Dạng 3: Tìm nguyên hàm: $I = \int {\tan x.\tan \left( {x + \alpha } \right)dx} .$
Cách giải: Ta thực hiện theo các bước sau:
+ Bước 1: Biến đổi $I$ về dạng: $I = \int {\tan x.\tan \left( {x + \alpha } \right)dx} $ $ = \int {\frac{{\sin x.\sin \left( {x + \alpha } \right)}}{{\cos x.\cos \left( {x + \alpha } \right)}}dx} $ $ = \int {\left( {\frac{{\cos x.\cos \left( {x + \alpha } \right) + \sin x.\sin \left( {x + \alpha } \right)}}{{\cos x.\cos \left( {x + \alpha } \right)}} – 1} \right)dx} $ $ = \int {\frac{{\cos \alpha dx}}{{\cos x.\cos \left( {x + \alpha } \right)}}} – \int {dx} $ $ = \cos \alpha \int {\frac{{dx}}{{\cos x.\cos \left( {x + \alpha } \right)}} – x.} $
+ Bước 2: Áp dụng dạng 1 đã trình bày ở phần trên để giải tiếp.
Chú ý: Phương pháp trên cũng được được áp dụng cho các dạng nguyên hàm sau:
+ Nguyên hàm $I = \int {\tan \left( {x + \alpha } \right).\cot \left( {x + \beta } \right)dx} .$
+ Nguyên hàm $I = \int {\cot \left( {x + \alpha } \right).\cot \left( {x + \beta } \right)dx} .$
Ví dụ 3: Tìm họ nguyên hàm của hàm số: $f\left( x \right) = \tan x.\tan \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right).$
Biến đổi $f\left( x \right)$ về dạng: $f\left( x \right) = \frac{{\sin x.\sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right)}}{{\cos x.\cos \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right)}}$ $ = \frac{{\cos x.\cos \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) + \sin x.\sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right)}}{{\cos x.\cos \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right)}} – 1$ $ = \frac{{\cos \frac{\pi }{4}}}{{\cos x.\cos \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right)}} – 1$ $ = \frac{{\sqrt 2 }}{2}.\frac{1}{{\cos x.\cos \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right)}} – 1.$
Khi đó: $F\left( x \right) = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\int {\frac{{dx}}{{\cos x.\cos \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right)}}} – \int {dx} $ $ = – x + \frac{{\sqrt 2 }}{2}\int {\frac{{dx}}{{\cos x.\cos \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right)}}.} $
Để xác định nguyên hàm $J = \frac{{dx}}{{\cos x.\cos \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right)}}$ ta lựa chọn một trong hai cách sau:
Cách 1: Sử dụng đồng nhất thức: $1 = \frac{{\sin \frac{\pi }{4}}}{{\sin \frac{\pi }{4}}} = \frac{{\sin \left[ {\left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) – x} \right]}}{{\frac{{\sqrt 2 }}{2}}}$ $ = \sqrt 2 \sin \left[ {\left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) – x} \right].$
Ta được: $J = \sqrt 2 \int {\frac{{\sin \left[ {\left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) – x} \right]}}{{\cos x.\cos \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right)}}dx} $ $ = \sqrt 2 \int {\frac{{\sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right)\cos x – \cos \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right)\sin x}}{{\cos x.\cos \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right)}}dx} $ $ = \sqrt 2 \left[ {\int {\frac{{\sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right)}}{{\cos \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right)}}dx} – \int {\frac{{\sin x}}{{\cos x}}dx} } \right]$ $ = \sqrt 2 \left[ { – \ln \left| {\cos \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right)} \right| + \ln \left| {\cos x} \right|} \right] + C$ $ = \sqrt 2 \ln \left| {\frac{{\cos x}}{{\cos \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right)}}} \right| + C$ $ = – \sqrt 2 \ln \left| {1 – \tan x} \right| + C.$
Cách 2: Ta có: $J = \sqrt 2 \int {\frac{{dx}}{{\cos x\left( {\cos x – \sin x} \right)}}} $ $ = \sqrt 2 \int {\frac{{dx}}{{{{\cos }^2}x\left( {1 – \tan x} \right)}}} $ $ = \sqrt 2 \int {\frac{{d\left( {\tan x} \right)}}{{1 – \tan x}}} $ $ = – \sqrt 2 \int {\frac{{d(1 – \tan x)}}{{1 – \tan x}}} $ $ = – \sqrt 2 \ln \left| {1 – \tan x} \right| + C.$
Vậy ta được: $F\left( x \right) = – x – \ln \left| {1 – \tan x} \right| + C.$
Cách giải: Ta thực hiện theo các bước sau:
+ Bước 1: Biến đổi $I$ về dạng: $I = \int {\tan x.\tan \left( {x + \alpha } \right)dx} $ $ = \int {\frac{{\sin x.\sin \left( {x + \alpha } \right)}}{{\cos x.\cos \left( {x + \alpha } \right)}}dx} $ $ = \int {\left( {\frac{{\cos x.\cos \left( {x + \alpha } \right) + \sin x.\sin \left( {x + \alpha } \right)}}{{\cos x.\cos \left( {x + \alpha } \right)}} – 1} \right)dx} $ $ = \int {\frac{{\cos \alpha dx}}{{\cos x.\cos \left( {x + \alpha } \right)}}} – \int {dx} $ $ = \cos \alpha \int {\frac{{dx}}{{\cos x.\cos \left( {x + \alpha } \right)}} – x.} $
+ Bước 2: Áp dụng dạng 1 đã trình bày ở phần trên để giải tiếp.
