Kiến thức cần nắm:
1. Thể tích của vật thể
Giả sử vật thể $T$ được giới hạn bởi hai mặt phẳng song song $(\alpha )$, $(\beta )$. Ta chọn trục $Ox$ sao cho:
$\left\{ \begin{array}{l}
Ox \bot (\alpha ) \\
Ox \bot (\beta )
\end{array} \right.$ và giả sử $\left\{ \begin{array}{l}
Ox \cap (\alpha ) = a\\
Ox \cap (\beta ) = b
\end{array} \right.$
Giả sử mặt phẳng $(\gamma ) \cap Ox$ và $(\gamma ) \cap Ox = x\left( {a \le x \le b} \right)$ cắt $T$ theo một thiết diện có diện tích $S\left( x \right)$ (là hàm số liên tục theo biến $x$). Khi đó, thể tích $V$ của vật thể $T$ được cho bởi công thức: $V = \int\limits_a^b {S(x)dx} .$
2. Thể tích của vật thể tròn xoay
a. Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ liên tục và không âm trên đoạn $\left[ {a;b} \right]$. Thể tích của vật thể tròn xoay sinh bởi miền $\left( D \right)$ giới hạn bởi $y = f\left( x \right)$, $x = a$, $x = b$, $y = 0$ quay quanh trục $Ox$ được cho bởi công thức: $V = \pi \int\limits_a^b {{y^2}dx} $ $ = \pi \int\limits_a^b {{f^2}(x)dx} .$
b. Cho hàm số $x = f\left( y \right)$ liên tục và không âm trên đoạn $\left[ {a;b} \right]$. Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh bởi miền $\left( D \right)$ giới hạn bởi $x = f\left( y \right)$, $y = a$, $y = b$, $x = 0$ quay quanh trục $Oy$ được cho bởi công thức: $V = \pi \int\limits_a^b {{x^2}dy} $ $ = \pi \int\limits_a^b {{f^2}(y)dy} .$
3. Thể tích khối nón và khối chóp, khối nón cụt và khối cầu
a. Thể tích khối nón (khối chóp) có diện tích đáy bằng $B$ và chiều cao $h$ được cho bởi $V = \frac{1}{3}Bh.$ Thể tích khối nón cụt (khối chóp cụt) có diện tích hai đáy là ${B_1}$, ${B_2}$ và chiều cao $h$ được cho bởi: $V = \frac{1}{3}({B_1} + {\rm{ }}{B_2} + \sqrt {{B_{1.}}.{B_2}} )h.$
b. Thể tích của khối cầu có bán kính $R$ được cho bởi: $V = \frac{4}{3}\pi {R^3}.$
Dạng toán 1: Tính thể tích vật thể
Phương pháp: Thực hiện theo hai bước:
+ Bước 1: Xác định công thức tính diện tích thiết diện $S\left( x \right)$ (hoặc $S\left( y \right)$) thông thường chúng ta gặp thiết diện là các hình cơ bản.
+ Bước 2: Khi đó: $V = \int\limits_a^b {S(x)dx} $ (hoặc $V = \int\limits_a^b {S(y)dy} $).
