Dạng 6: Tìm nguyên hàm: $I = \int {\frac{{{a_1}\sin x + {b_1}\cos x}}{{{{\left( {{a_2}\sin x + {b_2}\cos x} \right)}^2}}}} dx.$
Cách giải: Ta thực hiện theo các bước sau:
+ Bước 1: Biến đổi: ${a_1}\sin x + {b_1}\cos x$ $ = A\left( {{a_2}\sin x + {b_2}\cos x} \right) + {\rm{B}}\left( {{a_2}\cos x – {b_2}\sin x} \right).$
+ Bước 2: Khi đó: $I = \int {\frac{{A\left( {{a_2}\sin x + {b_2}\cos x} \right) + B\left( {{a_2}\cos x – {b_2}\sin x} \right)}}{{{{\left( {{a_2}\sin x + {b_2}\cos x} \right)}^2}}}} dx$ $ = A\int {\frac{{dx}}{{{a_2}\sin x + {b_2}\cos x}}} + B\int {\frac{{{a_2}\cos x – {b_2}\sin x}}{{{{\left( {{a_2}\sin x + {b_2}\cos x} \right)}^2}}}} dx$ $ = \frac{{\rm{A}}}{{\sqrt {{\rm{a}}_2^2 + {\rm{b}}_2^2} }}\int {\frac{{dx}}{{\sin \left( {x + \alpha } \right)}}} – \frac{{\rm{B}}}{{{{\rm{a}}_2}\sin x + {{\rm{b}}_2}\cos x}}$ $ = \frac{{\rm{A}}}{{\sqrt {{\rm{a}}_2^2 + {\rm{b}}_2^2} }}\ln \left| {{\rm{tan}}\frac{{x + \alpha }}{2}} \right| – \frac{{\rm{B}}}{{{{\rm{a}}_2}\sin x + {b_2}\cos x}} + {\rm{C}}{\rm{.}}$
Trong đó: $\sin \alpha = \frac{{{{\rm{b}}_2}}}{{\sqrt {{\rm{a}}_2^2 + {\rm{b}}_2^2} }}$ và $\cos \alpha = \frac{{{{\rm{a}}_2}}}{{\sqrt {{\rm{a}}_2^2 + {\rm{b}}_2^2} }}.$
Ví dụ 6: Tìm họ nguyên hàm của hàm số: $f(x) = \frac{{8\cos x}}{{2 + \sqrt 3 \sin 2x – \cos 2x}}.$
Biến đổi: $f(x) = \frac{{8\cos x}}{{3{{\sin }^2}x + 2\sqrt 3 \sin x\cos x + {{\cos }^2}x}}$ $ = \frac{{8\cos x}}{{{{\left( {\sqrt 3 \sin x + \cos x} \right)}^2}}}.$
Giả sử: $8\cos x$ $ = a\left( {\sqrt 3 \sin x + \cos x} \right) + b\left( {\sqrt 3 \cos x – \sin x} \right)$ $ = \left( {a\sqrt 3 – b} \right)\sin x + \left( {a + b\sqrt 3 } \right)\cos x.$
Đồng nhất đẳng thức, ta được: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{a\sqrt 3 – b = 0}\\
{a + b\sqrt 3 = 8}
\end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{a = 2}\\
{b = 2\sqrt 3 }
\end{array}} \right.$
Khi đó: $f(x) = \frac{2}{{\sqrt 3 \sin x + \cos x}} – \frac{{2\sqrt 3 \left( {\sqrt 3 \cos x – \sin x} \right)}}{{{{\left( {\sqrt 3 \sin x + \cos x} \right)}^2}}}.$
Do đó: $F(x) = \int {\frac{{2dx}}{{\sqrt 3 \sin x + \cos x}}} – 2\sqrt 3 \int {\frac{{d\left( {\sqrt 3 \sin x + \cos x} \right)}}{{{{\left( {\sqrt 3 \sin x + \cos x} \right)}^2}}}} $ $ = \frac{1}{2}\ln \left| {\tan \left( {\frac{x}{2} + \frac{\pi }{{12}}} \right)} \right| – \frac{{2\sqrt 3 }}{{\sqrt 3 \sin x + \cos x}} + C.$
Chú ý: Trong lời giải trên ta đã tận dụng kết quả trong ví dụ 4 là: $\int {\frac{{2dx}}{{\sqrt 3 \sin x + \cos x}}} $ $ = \frac{1}{2}\ln \left| {\tan \left( {\frac{{\rm{x}}}{2} + \frac{\pi }{{12}}} \right)} \right| + {\rm{C}}.$
