Xác định nguyên hàm bằng cách sử dụng dạng nguyên hàm cơ bản: Dạng 5

[Tăng Giáp]

Dạng 5: Tìm nguyên hàm: $I = \int {\frac{{{a_1}\sin x + {b_1}\cos x}}{{{a_2}\sin x + {b_2}\cos x}}} dx.$
Cách giải: Ta thực hiện theo các bước sau:
+ Bước 1: Biến đổi: ${a_1}\sin x + {b_1}\cos x$ $ = A\left( {{a_2}\sin x + {b_2}\cos x} \right) + B\left( {{a_2}\cos x – {b_2}\sin x} \right).$
+ Bước 2: Khi đó: $I = \int {\frac{{A\left( {{a_2}\sin x + {b_2}\cos x} \right) + B\left( {{a_2}\cos x – {b_2}\sin x} \right)}}{{{a_2}\sin x + {b_2}\cos x}}} dx$ $ = A\int {dx + B\int {\frac{{{a_2}\cos x – {b_2}\sin x}}{{{a_2}\sin x + {b_2}\cos x}}dx} } $ $ = Ax + B\ln \left| {{a_2}\sin x + {b_2}\cos x} \right| + C.$

Ví dụ 5: Tìm họ nguyên hàm của hàm số: $f(x) = \frac{{4\sin x + 3\cos x}}{{\sin x + 2\cos x}}.$

Biến đổi: $4\sin x + 3\cos x$ $ = a(\sin x + 2\cos x) + b(\cos x – 2\sin x)$ $ = (a – 2b)\sin x + (2a + b)\cos x.$
Đồng nhất đẳng thức, ta được: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{a – 2b = 4}\\
{2a + b = 3}
\end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{a = 2}\\
{b = – 1}
\end{array}} \right.$
Khi đó: $f(x) = \frac{{2(\sin x + 2\cos x) – (\cos x – 2\sin x)}}{{\sin x + 2\cos x}}$ $ = 2 – \frac{{\cos x – 2\sin x}}{{\sin x + 2\cos x}}.$
Do đó: $F(x) = \int {\left( {2 – \frac{{\cos x – 2\sin x}}{{\sin x + 2\cos x}}} \right)} dx$ $ = 2\int {dx} – \int {\frac{{d(\sin x + 2\cos x)}}{{\sin x + 2\cos x}}} $ $ = 2x – \ln |\sin x + 2\cos x| + C.$