Phương pháp chung: Để tìm nguyên hàm dạng $I = \int {\rm{R}} (\sin x,\cos x)dx$, trong đó $R$ là hàm hữu tỉ, ta lựa chọn một trong các hướng giải sau:
+ Hướng 1: Nếu ${\rm{R}}( – \sin x,\cos x) = – {\rm{R}}(\sin x,\cos x)$ thì sử dụng phép đổi biến tương ứng là: $t = \cos x.$
+ Hướng 2: Nếu $R(\sin x, – \cos x) = – R(\sin x,\cos x)$ thì sử dụng phép đổi biến tương ứng là: $t = \sin x.$
+ Hướng 3: Nếu ${\rm{R}}( – \sin x, – \cos x) = R (\sin x,\cos x)$ thì sử dụng phép đổi biến: $t = \tan x$ (một số trường hợp có thể là: $t = cot x$).
Do đó với các nguyên hàm dạng:
Nguyên hàm $I = \int {{{\tan }^n}} xdx$, với $n∈Z$ được xác định nhờ phép đổi biến: $t = \tan x.$
Nguyên hàm $I = \int {co{t^n}} xdx$, với $n∈Z$ được xác định nhờ phép đổi biến $t = \cot x.$
+ Hướng 4: Mọi trường hợp đều có thể đưa về tích phân các hàm hữu tỉ bằng phép đổi biến $t = \tan \frac{x}{2}.$
Ví dụ 19: Tìm nguyên hàm: $I = \int {\frac{{\cos x + \sin x.\cos x}}{{2 + \sin x}}} dx.$
Biến đổi $I$ về dạng: $I = \int {\frac{{(1 + \sin x)\cos x}}{{2 + \sin x}}} dx.$
Đặt $t = \sin x$ suy ra: $dt = \cos xdx$ và $\frac{{(1 + \sin x)\cos x}}{{2 + \sin x}}dx = \frac{{1 + t}}{{2 + t}}dt.$
Khi đó: $I = \int {\frac{{1 + t}}{{2 + t}}} dt$ $ = \int {\left( {1 – \frac{1}{{2 + t}}} \right)} dt$ $ = t – \ln |2 + t| + C$ $ = \sin x – \ln |2 + \sin x| + C.$
Nhận xét: Trong bài toán trên sở dĩ ta định hướng được phép biến đổi như vậy là bởi nhận xét rằng: $R(\sin x, – \cos x) = – R(\sin x,\cos x)$, do đó sử dụng phép đổi biến tương ứng là $t = \sin x.$
Ví dụ 20: Tìm nguyên hàm: $I = \int {\frac{{dx}}{{\sin x.{{\cos }^3}x}}} .$
Biến đổi $I$ về dạng: $I = \int {\frac{{dx}}{{\tan x.{{\cos }^4}x}}} .$
Đặt $t = \tan x$, suy ra: $dt = \frac{{dx}}{{{{\cos }^2}x}}$ và $\frac{{dx}}{{\tan x.{{\cos }^4}x}}$ $ = \frac{1}{{\tan x}}\left( {1 + {{\tan }^2}x} \right)\frac{{dx}}{{{{\cos }^2}x}}$ $ = \frac{{\left( {1 + {t^2}} \right)dt}}{t}$ $ = \left( {\frac{1}{t} + t} \right)dt.$
Khi đó: $I = \int {\left( {\frac{1}{t} + t} \right)dt} $ $ = \ln |t| + \frac{1}{2}{t^2} + C$ $ = \ln \left| {\tan x} \right| + \frac{1}{2}{\tan ^2}x + C.$
Nhận xét:
+ Trong bài toán trên sở dĩ ta định hướng được phép biến đổi như vậy là bởi nhận xét rằng: $R( – \sin x, – \cos x) = R(\sin x,\cos x).$
+ Việc đánh giá hàm số dưới dấu tích phân như trên để lựa chọn phép đặt ẩn phụ thích hợp luôn tỏ ra rất hiệu quả đối với bài toán xác định nguyên hàm của các hàm lượng giác chứa căn. Ta đi xem xét ví dụ sau:
Ví dụ 21: Tìm nguyên hàm: $I = \int {\frac{{dx}}{{\sqrt[4]{{{{\sin }^3}x.{{\cos }^5}x}}}}} .$
Biến đổi $I$ về dạng: $I = \int {\frac{{dx}}{{\sqrt[4]{{{{\tan }^3}x.{{\cos }^8}x}}}}} $ $ = \int {\frac{{dx}}{{{{\cos }^2}x.\sqrt[4]{{{{\tan }^3}x}}}}.} $
Đặt $t = \tan x$, suy ra: $dt = \frac{{dx}}{{{{\cos }^2}x}}$ và $\frac{{dx}}{{{{\cos }^2}x.\sqrt[4]{{{{\tan }^3}x}}}} = \frac{{dt}}{{\sqrt[4]{{{t^3}}}}}.$