Ví dụ 1: Tính thể tích của vật thể:
a. Nằm giữa hai mặt phẳng $x = 0$ và $x = \frac{\pi }{2}$, biết rằng thiết diện của vật thể bị cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục $Ox$ tại điểm có hoành độ $x$ $\left( {0 \le x \le \frac{\pi }{2}} \right)$ là một hình vuông cạnh $\sqrt {{{\sin }^3}x} .$
b. Nằm giữa hai mặt phẳng $x = 1$ và $x = 4$, biết rằng thiết diện của vật thể bị cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục $Ox$ tại điểm có hoành độ $x$ $\left( {1 \le x \le 4} \right)$ là một tam giác đều cạnh là $\sqrt x – 1.$
a. Diện tích thiết diện $S\left( x \right)$ được cho bởi:
$S\left( x \right) = {\left( {\sqrt {{{\sin }^3}x} } \right)^2}$ $ = {\rm{ }}si{n^3}x$ $ = \frac{1}{4}\left( {3\sin x – \sin 3x} \right) .$
Khi đó, thể tích vật thể được cho bởi:
$V = \int\limits_{ – 1}^1 {S(x)dx} $ $ = \frac{1}{4}\int\limits_0^{\pi /2} {\left( {3\sin x – \sin 3x} \right)dx} $ $ = \frac{1}{4}\left( { – 3\cos x + \frac{1}{3}\cos 3x} \right)\left| \begin{array}{l}
\pi /2\\
0
\end{array} \right.$ $ = \frac{2}{3}.$
b. Diện tích thiết diện $S\left( x \right)$ được cho bởi:
$S\left( x \right) = \frac{{\sqrt 3 }}{4}{\left( {\sqrt x – 1} \right)^2}$ $ = \frac{{\sqrt 3 }}{4}\left( {x – 2\sqrt x + 1} \right).$
Khi đó, thể tích vật thể được cho bởi:
$V = \int\limits_{ – 1}^1 {S(x)dx} $ $ = \frac{{\sqrt 3 }}{4}\int\limits_1^4 {\left( {x – 2\sqrt x + 1} \right)dx} $ $ = \frac{{\sqrt 3 }}{4}\left( {\frac{1}{2}{x^2} – \frac{4}{3}{x^{\frac{3}{2}}} + x} \right)\left| {_1^4} \right.$ $ = \frac{{7\sqrt 3 }}{{24}}.$
Nhận xét: Như vậy, để tính các thể tích vật thể trên:
+ Ở câu 1.a vì thiết diện là hình vuông (giả sử cạnh bằng $a$) nên ta có ngay $S = {a^2}$.
+ Ở câu 1.b vì thiết diện là tam giác đều (giả sử cạnh bằng $a$) nên ta có ngay $S = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}.$
1. Thể tích của vật thể
Giả sử vật thể $T$ được giới hạn bởi hai mặt phẳng song song $(\alpha )$, $(\beta )$. Ta chọn trục $Ox$ sao cho:
$\left\{ \begin{array}{l}
Ox \bot (\alpha ) \\
Ox \bot (\beta )
\end{array} \right.$ và giả sử $\left\{ \begin{array}{l}
Ox \cap (\alpha ) = a\\
Ox \cap (\beta ) = b
\end{array} \right.$
Giả sử mặt phẳng $(\gamma ) \cap Ox$ và $(\gamma ) \cap Ox = x\left( {a \le x \le b} \right)$ cắt $T$ theo một thiết diện có diện tích $S\left( x \right)$ (là hàm số liên tục theo biến $x$). Khi đó, thể tích $V$ của vật thể $T$ được cho bởi công thức: $V = \int\limits_a^b {S(x)dx} .$
2. Thể tích của vật thể tròn xoay
a. Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ liên tục và không âm trên đoạn $\left[ {a;b} \right]$. Thể tích của vật thể tròn xoay sinh bởi miền $\left( D \right)$ giới hạn bởi $y = f\left( x \right)$, $x = a$, $x = b$, $y = 0$ quay quanh trục $Ox$ được cho bởi công thức: $V = \pi \int\limits_a^b {{y^2}dx} $ $ = \pi \int\limits_a^b {{f^2}(x)dx} .$
b. Cho hàm số $x = f\left( y \right)$ liên tục và không âm trên đoạn $\left[ {a;b} \right]$. Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh bởi miền $\left( D \right)$ giới hạn bởi $x = f\left( y \right)$, $y = a$, $y = b$, $x = 0$ quay quanh trục $Oy$ được cho bởi công thức: $V = \pi \int\limits_a^b {{x^2}dy} $ $ = \pi \int\limits_a^b {{f^2}(y)dy} .$
3. Thể tích khối nón và khối chóp, khối nón cụt và khối cầu
a. Thể tích khối nón (khối chóp) có diện tích đáy bằng $B$ và chiều cao $h$ được cho bởi $V = \frac{1}{3}Bh.$ Thể tích khối nón cụt (khối chóp cụt) có diện tích hai đáy là ${B_1}$, ${B_2}$ và chiều cao $h$ được cho bởi: $V = \frac{1}{3}({B_1} + {\rm{ }}{B_2} + \sqrt {{B_{1.}}.{B_2}} )h.$
b. Thể tích của khối cầu có bán kính $R$ được cho bởi: $V = \frac{4}{3}\pi {R^3}.$
Dạng toán 1: Tính thể tích vật thể
Phương pháp: Thực hiện theo hai bước:
+ Bước 1: Xác định công thức tính diện tích thiết diện $S\left( x \right)$ (hoặc $S\left( y \right)$) thông thường chúng ta gặp thiết diện là các hình cơ bản.