Cách giải: Ta thực hiện theo các bước sau:
+ Bước 1: Biến đổi: ${a_1}\sin x + {b_1}\cos x$ $ = A\left( {{a_2}\sin x + {b_2}\cos x} \right) + {\rm{B}}\left( {{a_2}\cos x – {b_2}\sin x} \right).$
+ Bước 2: Khi đó: $I = \int {\frac{{A\left( {{a_2}\sin x + {b_2}\cos x} \right) + B\left( {{a_2}\cos x – {b_2}\sin x} \right)}}{{{{\left( {{a_2}\sin x + {b_2}\cos x} \right)}^2}}}} dx$ $ = A\int {\frac{{dx}}{{{a_2}\sin x + {b_2}\cos x}}} + B\int {\frac{{{a_2}\cos x – {b_2}\sin x}}{{{{\left( {{a_2}\sin x + {b_2}\cos x} \right)}^2}}}} dx$ $ = \frac{{\rm{A}}}{{\sqrt {{\rm{a}}_2^2 + {\rm{b}}_2^2} }}\int {\frac{{dx}}{{\sin \left( {x + \alpha } \right)}}} – \frac{{\rm{B}}}{{{{\rm{a}}_2}\sin x + {{\rm{b}}_2}\cos x}}$ $ = \frac{{\rm{A}}}{{\sqrt {{\rm{a}}_2^2 + {\rm{b}}_2^2} }}\ln \left| {{\rm{tan}}\frac{{x + \alpha }}{2}} \right| – \frac{{\rm{B}}}{{{{\rm{a}}_2}\sin x + {b_2}\cos x}} + {\rm{C}}{\rm{.}}$
Trong đó: $\sin \alpha = \frac{{{{\rm{b}}_2}}}{{\sqrt {{\rm{a}}_2^2 + {\rm{b}}_2^2} }}$ và $\cos \alpha = \frac{{{{\rm{a}}_2}}}{{\sqrt {{\rm{a}}_2^2 + {\rm{b}}_2^2} }}.$
Ví dụ 6: Tìm họ nguyên hàm của hàm số: $f(x) = \frac{{8\cos x}}{{2 + \sqrt 3 \sin 2x – \cos 2x}}.$
Biến đổi: $f(x) = \frac{{8\cos x}}{{3{{\sin }^2}x + 2\sqrt 3 \sin x\cos x + {{\cos }^2}x}}$ $ = \frac{{8\cos x}}{{{{\left( {\sqrt 3 \sin x + \cos x} \right)}^2}}}.$
Giả sử: $8\cos x$ $ = a\left( {\sqrt 3 \sin x + \cos x} \right) + b\left( {\sqrt 3 \cos x – \sin x} \right)$ $ = \left( {a\sqrt 3 – b} \right)\sin x + \left( {a + b\sqrt 3 } \right)\cos x.$
Đồng nhất đẳng thức, ta được: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{a\sqrt 3 – b = 0}\\
{a + b\sqrt 3 = 8}
\end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{a = 2}\\
{b = 2\sqrt 3 }
\end{array}} \right.$
Khi đó: $f(x) = \frac{2}{{\sqrt 3 \sin x + \cos x}} – \frac{{2\sqrt 3 \left( {\sqrt 3 \cos x – \sin x} \right)}}{{{{\left( {\sqrt 3 \sin x + \cos x} \right)}^2}}}.$
Do đó: $F(x) = \int {\frac{{2dx}}{{\sqrt 3 \sin x + \cos x}}} – 2\sqrt 3 \int {\frac{{d\left( {\sqrt 3 \sin x + \cos x} \right)}}{{{{\left( {\sqrt 3 \sin x + \cos x} \right)}^2}}}} $ $ = \frac{1}{2}\ln \left| {\tan \left( {\frac{x}{2} + \frac{\pi }{{12}}} \right)} \right| – \frac{{2\sqrt 3 }}{{\sqrt 3 \sin x + \cos x}} + C.$
Chú ý: Trong lời giải trên ta đã tận dụng kết quả trong ví dụ 4 là: $\int {\frac{{2dx}}{{\sqrt 3 \sin x + \cos x}}} $ $ = \frac{1}{2}\ln \left| {\tan \left( {\frac{{\rm{x}}}{2} + \frac{\pi }{{12}}} \right)} \right| + {\rm{C}}.$