Chú ý: Phương pháp trên cũng được được áp dụng cho các dạng nguyên hàm sau:
+ Nguyên hàm $I = \int {\tan \left( {x + \alpha } \right).\cot \left( {x + \beta } \right)dx} .$
+ Nguyên hàm $I = \int {\cot \left( {x + \alpha } \right).\cot \left( {x + \beta } \right)dx} .$
Ví dụ 3: Tìm họ nguyên hàm của hàm số: $f\left( x \right) = \tan x.\tan \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right).$
Biến đổi $f\left( x \right)$ về dạng: $f\left( x \right) = \frac{{\sin x.\sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right)}}{{\cos x.\cos \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right)}}$ $ = \frac{{\cos x.\cos \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) + \sin x.\sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right)}}{{\cos x.\cos \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right)}} – 1$ $ = \frac{{\cos \frac{\pi }{4}}}{{\cos x.\cos \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right)}} – 1$ $ = \frac{{\sqrt 2 }}{2}.\frac{1}{{\cos x.\cos \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right)}} – 1.$
Khi đó: $F\left( x \right) = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\int {\frac{{dx}}{{\cos x.\cos \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right)}}} – \int {dx} $ $ = – x + \frac{{\sqrt 2 }}{2}\int {\frac{{dx}}{{\cos x.\cos \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right)}}.} $
Để xác định nguyên hàm $J = \frac{{dx}}{{\cos x.\cos \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right)}}$ ta lựa chọn một trong hai cách sau:
Cách 1: Sử dụng đồng nhất thức: $1 = \frac{{\sin \frac{\pi }{4}}}{{\sin \frac{\pi }{4}}} = \frac{{\sin \left[ {\left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) – x} \right]}}{{\frac{{\sqrt 2 }}{2}}}$ $ = \sqrt 2 \sin \left[ {\left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) – x} \right].$
Ta được: $J = \sqrt 2 \int {\frac{{\sin \left[ {\left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) – x} \right]}}{{\cos x.\cos \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right)}}dx} $ $ = \sqrt 2 \int {\frac{{\sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right)\cos x – \cos \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right)\sin x}}{{\cos x.\cos \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right)}}dx} $ $ = \sqrt 2 \left[ {\int {\frac{{\sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right)}}{{\cos \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right)}}dx} – \int {\frac{{\sin x}}{{\cos x}}dx} } \right]$ $ = \sqrt 2 \left[ { – \ln \left| {\cos \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right)} \right| + \ln \left| {\cos x} \right|} \right] + C$ $ = \sqrt 2 \ln \left| {\frac{{\cos x}}{{\cos \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right)}}} \right| + C$ $ = – \sqrt 2 \ln \left| {1 – \tan x} \right| + C.$
Cách 2: Ta có: $J = \sqrt 2 \int {\frac{{dx}}{{\cos x\left( {\cos x – \sin x} \right)}}} $ $ = \sqrt 2 \int {\frac{{dx}}{{{{\cos }^2}x\left( {1 – \tan x} \right)}}} $ $ = \sqrt 2 \int {\frac{{d\left( {\tan x} \right)}}{{1 – \tan x}}} $ $ = – \sqrt 2 \int {\frac{{d(1 – \tan x)}}{{1 – \tan x}}} $ $ = – \sqrt 2 \ln \left| {1 – \tan x} \right| + C.$
Vậy ta được: $F\left( x \right) = – x – \ln \left| {1 – \tan x} \right| + C.$
