Bài toán: Cho hai đường thẳng a và b chéo nhau, xác định góc giữa $2$ đường thẳng a và b.
Để xác định góc giữa hai đường thẳng a và b chéo nhau, ta sử dụng các cách sau:
Cách 1: Chọn hai đường thẳng cắt nhau a' và b' lần lượt song song với a và b. Khi đó $(\widehat {a,b}) = (\widehat {a’,b’})$.
Cách 2: Chọn một điểm $A$ bất kỳ thuộc $a$, rồi từ đó kẻ một đường thẳng $b’$ qua $A$ và song song với $b$. Khi đó $(\widehat {a,b}) = (\widehat {a,b’})$.
Ví dụ 1: Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình thoi cạnh $a$, $SA = a\sqrt 3 ,SA \bot BC$. Tính góc giữa hai đường thẳng $SD$ và $BC$?
Ta có: $BC//AD.$
Do đó $(SD,BC) = (SD,AD) = \widehat {SDA}.$
Vì $\left. \begin{array}{l}
BC||AD\\
SA \bot BC
\end{array} \right\}$ $ \Rightarrow SA \bot AD \Rightarrow \widehat {SAD} = {90^0}.$
Xét tam giác $ΔSAD$ vuông tại $A$ ta có:
$\tan \widehat {SDA} = \frac{{SA}}{{AD}} = \sqrt 3 $ $ \Rightarrow \widehat {SDA} = {60^0}.$
Vậy góc giữa hai đường thẳng $SD$ và $BC$ bằng $60$ độ.
Ví dụ 2: Cho tứ diện $ABCD$ có $AB = CD = 2a$. Gọi $M, N$ lần lượt là trung điểm của $BC$ và $AD$, $MN = a\sqrt 3 $. Tính góc giữa hai đường thẳng $AB$ và $CD$?
Gọi $I$ là trung điểm của $BD.$
Ta có: $\left. \begin{array}{l}
IN//AB\\
IM//CD
\end{array} \right\}$ $ \Rightarrow (AB,CD) = (IM,IN).$
Xét tam giác $IMN$ có:
$IM = IN = a,MN = a\sqrt 3 .$
Do đó $\cos \widehat {MIN} = \frac{{2{a^2} – 3{a^2}}}{{2{a^2}}} = – \frac{1}{2}$ $ \Rightarrow \widehat {MIN} = {120^0}.$
Vậy $(\widehat {AB,CD}) = {180^0} – {120^0} = {60^0}$.
Ví dụ 3: Cho hình lăng trụ $ABC.A’B’C’$ có độ dài cạnh bên bằng $2a$, đáy $ABC$ là tam giác vuông tại $A$, $AB = a,AC = a\sqrt 3$. Hình chiếu vuông góc của $A’$ lên $mp(ABC)$ là trung điểm của $BC$. Tính $cosin$ của góc giữa hai đường thẳng $AA’$ và $B’C’$?
Gọi $H$ là trung điểm của $BC.$
Ta có: $\left. \begin{array}{l}
AA’//BB’\\
B’C’//BH
\end{array} \right\}$ $ \Rightarrow (AA’,B’C’) = (BB’,BH).$
Hay $\cos (AA’,B’C’) = \cos (BB’,BH)$ $ = \left| {\cos \widehat {HBB’}} \right|.$
Xét tam giác $A’B’H$ có:
$\widehat {A’} = {90^0},A’B’ = a.$
$A’H = \sqrt {AA{‘^2} – A{H^2}} $ $ = \sqrt {AA{‘^2} – {{\left( {\frac{{BC}}{2}} \right)}^2}} = a\sqrt 3 .$
Suy ra $HB’ = \sqrt {A'{H^2} + A’B{‘^2}} = 2a.$
Do đó $\cos \widehat {HBB’} = \frac{{B{H^2} + BB{‘^2} – HB{‘^2}}}{{2.BH.BB’}} = \frac{1}{4}.$
Vậy $\cos (AA’,B’C’) = \left| {\cos \widehat {HBB’}} \right| = \frac{1}{4}$.
