ứng dụng tính đơn điều của hàm số để chứng minh bất đẳng thức

[Tăng Giáp]

Phương pháp: Dùng đạo hàm chúng ta có thể xét được tính đồng biến và nghịch biến của một hàm số trên một miền nào đó, vì vậy có thể ứng dụng để chứng minh khá nhiều bất đẳng thức.

Cụ thể: Xét hàm số f(x) trên đoạn [a; b],

• Nếu f’(x) $ \ge 0, \forall x \in [a;b] \Leftrightarrow $hàm số f(x) đồng biến trên [a; b] → f(x) ≥ f(a) hoặc f(x) ≤ f(b).
• Nếu f’(x) $ \le 0, \forall x \in [a;b] \Leftrightarrow $hàm số f(x) đồng biến trên [a; b] → f(x) ≥ f(a) hoặc f(x) ≤ f(b).

Bài Tập Áp Dụng

Bài 1. Cho 0 < x < π/2. Chứng minh rằng:
a. sinx < x.
b. tanx > x.

Giải​

a. Xét hàm số f(x) = sinx – x với 0 < x < π/2.
Đạo hàm: f’(x) = cosx – 1 < 0 với 0 < x < π/2 ↔ hàm số f(x) nghịch biến trên (0; π/2)
Do đó: f(x) < f(0) với 0 < x < π/2 ↔ sinx – x < 0 với 0 < x < π/2 ↔ sinx < x với 0 < x < π/2 (đpcm)

b. Xét hàm số f(x) = tanx – x với 0 < x < π/2.
Đạo hàm: f’(x) = $\frac{1}{{{{\cos }^2}x}}$ – 1 = tan2x > 0 với 0 < x < π/2 ↔ hàm số f(x) đồng biến trên (0; π/2)
Do đó: f(x) > f(0) với 0 < x < π/2 ↔ tanx – x > 0 với 0 < x < π/2 ↔ tanx > x với 0 < x < π/2 (đpcm)

Bài 2: Chứng minh rằng: $x - \frac{{{x^3}}}{6} < \sin x$ với x > 0.

Giải​

Xét hàm số f(x) = $x - \frac{{{x^3}}}{6} - \sin x$ với x > 0.
Đạo hàm: f’(x) = $x - \frac{{{x^3}}}{6} - \sin x$;
f”(x) = -x + sinx; f’”(x) = -1 + cosx < 0 với x > 0
<=> f”(x) nghịch biến với x > 0
=> f”(x) < f ‘’(0) với x > 0 <=> f”(x) < 0 với x > 0 <=> f’(x) nghịch biến với x > 0
=> f’(x) < f ‘(0) với x > 0<=> f’(x) < 0 với x > 0 <=> f(x) nghịch biến với x > 0
=> f(x) < f(0) với x > 0<=> $x - \frac{{{x^3}}}{6} - \sin x < 0$ với x > 0 $ \Leftrightarrow x - \frac{{{x^3}}}{6} < \sin x$với x > 0.

Lưu ý: Đôi khi chúng ta không thể khẳng định được ngay rằng f’(x) $ \ge 0, \forall x \in [a;b]$ hoặc
f’(x) $ \le 0, \forall x \in [a;b]$.
Trong các trường hợp như vậy, một thủ thuật thông thường được áp dụng là chúng ta liên tiếp tính đạo hàm để hạ bậc dần đa thức ẩn x.

Bài 3: Chứng minh rằng: sin20$^0$ > 1/3

Giải​

Áp dụng công thức: sin3x = 3sinx – 4sin$^3$x
Ta có: sin60$^0$ = 3sin20$^0$ -4sin$^3$20$^0$
Do đó sin20$^0$ là nghiệm của phương trình $\frac{{\sqrt 3 }}{2} = 3x - 4{x^3}$
Xét hàm số f(x) = 3x – 4x$^3$
Đạo hàm: f’(x) = 3 – 12x$^2$
Bảng biến thiên:

 

[Tăng Giáp]

BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Câu 1:Tìm a hàm số: $y = - \frac{1}{3}{x^3} + 2{x^2} + (2a + 1)x - 3a + 2$ luôn nghịch biến trên R.
ĐS: $a \le - \frac{5}{2}$

Câu 2:Tìm m hàm số: $y = {x^3} - 3(2m + 1){x^2} + (12m + 5)x + 2$ đồng biến trên $\left( {2; + \infty } \right)$.
ĐS: $m \le \frac{5}{{12}}$

câu 3: Cho hàm số $y = {x^3} - (m + 1){x^2} - ({m^2} - 3m + 2)x + 2m(2m - 1)$.Tìm m để hàm số đồng biến khi x ≥ 2 ĐS: - 2 ≤ m ≤ 3
Câu 4: Cho hàm số $y = {x^3} + 3{x^2} + (m + 1)x + 4m$. Tìm m để hs nghịch biến trên (- 1; 1)
ĐS: m ≤ - 10

Câu 5: Cho $y = \frac{{mx - 2}}{{x + m - 3}}$ . Tìm m để hs luôn nghịch biến trong miền xác định của nó.
Đáp số: 1 < m < 2

Câu 6: Cho $y = \frac{{m{x^2} - (m + 2)x + {m^2} - 2m + 2}}{{x - 1}}$. Tìm m để hs luôn đồng biến trên TXĐ của nó.
Đáp số: 0 < m < 2

Câu 7: Tìm m để hàm số luôn đồng biến trong (0; ∞): $y = \frac{{{x^2} + 2(m + 1)x + 2}}{{x + 1}}$
ĐS m ≥ 0

Câu 8: Tìm m hàm số sau đồng biến trong (0; + ∞): $y = \frac{{{x^2} - 2mx + m + 2}}{{x - m}}$
ĐS: $m \le \frac{{3 - \sqrt {17} }}{4}$ hoặc $m \ge \frac{{3 + \sqrt {17} }}{4}$

Câu 9. Chứng minh với mọi x > 0 ta có: ${e^x} > 1 + x + \frac{{{x^2}}}{2}$
HD:xét hàm số : $f(x) = {e^x} - 1 - x - \frac{{{x^2}}}{2}$ (đồng biến mọi x > 0)

Câu 10 Chứng minh với: 0 < x < π/2 chứng minh tanx > x
HD:xét hàm số :f(x) = tan(x) – x; f’(x) = tan$^2$x

 

[khanh2511]

Cám ơn thầy