Khi đó: $I = \int {\frac{{dt}}{{\sqrt[4]{{{t^3}}}}}} $ $ = 4\sqrt[4]{t} + C$ $ = 4\sqrt[4]{{\tan x}} + C.$
Ví dụ 22: Tìm nguyên hàm: $I = \int {\frac{{\sin xdx}}{{\cos x\sqrt {{{\sin }^2}x + 1} }}} .$
Đặt $t = \cos x \Rightarrow dt = – \sin xdx$, do đó: $I = – \int {\frac{{dt}}{{t\sqrt {2 – {t^2}} }}} .$
Ta cần xét 2 trường hợp: $t>0$ và $t<0:$
+ Với $t>0$, ta có: $I = – \int {\frac{{dt}}{{{t^2}\sqrt {\frac{2}{{{t^2}}} – 1} }}} $ $ = \int {\frac{{d\left( {\frac{1}{t}} \right)}}{{\sqrt {\frac{2}{{{t^2}}} – 1} }}} $ $ = \frac{1}{{\sqrt 2 }}\ln \left| {\frac{{\sqrt 2 }}{t} + \sqrt {\frac{2}{{{t^2}}} – 1} } \right| + C$ $ = \frac{1}{{\sqrt 2 }}\ln \left| {\frac{{\sqrt 2 + \sqrt {2 – {t^2}} }}{t}} \right| + C.$
+ Với $t<0$, ta có: $I = \int {\frac{{dt}}{{{t^2}\sqrt {\frac{2}{{{t^2}}} – 1} }}} $ $ = – \int {\frac{{d\left( {\frac{1}{t}} \right)}}{{\sqrt {\frac{2}{{{t^2}}} – 1} }}} $ $ = – \frac{1}{{\sqrt 2 }}\ln \left| {\frac{{\sqrt 2 }}{t} + \sqrt {\frac{2}{{{t^2}}} – 1} } \right| + C$ $ = – \frac{1}{{\sqrt 2 }}\ln \left| {\frac{{\sqrt 2 – \sqrt {2 – {t^2}} }}{t}} \right| + C$ $ = \frac{1}{{\sqrt 2 }}\ln \left| {\frac{{\sqrt 2 + \sqrt {2 – {t^2}} }}{t}} \right| + C.$
Tóm lại ta được: $I = \frac{1}{{\sqrt 2 }}\ln \left| {\frac{{\sqrt 2 + \sqrt {2 – {t^2}} }}{t}} \right| + C$ $ = \frac{1}{{\sqrt 2 }}\ln \left| {\frac{{\sqrt 2 + \sqrt {1 + {{\sin }^2}x} }}{{\cos x}}} \right| + C.$
+ Hướng 1: Nếu ${\rm{R}}( – \sin x,\cos x) = – {\rm{R}}(\sin x,\cos x)$ thì sử dụng phép đổi biến tương ứng là: $t = \cos x.$
+ Hướng 2: Nếu $R(\sin x, – \cos x) = – R(\sin x,\cos x)$ thì sử dụng phép đổi biến tương ứng là: $t = \sin x.$
+ Hướng 3: Nếu ${\rm{R}}( – \sin x, – \cos x) = R (\sin x,\cos x)$ thì sử dụng phép đổi biến: $t = \tan x$ (một số trường hợp có thể là: $t = cot x$).
Do đó với các nguyên hàm dạng:
Nguyên hàm $I = \int {{{\tan }^n}} xdx$, với $n∈Z$ được xác định nhờ phép đổi biến: $t = \tan x.$
Nguyên hàm $I = \int {co{t^n}} xdx$, với $n∈Z$ được xác định nhờ phép đổi biến $t = \cot x.$
+ Hướng 4: Mọi trường hợp đều có thể đưa về tích phân các hàm hữu tỉ bằng phép đổi biến $t = \tan \frac{x}{2}.$
Ví dụ 19: Tìm nguyên hàm: $I = \int {\frac{{\cos x + \sin x.\cos x}}{{2 + \sin x}}} dx.$
Biến đổi $I$ về dạng: $I = \int {\frac{{(1 + \sin x)\cos x}}{{2 + \sin x}}} dx.$
Đặt $t = \sin x$ suy ra: $dt = \cos xdx$ và $\frac{{(1 + \sin x)\cos x}}{{2 + \sin x}}dx = \frac{{1 + t}}{{2 + t}}dt.$
Khi đó: $I = \int {\frac{{1 + t}}{{2 + t}}} dt$ $ = \int {\left( {1 – \frac{1}{{2 + t}}} \right)} dt$ $ = t – \ln |2 + t| + C$ $ = \sin x – \ln |2 + \sin x| + C.$
Nhận xét: Trong bài toán trên sở dĩ ta định hướng được phép biến đổi như vậy là bởi nhận xét rằng: $R(\sin x, – \cos x) = – R(\sin x,\cos x)$, do đó sử dụng phép đổi biến tương ứng là $t = \sin x.$
Ví dụ 20: Tìm nguyên hàm: $I = \int {\frac{{dx}}{{\sin x.{{\cos }^3}x}}} .$
Biến đổi $I$ về dạng: $I = \int {\frac{{dx}}{{\tan x.{{\cos }^4}x}}} .$
Đặt $t = \tan x$, suy ra: $dt = \frac{{dx}}{{{{\cos }^2}x}}$ và $\frac{{dx}}{{\tan x.{{\cos }^4}x}}$ $ = \frac{1}{{\tan x}}\left( {1 + {{\tan }^2}x} \right)\frac{{dx}}{{{{\cos }^2}x}}$ $ = \frac{{\left( {1 + {t^2}} \right)dt}}{t}$ $ = \left( {\frac{1}{t} + t} \right)dt.$
Khi đó: $I = \int {\left( {\frac{1}{t} + t} \right)dt} $ $ = \ln |t| + \frac{1}{2}{t^2} + C$ $ = \ln \left| {\tan x} \right| + \frac{1}{2}{\tan ^2}x + C.$
Nhận xét:
+ Trong bài toán trên sở dĩ ta định hướng được phép biến đổi như vậy là bởi nhận xét rằng: $R( – \sin x, – \cos x) = R(\sin x,\cos x).$
+ Việc đánh giá hàm số dưới dấu tích phân như trên để lựa chọn phép đặt ẩn phụ thích hợp luôn tỏ ra rất hiệu quả đối với bài toán xác định nguyên hàm của các hàm lượng giác chứa căn. Ta đi xem xét ví dụ sau:
Ví dụ 21: Tìm nguyên hàm: $I = \int {\frac{{dx}}{{\sqrt[4]{{{{\sin }^3}x.{{\cos }^5}x}}}}} .$
Biến đổi $I$ về dạng: $I = \int {\frac{{dx}}{{\sqrt[4]{{{{\tan }^3}x.{{\cos }^8}x}}}}} $ $ = \int {\frac{{dx}}{{{{\cos }^2}x.\sqrt[4]{{{{\tan }^3}x}}}}.} $
Đặt $t = \tan x$, suy ra: $dt = \frac{{dx}}{{{{\cos }^2}x}}$ và $\frac{{dx}}{{{{\cos }^2}x.\sqrt[4]{{{{\tan }^3}x}}}} = \frac{{dt}}{{\sqrt[4]{{{t^3}}}}}.$
Khi đó: $I = \int {\frac{{dt}}{{\sqrt[4]{{{t^3}}}}}} $ $ = 4\sqrt[4]{t} + C$ $ = 4\sqrt[4]{{\tan x}} + C.$
Ví dụ 22: Tìm nguyên hàm: $I = \int {\frac{{\sin xdx}}{{\cos x\sqrt {{{\sin }^2}x + 1} }}} .$
Đặt $t = \cos x \Rightarrow dt = – \sin xdx$, do đó: $I = – \int {\frac{{dt}}{{t\sqrt {2 – {t^2}} }}} .$
Ta cần xét 2 trường hợp: $t>0$ và $t<0:$
+ Với $t>0$, ta có: $I = – \int {\frac{{dt}}{{{t^2}\sqrt {\frac{2}{{{t^2}}} – 1} }}} $ $ = \int {\frac{{d\left( {\frac{1}{t}} \right)}}{{\sqrt {\frac{2}{{{t^2}}} – 1} }}} $ $ = \frac{1}{{\sqrt 2 }}\ln \left| {\frac{{\sqrt 2 }}{t} + \sqrt {\frac{2}{{{t^2}}} – 1} } \right| + C$ $ = \frac{1}{{\sqrt 2 }}\ln \left| {\frac{{\sqrt 2 + \sqrt {2 – {t^2}} }}{t}} \right| + C.$
+ Với $t<0$, ta có: $I = \int {\frac{{dt}}{{{t^2}\sqrt {\frac{2}{{{t^2}}} – 1} }}} $ $ = – \int {\frac{{d\left( {\frac{1}{t}} \right)}}{{\sqrt {\frac{2}{{{t^2}}} – 1} }}} $ $ = – \frac{1}{{\sqrt 2 }}\ln \left| {\frac{{\sqrt 2 }}{t} + \sqrt {\frac{2}{{{t^2}}} – 1} } \right| + C$ $ = – \frac{1}{{\sqrt 2 }}\ln \left| {\frac{{\sqrt 2 – \sqrt {2 – {t^2}} }}{t}} \right| + C$ $ = \frac{1}{{\sqrt 2 }}\ln \left| {\frac{{\sqrt 2 + \sqrt {2 – {t^2}} }}{t}} \right| + C.$
Tóm lại ta được: $I = \frac{1}{{\sqrt 2 }}\ln \left| {\frac{{\sqrt 2 + \sqrt {2 – {t^2}} }}{t}} \right| + C$ $ = \frac{1}{{\sqrt 2 }}\ln \left| {\frac{{\sqrt 2 + \sqrt {1 + {{\sin }^2}x} }}{{\cos x}}} \right| + C.$
