\frac{x}{2} – \frac{\pi }{4}} \right)} \right| + C.$