+ Bước 2: Khi đó: $V = \int\limits_a^b {S(x)dx} $ (hoặc $V = \int\limits_a^b {S(y)dy} $).
Ví dụ 1: Tính thể tích của vật thể:
a. Nằm giữa hai mặt phẳng $x = 0$ và $x = \frac{\pi }{2}$, biết rằng thiết diện của vật thể bị cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục $Ox$ tại điểm có hoành độ $x$ $\left( {0 \le x \le \frac{\pi }{2}} \right)$ là một hình vuông cạnh $\sqrt {{{\sin }^3}x} .$
b. Nằm giữa hai mặt phẳng $x = 1$ và $x = 4$, biết rằng thiết diện của vật thể bị cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục $Ox$ tại điểm có hoành độ $x$ $\left( {1 \le x \le 4} \right)$ là một tam giác đều cạnh là $\sqrt x – 1.$
a. Diện tích thiết diện $S\left( x \right)$ được cho bởi:
$S\left( x \right) = {\left( {\sqrt {{{\sin }^3}x} } \right)^2}$ $ = {\rm{ }}si{n^3}x$ $ = \frac{1}{4}\left( {3\sin x – \sin 3x} \right) .$
Khi đó, thể tích vật thể được cho bởi:
$V = \int\limits_{ – 1}^1 {S(x)dx} $ $ = \frac{1}{4}\int\limits_0^{\pi /2} {\left( {3\sin x – \sin 3x} \right)dx} $ $ = \frac{1}{4}\left( { – 3\cos x + \frac{1}{3}\cos 3x} \right)\left| \begin{array}{l}
\pi /2\\
0
\end{array} \right.$ $ = \frac{2}{3}.$
b. Diện tích thiết diện $S\left( x \right)$ được cho bởi:
$S\left( x \right) = \frac{{\sqrt 3 }}{4}{\left( {\sqrt x – 1} \right)^2}$ $ = \frac{{\sqrt 3 }}{4}\left( {x – 2\sqrt x + 1} \right).$
Khi đó, thể tích vật thể được cho bởi:
$V = \int\limits_{ – 1}^1 {S(x)dx} $ $ = \frac{{\sqrt 3 }}{4}\int\limits_1^4 {\left( {x – 2\sqrt x + 1} \right)dx} $ $ = \frac{{\sqrt 3 }}{4}\left( {\frac{1}{2}{x^2} – \frac{4}{3}{x^{\frac{3}{2}}} + x} \right)\left| {_1^4} \right.$ $ = \frac{{7\sqrt 3 }}{{24}}.$
Nhận xét: Như vậy, để tính các thể tích vật thể trên:
+ Ở câu 1.a vì thiết diện là hình vuông (giả sử cạnh bằng $a$) nên ta có ngay $S = {a^2}$.
+ Ở câu 1.b vì thiết diện là tam giác đều (giả sử cạnh bằng $a$) nên ta có ngay $S = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}.$
