Phương pháp: Ta có hai dạng sau:
+ Dạng 1: Công thức tính thể tích vật thể tròn xoay sinh bởi miền $\left( D \right)$ giới hạn bởi $y = f\left( x \right)$, $x = a$, $x = b$, $y = 0$ khi quay quanh trục $Ox$: $V = \pi \int\limits_a^b {{y^2}dx} $ $ = \pi \int\limits_a^b {{f^2}(x)dx} .$
+ Dạng 2: Công thức tính thể tích vật thể tròn xoay sinh bởi miền $\left( D \right)$ giới hạn bởi $x = f\left( y \right)$, $y = a$, $y = b$, $x = 0$ khi quay quanh trục $Oy$: $V = \pi \int\limits_a^b {{x^2}dy} $ $ = \pi \int\limits_a^b {{f^2}(y)dy} .$
Chú ý: Trong một số trường hợp chúng ta cần tìm cận $a$, $b$ thông qua việc thiết lập điều kiện không âm cho hàm số $f\left( x \right)$ (hoặc $f(y)$).
Ví dụ 2: Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành khi:
a. Quay quanh trục hoành một hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = {e^x}$, trục hoành và hai đường thẳng $x = 0$, $x = 3.$
b. Quay quanh trục tung một hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = 3 – {x^2}$, trục tung và đường thẳng $y = 1.$
a. Thể tích vật thể được cho bởi: $V = \pi \int\limits_0^3 {{y^2}dx} $ $ = \pi \int\limits_0^3 {{e^{2x}}dx} $ $ = \frac{\pi }{2}{e^{2x}}\left| {_0^3} \right.$ $ = \frac{\pi }{2}({e^6} – 1).$
b. Biến đổi hàm số về dạng: $y = 3 – {x^2}$ $ \Leftrightarrow {x^2} = 3 – y$ (cần có điều kiện $3 – y \ge 0$ $ \Leftrightarrow y \le 3$).
Khi đó, thể tích vật thể được cho bởi: $V = \pi \int\limits_1^3 {{x^2}dy} $ $ = \pi \int\limits_1^3 {(3 – y)dy} $ $ = \pi \left( {3y – \frac{{{y^2}}}{2}} \right)\left| {_1^3} \right.$ $ = 2\pi .$
Nhận xét: Như vậy, để tính các thể tích khối tròn xoay trên:
+ Ở câu 2.a chúng ta sử dụng ngay công thức trong dạng 1.
+ Ở câu 2.b chúng ta cần thực thêm công việc biến đổi hàm số về dạng $x = f\left( y \right)$ và ở đây nhờ điều kiện có nghĩa của $y$ chúng ta nhận được cận $y = 3.$
Ví dụ 3: Tính thể tích của khối tròn xoay tạo nên khi ta quay hình $H$ quanh trục $Ox$, với:
a. $H = {\rm{\{ }}y = 0;y = \sqrt {1 + {{\cos }^4}x + {{\sin }^4}x} ;$ $x = \frac{\pi }{2};x = \pi {\rm{\} }}.$
b. $H = {\rm{\{ }}y = 0;y = \sqrt {{{\cos }^6}x + {{\sin }^6}x} ;$ $x = 0;x = \frac{\pi }{2}{\rm{\} }}.$
a. Thể tích vật tròn xoay cần tính được cho bởi:
$V = \pi \int\limits_{\pi /2}^\pi {(1 + {{\cos }^4}x + {{\sin }^4}x)} dx$ $ = \pi \int\limits_{\pi /2}^\pi {(\frac{{7 – \cos 4x}}{4})dx} $ $ = \pi \left( {\frac{7}{4}x – \frac{1}{{16}}\sin 4x} \right)\left| \begin{array}{l}
\pi \\
\pi /2
\end{array} \right.$ $ = \frac{7}{8}{\pi ^2}$ (đvtt).
b. Thể tích vật thể tròn xoay cần tính là:
$V = \pi \int\limits_0^{\pi /2} {({{\cos }^6}x} + {\sin ^6}x)dx$ $ = \pi \int\limits_0^{\pi /2} {(1 – \frac{3}{4}{{\sin }^2}2x)dx} $ $ = \pi \int\limits_0^{\pi /2} {(\frac{5}{8} + \frac{3}{8}\cos 4x)dx} $ $ = \pi \left( {\frac{5}{8}x + \frac{3}{{32}}\sin 4x} \right)\left| \begin{array}{l}
\frac{\pi }{2}\\
0
\end{array} \right.$ $ = \frac{{5{\pi ^2}}}{{16}}$ (đvtt).
Ví dụ 4: Tính thể tích của khối tròn xoay tạo nên khi ta quay hình $H$ quanh trục $Ox$, với:
a. $H = \left\{ {y = 3ax – {x^2}\left( {a > 0} \right),y = 0} \right\}.$
b. $H = \left\{ {y = xlnx;y = 0;x = 1;x = e} \right\}.$
a. Phương trình hoành độ giao điểm của $\left( P \right)$ và $Ox$ là:
$3ax – {x^2} = 0$ $ \Leftrightarrow x = 0$ hoặc $x = 3a.$
Khi đó, thể tích cần xác định được cho bởi:
$V = \pi \int\limits_0^{3a} {{{(3ax – {x^2})}^2}dx} $ $ = \pi \int\limits_0^{3a} {({x^4} – 6a{x^3} + 9{a^2}{x^2})dx} $ $ = \pi \left( {\frac{1}{5}{x^5} – \frac{{3a}}{2}{x^4} + 3{a^2}{x^3}} \right)\left| \begin{array}{l}
3a\\
0
\end{array} \right.$ $ = \frac{{81{a^5}\pi }}{{10}}$ (đvtt).
b. Thể tích vật thể tròn xoay cần tính là:
$V = \pi \int\limits_1^e {{{(x\ln x)}^2}} dx$ $ = \pi \int\limits_1^e {{x^2}{{\ln }^2}x} dx.$
Để tính tích phân trên ta sử dụng phương pháp tích phân từng phần, đặt:
$\left\{ \begin{array}{l}
u = {\ln ^2}x\\
dv = {x^2}dx
\end{array} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
du = \frac{2}{x}\ln xdx\\
v = \frac{1}{3}{x^3}
\end{array} \right.$
Khi đó: $V = \pi \left( {\frac{1}{3}{x^3}{{\ln }^2}x} \right)\left| \begin{array}{l}
e\\
1
\end{array} \right.$ $ – \frac{{2\pi }}{3}\int\limits_1^e {{x^2}\ln x} dx$ $ = \frac{{\pi {e^3}}}{3} – \frac{{2\pi }}{3}\underbrace {\int\limits_1^e {{x^2}\ln x} dx}_I$ $(1).$
Xét tích phân $I$, đặt:
$\left\{ \begin{array}{l}
u = \ln x\\
dv = {x^2}dx
\end{array} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
du = \frac{1}{x}dx\\
v = \frac{1}{3}{x^3}
\end{array} \right.$
Khi đó: $I = \frac{1}{3}{x^3}lnx\left| {_1^e} \right. – \frac{1}{3} \int\limits_1^e {{x^2}dx} $ $ = \frac{{{e^3}}}{3} – \frac{1}{9}{x^3}\left| {_1^e} \right.$ $ = \frac{{2{e^3}}}{9} + \frac{1}{9}$ $(2).$
Thay $(2)$ vào $(1)$, ta được: $V = \frac{{\pi (5{e^3} – 2)}}{{27}}$ (đvtt).
+ Dạng 1: Công thức tính thể tích vật thể tròn xoay sinh bởi miền $\left( D \right)$ giới hạn bởi $y = f\left( x \right)$, $x = a$, $x = b$, $y = 0$ khi quay quanh trục $Ox$: $V = \pi \int\limits_a^b {{y^2}dx} $ $ = \pi \int\limits_a^b {{f^2}(x)dx} .$
+ Dạng 2: Công thức tính thể tích vật thể tròn xoay sinh bởi miền $\left( D \right)$ giới hạn bởi $x = f\left( y \right)$, $y = a$, $y = b$, $x = 0$ khi quay quanh trục $Oy$: $V = \pi \int\limits_a^b {{x^2}dy} $ $ = \pi \int\limits_a^b {{f^2}(y)dy} .$
Chú ý: Trong một số trường hợp chúng ta cần tìm cận $a$, $b$ thông qua việc thiết lập điều kiện không âm cho hàm số $f\left( x \right)$ (hoặc $f(y)$).
Ví dụ 2: Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành khi:
a. Quay quanh trục hoành một hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = {e^x}$, trục hoành và hai đường thẳng $x = 0$, $x = 3.$
b. Quay quanh trục tung một hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = 3 – {x^2}$, trục tung và đường thẳng $y = 1.$
a. Thể tích vật thể được cho bởi: $V = \pi \int\limits_0^3 {{y^2}dx} $ $ = \pi \int\limits_0^3 {{e^{2x}}dx} $ $ = \frac{\pi }{2}{e^{2x}}\left| {_0^3} \right.$ $ = \frac{\pi }{2}({e^6} – 1).$
b. Biến đổi hàm số về dạng: $y = 3 – {x^2}$ $ \Leftrightarrow {x^2} = 3 – y$ (cần có điều kiện $3 – y \ge 0$ $ \Leftrightarrow y \le 3$).
Khi đó, thể tích vật thể được cho bởi: $V = \pi \int\limits_1^3 {{x^2}dy} $ $ = \pi \int\limits_1^3 {(3 – y)dy} $ $ = \pi \left( {3y – \frac{{{y^2}}}{2}} \right)\left| {_1^3} \right.$ $ = 2\pi .$
Nhận xét: Như vậy, để tính các thể tích khối tròn xoay trên:
+ Ở câu 2.a chúng ta sử dụng ngay công thức trong dạng 1.
+ Ở câu 2.b chúng ta cần thực thêm công việc biến đổi hàm số về dạng $x = f\left( y \right)$ và ở đây nhờ điều kiện có nghĩa của $y$ chúng ta nhận được cận $y = 3.$
Ví dụ 3: Tính thể tích của khối tròn xoay tạo nên khi ta quay hình $H$ quanh trục $Ox$, với:
a. $H = {\rm{\{ }}y = 0;y = \sqrt {1 + {{\cos }^4}x + {{\sin }^4}x} ;$ $x = \frac{\pi }{2};x = \pi {\rm{\} }}.$
b. $H = {\rm{\{ }}y = 0;y = \sqrt {{{\cos }^6}x + {{\sin }^6}x} ;$ $x = 0;x = \frac{\pi }{2}{\rm{\} }}.$
a. Thể tích vật tròn xoay cần tính được cho bởi:
$V = \pi \int\limits_{\pi /2}^\pi {(1 + {{\cos }^4}x + {{\sin }^4}x)} dx$ $ = \pi \int\limits_{\pi /2}^\pi {(\frac{{7 – \cos 4x}}{4})dx} $ $ = \pi \left( {\frac{7}{4}x – \frac{1}{{16}}\sin 4x} \right)\left| \begin{array}{l}
\pi \\
\pi /2
\end{array} \right.$ $ = \frac{7}{8}{\pi ^2}$ (đvtt).
b. Thể tích vật thể tròn xoay cần tính là:
$V = \pi \int\limits_0^{\pi /2} {({{\cos }^6}x} + {\sin ^6}x)dx$ $ = \pi \int\limits_0^{\pi /2} {(1 – \frac{3}{4}{{\sin }^2}2x)dx} $ $ = \pi \int\limits_0^{\pi /2} {(\frac{5}{8} + \frac{3}{8}\cos 4x)dx} $ $ = \pi \left( {\frac{5}{8}x + \frac{3}{{32}}\sin 4x} \right)\left| \begin{array}{l}
\frac{\pi }{2}\\
0
\end{array} \right.$ $ = \frac{{5{\pi ^2}}}{{16}}$ (đvtt).
Ví dụ 4: Tính thể tích của khối tròn xoay tạo nên khi ta quay hình $H$ quanh trục $Ox$, với:
a. $H = \left\{ {y = 3ax – {x^2}\left( {a > 0} \right),y = 0} \right\}.$
b. $H = \left\{ {y = xlnx;y = 0;x = 1;x = e} \right\}.$
a. Phương trình hoành độ giao điểm của $\left( P \right)$ và $Ox$ là:
$3ax – {x^2} = 0$ $ \Leftrightarrow x = 0$ hoặc $x = 3a.$
Khi đó, thể tích cần xác định được cho bởi:
$V = \pi \int\limits_0^{3a} {{{(3ax – {x^2})}^2}dx} $ $ = \pi \int\limits_0^{3a} {({x^4} – 6a{x^3} + 9{a^2}{x^2})dx} $ $ = \pi \left( {\frac{1}{5}{x^5} – \frac{{3a}}{2}{x^4} + 3{a^2}{x^3}} \right)\left| \begin{array}{l}
3a\\
0
\end{array} \right.$ $ = \frac{{81{a^5}\pi }}{{10}}$ (đvtt).
b. Thể tích vật thể tròn xoay cần tính là:
$V = \pi \int\limits_1^e {{{(x\ln x)}^2}} dx$ $ = \pi \int\limits_1^e {{x^2}{{\ln }^2}x} dx.$
Để tính tích phân trên ta sử dụng phương pháp tích phân từng phần, đặt:
$\left\{ \begin{array}{l}
u = {\ln ^2}x\\
dv = {x^2}dx
\end{array} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
du = \frac{2}{x}\ln xdx\\
v = \frac{1}{3}{x^3}
\end{array} \right.$
Khi đó: $V = \pi \left( {\frac{1}{3}{x^3}{{\ln }^2}x} \right)\left| \begin{array}{l}
e\\
1
\end{array} \right.$ $ – \frac{{2\pi }}{3}\int\limits_1^e {{x^2}\ln x} dx$ $ = \frac{{\pi {e^3}}}{3} – \frac{{2\pi }}{3}\underbrace {\int\limits_1^e {{x^2}\ln x} dx}_I$ $(1).$
Xét tích phân $I$, đặt:
$\left\{ \begin{array}{l}
u = \ln x\\
dv = {x^2}dx
\end{array} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
du = \frac{1}{x}dx\\
v = \frac{1}{3}{x^3}
\end{array} \right.$
Khi đó: $I = \frac{1}{3}{x^3}lnx\left| {_1^e} \right. – \frac{1}{3} \int\limits_1^e {{x^2}dx} $ $ = \frac{{{e^3}}}{3} – \frac{1}{9}{x^3}\left| {_1^e} \right.$ $ = \frac{{2{e^3}}}{9} + \frac{1}{9}$ $(2).$
Thay $(2)$ vào $(1)$, ta được: $V = \frac{{\pi (5{e^3} – 2)}}{{27}}$ (đvtt).
