Dạng 11: Tìm nguyên hàm: $I = \int {\frac{{\sin x\cos xdx}}{{{{\left( {{a^2}{{\sin }^2}x + {b^2}{{\cos }^2}x} \right)}^\alpha }}}} .$
Cách giải: Nhận xét rằng: $\sin x\cos xdx$ $ = \frac{1}{{2\left( {{a^2} – {b^2}} \right)}}d\left( {{a^2}{{\sin }^2}x + {b^2}{{\cos }^2}x} \right).$
Ta xét 2 trường hợp:
+ Trường hợp 1: Với $α = 1$, ta được: $\int {\frac{{\sin x\cos xdx}}{{{a^2}{{\sin }^2}x + {b^2}{{\cos }^2}x}}} $ $ = \frac{1}{{2\left( {{a^2} – {b^2}} \right)}}\int {\frac{{d\left( {{a^2}{{\sin }^2}x + {b^2}{{\cos }^2}x} \right)}}{{{a^2}{{\sin }^2}x + {b^2}{{\cos }^2}x}}} $ $ = \frac{1}{{2\left( {{a^2} – {b^2}} \right)}}\ln \left( {{a^2}{{\sin }^2}x + {b^2}{{\cos }^2}x} \right) + C.$
+ Trường hợp 2: Với $α≠1$, ta được: $I = \frac{1}{{2\left( {{a^2} – {b^2}} \right)}}\int {\frac{{d\left( {{a^2}{{\sin }^2}x + {b^2}{{\cos }^2}x} \right)}}{{{{\left( {{a^2}{{\sin }^2}x + {b^2}{{\cos }^2}x} \right)}^\alpha }}}} $ $ = \frac{1}{{2\left( {{a^2} – {b^2}} \right)(1 – \alpha )}}{\left( {{a^2}{{\sin }^2}x + {b^2}{{\cos }^2}x} \right)^{ – \alpha + 1}} + C.$
Cách giải: Nhận xét rằng: $\sin x\cos xdx$ $ = \frac{1}{{2\left( {{a^2} – {b^2}} \right)}}d\left( {{a^2}{{\sin }^2}x + {b^2}{{\cos }^2}x} \right).$
Ta xét 2 trường hợp:
+ Trường hợp 1: Với $α = 1$, ta được: $\int {\frac{{\sin x\cos xdx}}{{{a^2}{{\sin }^2}x + {b^2}{{\cos }^2}x}}} $ $ = \frac{1}{{2\left( {{a^2} – {b^2}} \right)}}\int {\frac{{d\left( {{a^2}{{\sin }^2}x + {b^2}{{\cos }^2}x} \right)}}{{{a^2}{{\sin }^2}x + {b^2}{{\cos }^2}x}}} $ $ = \frac{1}{{2\left( {{a^2} – {b^2}} \right)}}\ln \left( {{a^2}{{\sin }^2}x + {b^2}{{\cos }^2}x} \right) + C.$
+ Trường hợp 2: Với $α≠1$, ta được: $I = \frac{1}{{2\left( {{a^2} – {b^2}} \right)}}\int {\frac{{d\left( {{a^2}{{\sin }^2}x + {b^2}{{\cos }^2}x} \right)}}{{{{\left( {{a^2}{{\sin }^2}x + {b^2}{{\cos }^2}x} \right)}^\alpha }}}} $ $ = \frac{1}{{2\left( {{a^2} – {b^2}} \right)(1 – \alpha )}}{\left( {{a^2}{{\sin }^2}x + {b^2}{{\cos }^2}x} \right)^{ – \alpha + 1}} + C.$
