Phương pháp tính thể tích khối lăng trụ
Công thức:
• Thể tích khối lăng trụ: $V = B.h$.
• Thể tích khối hộp chữ nhật có các cạnh $a, b, c$: $V = abc$.
• Thể tích khối lập phương cạnh $a$: $V = a^3$.
Để tính thể tích của khối lăng trụ ta cần đi tính chiều cao của lăng trụ và diện tích đáy.
Các tính chất của lăng trụ:
a. Hình lăng trụ
• Các cạnh bên của hình lăng trụ song song và bằng nhau.
• Các mặt bên của hình lăng trụ là các hình bình hành.
• Hai đáy của hình lăng trụ là hai đa giác bằng nhau và nằm trong hai mặt phẳng song song với nhau.
• Lăng trụ có các cạnh bên vuông góc hai đáy được gọi là lăng trụ đứng.
* Các cạnh bên của lăng trụ đứng chính là đường cao của nó.
* Các mặt bên của lăng trụ đứng là các hình chữ nhật.
• Lăng trụ đứng có đáy là đa giác đều được gọi là lăng trụ đều. Các mặt bên của lăng trụ đều là các hình chữ nhật bằng nhau.
b. Hình hộp: Là hình lăng trụ có đáy là hình bình hành:
• Hình hộp đứng có các cạnh bên vuông góc với đáy.
• Hình hộp đứng có đáy là hình chữ nhật được gọi là hình hộp chữ nhật.
• Hình hộp chữ nhật có ba kích thước bằng nhau được gọi là hình lập phương.
• Đường chéo của hình hộp chữ nhật có ba kích thước $a, b, c$ là: $d = \sqrt {a^2 + b^2 + c^2}.$
• Đường chéo của hình lập phương cạnh $a$ là $d = a \sqrt 3.$
Các dạng toán thể tích khối lăng trụ
Dạng 1: Khối lăng trụ đứng có chiều cao hay cạnh đáy
Ví dụ 1: Đáy của lăng trụ đứng tam giác $ABC.A’B’C’$ là tam giác $ABC$ vuông cân tại $A$ có cạnh $BC = a\sqrt 2 $ và biết $A’B = 3a$. Tính thể tích khối lăng trụ.
Ta có:
$\Delta ABC$ vuông cân tại $A$ nên $AB = AC = a.$
$ABC.A’B’C’$ là lăng trụ đứng $ \Rightarrow AA’ \bot AB$, do đó $\Delta AA’B$ vuông tại $A$ nên: $AA{‘^2} = A'{B^2} – A{B^2} = 8{a^2}$ $ \Rightarrow AA’ = 2a\sqrt 2 .$
Vậy $V = {S_{\Delta ABC}}.AA’ = {a^3}\sqrt 2 .$
Ví dụ 2: Cho lăng trụ tứ giác đều $ABCD.A’B’C’D’$ có cạnh bên bằng $4a$ và đường chéo $5a$. Tính thể tích khối lăng trụ này.
$ABCD.A’B’C’D’$ là lăng trụ đứng nên $ΔBDD’$ vuông tại $D$, do đó: $BD^2 = BD’^2 – DD’^2 = 9a^2$ $ \Rightarrow BD = 3a.$
$ABCD$ là hình vuông $ \Rightarrow AB = \frac{{3a}}{{\sqrt 2 }}.$
Suy ra ${S_{ABCD}} = \frac{{9{a^2}}}{4}.$
Vậy $V = S_{ABCD}.AA’ = 9a^3.$
Ví dụ 3: Đáy của lăng trụ đứng tam giác $ABC.A’B’C’$ là tam giác đều cạnh $a = 4$ và biết diện tích tam giác $A’BC$ bằng $8$. Tính thể tích khối lăng trụ.
Gọi $I$ là trung điểm $BC$. Ta có:
$ΔABC$ đều nên $AI = \frac{{AB\sqrt 3 }}{2} = 2\sqrt {3} $ và $AI \bot BC$ $ \Rightarrow A’I \bot BC$ (theo định lý ba đường vuông góc).
${S_{A’BC}} = \frac{1}{2}BC.A’I$ $ \Rightarrow A’I = \frac{{2{S_{A’BC}}}}{{BC}} = 4.$
$AA’ \bot (ABC) \Rightarrow AA’ \bot AI.$
$\Delta A’AI$ vuông tại $A$ nên $ \Rightarrow AA’ = \sqrt {A'{I^2} – A{I^2}} = 2.$
Vậy: ${V_{ABC.A’B’C’}} = {S_{ABC}}.AA’ = 8\sqrt 3 .$
Ví dụ 4: Cho hình hộp đứng có đáy là hình thoi cạnh $a$ và có góc nhọn bằng $60°.$Đường chéo lớn của đáy bằng đường chéo nhỏ của lăng trụ. Tính thể tích hình hộp.
Xác định các điểm như hình vẽ.
Ta có tam giác $ΔABD$ đều nên $BD = a$, ${S_{ABCD}} = 2{S_{ABD}} = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{2}.$
Theo đề bài $BD’ = AC = 2\frac{{a\sqrt 3 }}{2} = a\sqrt 3 .$
$\Delta DD’B$ vuông tại $D$ $ \Rightarrow DD’ = \sqrt {BD{‘^2} – B{D^2}} = a\sqrt 2 .$
Vậy $V = {S_{ABCD}}.DD’ = \frac{{{a^3}\sqrt 6 }}{2}.$
Công thức:
• Thể tích khối lăng trụ: $V = B.h$.
• Thể tích khối hộp chữ nhật có các cạnh $a, b, c$: $V = abc$.
• Thể tích khối lập phương cạnh $a$: $V = a^3$.
Để tính thể tích của khối lăng trụ ta cần đi tính chiều cao của lăng trụ và diện tích đáy.
Các tính chất của lăng trụ:
a. Hình lăng trụ
• Các cạnh bên của hình lăng trụ song song và bằng nhau.
• Các mặt bên của hình lăng trụ là các hình bình hành.
• Hai đáy của hình lăng trụ là hai đa giác bằng nhau và nằm trong hai mặt phẳng song song với nhau.
• Lăng trụ có các cạnh bên vuông góc hai đáy được gọi là lăng trụ đứng.
* Các cạnh bên của lăng trụ đứng chính là đường cao của nó.
* Các mặt bên của lăng trụ đứng là các hình chữ nhật.
• Lăng trụ đứng có đáy là đa giác đều được gọi là lăng trụ đều. Các mặt bên của lăng trụ đều là các hình chữ nhật bằng nhau.
b. Hình hộp: Là hình lăng trụ có đáy là hình bình hành:
• Hình hộp đứng có các cạnh bên vuông góc với đáy.
• Hình hộp đứng có đáy là hình chữ nhật được gọi là hình hộp chữ nhật.
• Hình hộp chữ nhật có ba kích thước bằng nhau được gọi là hình lập phương.
• Đường chéo của hình hộp chữ nhật có ba kích thước $a, b, c$ là: $d = \sqrt {a^2 + b^2 + c^2}.$
• Đường chéo của hình lập phương cạnh $a$ là $d = a \sqrt 3.$
Các dạng toán thể tích khối lăng trụ
Dạng 1: Khối lăng trụ đứng có chiều cao hay cạnh đáy
Ví dụ 1: Đáy của lăng trụ đứng tam giác $ABC.A’B’C’$ là tam giác $ABC$ vuông cân tại $A$ có cạnh $BC = a\sqrt 2 $ và biết $A’B = 3a$. Tính thể tích khối lăng trụ.
Ta có:
$\Delta ABC$ vuông cân tại $A$ nên $AB = AC = a.$
$ABC.A’B’C’$ là lăng trụ đứng $ \Rightarrow AA’ \bot AB$, do đó $\Delta AA’B$ vuông tại $A$ nên: $AA{‘^2} = A'{B^2} – A{B^2} = 8{a^2}$ $ \Rightarrow AA’ = 2a\sqrt 2 .$
Vậy $V = {S_{\Delta ABC}}.AA’ = {a^3}\sqrt 2 .$
Ví dụ 2: Cho lăng trụ tứ giác đều $ABCD.A’B’C’D’$ có cạnh bên bằng $4a$ và đường chéo $5a$. Tính thể tích khối lăng trụ này.
$ABCD.A’B’C’D’$ là lăng trụ đứng nên $ΔBDD’$ vuông tại $D$, do đó: $BD^2 = BD’^2 – DD’^2 = 9a^2$ $ \Rightarrow BD = 3a.$
$ABCD$ là hình vuông $ \Rightarrow AB = \frac{{3a}}{{\sqrt 2 }}.$
Suy ra ${S_{ABCD}} = \frac{{9{a^2}}}{4}.$
Vậy $V = S_{ABCD}.AA’ = 9a^3.$
Ví dụ 3: Đáy của lăng trụ đứng tam giác $ABC.A’B’C’$ là tam giác đều cạnh $a = 4$ và biết diện tích tam giác $A’BC$ bằng $8$. Tính thể tích khối lăng trụ.
Gọi $I$ là trung điểm $BC$. Ta có:
$ΔABC$ đều nên $AI = \frac{{AB\sqrt 3 }}{2} = 2\sqrt {3} $ và $AI \bot BC$ $ \Rightarrow A’I \bot BC$ (theo định lý ba đường vuông góc).
${S_{A’BC}} = \frac{1}{2}BC.A’I$ $ \Rightarrow A’I = \frac{{2{S_{A’BC}}}}{{BC}} = 4.$
$AA’ \bot (ABC) \Rightarrow AA’ \bot AI.$
$\Delta A’AI$ vuông tại $A$ nên $ \Rightarrow AA’ = \sqrt {A'{I^2} – A{I^2}} = 2.$
Vậy: ${V_{ABC.A’B’C’}} = {S_{ABC}}.AA’ = 8\sqrt 3 .$
Ví dụ 4: Cho hình hộp đứng có đáy là hình thoi cạnh $a$ và có góc nhọn bằng $60°.$Đường chéo lớn của đáy bằng đường chéo nhỏ của lăng trụ. Tính thể tích hình hộp.
Xác định các điểm như hình vẽ.
Ta có tam giác $ΔABD$ đều nên $BD = a$, ${S_{ABCD}} = 2{S_{ABD}} = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{2}.$
Theo đề bài $BD’ = AC = 2\frac{{a\sqrt 3 }}{2} = a\sqrt 3 .$
$\Delta DD’B$ vuông tại $D$ $ \Rightarrow DD’ = \sqrt {BD{‘^2} – B{D^2}} = a\sqrt 2 .$
Vậy $V = {S_{ABCD}}.DD’ = \frac{{{a^3}\sqrt 6 }}{2}.$