Để xác định góc giữa hai đường thẳng a và b chéo nhau, ta sử dụng các cách sau:
Cách 1: Chọn hai đường thẳng cắt nhau a' và b' lần lượt song song với a và b. Khi đó $(\widehat {a,b}) = (\widehat {a’,b’})$.
Cách 2: Chọn một điểm $A$ bất kỳ thuộc $a$, rồi từ đó kẻ một đường thẳng $b’$ qua $A$ và song song với $b$. Khi đó $(\widehat {a,b}) = (\widehat {a,b’})$.
Ví dụ 1: Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình thoi cạnh $a$, $SA = a\sqrt 3 ,SA \bot BC$. Tính góc giữa hai đường thẳng $SD$ và $BC$?
Ta có: $BC//AD.$
Do đó $(SD,BC) = (SD,AD) = \widehat {SDA}.$
Vì $\left. \begin{array}{l}
BC||AD\\
SA \bot BC
\end{array} \right\}$ $ \Rightarrow SA \bot AD \Rightarrow \widehat {SAD} = {90^0}.$
Xét tam giác $ΔSAD$ vuông tại $A$ ta có:
$\tan \widehat {SDA} = \frac{{SA}}{{AD}} = \sqrt 3 $ $ \Rightarrow \widehat {SDA} = {60^0}.$
Vậy góc giữa hai đường thẳng $SD$ và $BC$ bằng $60$ độ.
Ví dụ 2: Cho tứ diện $ABCD$ có $AB = CD = 2a$. Gọi $M, N$ lần lượt là trung điểm của $BC$ và $AD$, $MN = a\sqrt 3 $. Tính góc giữa hai đường thẳng $AB$ và $CD$?
Gọi $I$ là trung điểm của $BD.$
Ta có: $\left. \begin{array}{l}
IN//AB\\
IM//CD
\end{array} \right\}$ $ \Rightarrow (AB,CD) = (IM,IN).$
Xét tam giác $IMN$ có:
$IM = IN = a,MN = a\sqrt 3 .$
Do đó $\cos \widehat {MIN} = \frac{{2{a^2} – 3{a^2}}}{{2{a^2}}} = – \frac{1}{2}$ $ \Rightarrow \widehat {MIN} = {120^0}.$
Vậy $(\widehat {AB,CD}) = {180^0} – {120^0} = {60^0}$.
Ví dụ 3: Cho hình lăng trụ $ABC.A’B’C’$ có độ dài cạnh bên bằng $2a$, đáy $ABC$ là tam giác vuông tại $A$, $AB = a,AC = a\sqrt 3$. Hình chiếu vuông góc của $A’$ lên $mp(ABC)$ là trung điểm của $BC$. Tính $cosin$ của góc giữa hai đường thẳng $AA’$ và $B’C’$?
Gọi $H$ là trung điểm của $BC.$
Ta có: $\left. \begin{array}{l}
AA’//BB’\\
B’C’//BH
\end{array} \right\}$ $ \Rightarrow (AA’,B’C’) = (BB’,BH).$
Hay $\cos (AA’,B’C’) = \cos (BB’,BH)$ $ = \left| {\cos \widehat {HBB’}} \right|.$
Xét tam giác $A’B’H$ có:
$\widehat {A’} = {90^0},A’B’ = a.$
$A’H = \sqrt {AA{‘^2} – A{H^2}} $ $ = \sqrt {AA{‘^2} – {{\left( {\frac{{BC}}{2}} \right)}^2}} = a\sqrt 3 .$
Suy ra $HB’ = \sqrt {A'{H^2} + A’B{‘^2}} = 2a.$
Do đó $\cos \widehat {HBB’} = \frac{{B{H^2} + BB{‘^2} – HB{‘^2}}}{{2.BH.BB’}} = \frac{1}{4}.$
Vậy $\cos (AA’,B’C’) = \left| {\cos \widehat {HBB’}} \right| = \frac{1}{4}$.
Chỉnh sửa cuối:
