Muốn tính $I = \int\limits_a^b {\left| {f\left( x \right)} \right|dx} $ ta đi xét dấu f(x) trên đoạn [a; b], khử trị tuyệt đối
Muốn tính $I = \int\limits_a^b {\max \left[ {f\left( x \right),g\left( x \right)} \right]dx} $ ta đi xét dấu f(x) - g(x) trên đoạn [a; b]
Muốn tính $I = \int\limits_a^b {\min \left[ {f\left( x \right),g\left( x \right)} \right]dx} $ ta đi xét dấu f(x) - g(x) trên đoạn [a; b]
II. Bài tập vận dụng
Bài tập 1: Tính các tích phân sau :
a) ${I_1} = \int\limits_1^4 {\left| {x - 2} \right|dx}$
b) ${I_1} = \int\limits_0^2 {\left| {{x^2} + 2x - 3} \right|dx}$
Vậy : $\begin{array}{l}
{I_1} = \int\limits_1^4 {\left| {x - 2} \right|dx} = \int\limits_1^2 {\left( {2 - x} \right)} dx + \int\limits_2^4 {\left( {x + 2} \right)} dx = \left[ {2x - \frac{{{x^2}}}{2}} \right]_1^2 + \left[ {\frac{{{x^2}}}{2} - 2x} \right]_2^4\\
\quad \quad \quad \; = \left[ {\left( {4 - 2} \right) - \left( {2 - \frac{1}{2}} \right)} \right] + \left[ {\left( {8 - 8} \right) - \left( {2 - 4} \right)} \right] = \frac{5}{2}
\end{array}$
b) Lập bảng xét dấu x$^2$ + 2x – 3 với x ∈ [0; 2] tương tự ta được
$\begin{array}{l}
{I_1} = \int\limits_0^2 {\left| {{x^2} + 2x - 3} \right|dx} = - \int\limits_0^1 {\left( {{x^2} + 2x - 3} \right)dx} + \int\limits_1^2 {\left( {{x^2} + 2x - 3} \right)dx} \\
{I_1} = \left[ {3x - {x^2} - \frac{{{x^3}}}{3}} \right]_0^1 + \left[ { - 3x + {x^2} + \frac{{{x^3}}}{3}} \right]_1^2 = 4
\end{array}$
Bài tập 2: Tính ${I_a} = \int\limits_0^1 {x\left| {x - a} \right|dx} $ với a là tham số.
Nếu a ≤ 0: ${I_a} = \int\limits_0^1 {x\left| {x - a} \right|dx} = \int\limits_0^1 {\left( {{x^2} - ax} \right)dx = \left[ {\frac{{{x^3}}}{3} - \frac{{a{x^2}}}{2}} \right]_0^1 = \frac{1}{3} - \frac{a}{2}}$
Nếu 0 < a < 1:
$\begin{array}{l}{I_a} = \int\limits_0^1 {x\left| {x - a} \right|dx} = - \int\limits_0^a {\left( {{x^2} - ax} \right)dx + \int\limits_a^1 {\left( {{x^2} - ax} \right)dx} } \\
\quad = \left[ {\frac{{a{x^2}}}{2} - \frac{{{x^3}}}{3}} \right]_0^a + \left[ { - \frac{{a{x^2}}}{2} + \frac{{{x^3}}}{3}} \right]_a^1 = \frac{1}{3} - \frac{{{a^2}}}{2} + \frac{{{a^3}}}{2}\end{array}$
Nếu a ≥ 1: ${I_a} = \int\limits_0^1 {x\left| {x - a} \right|dx} = - \int\limits_0^1 {\left( {{x^2} - ax} \right)dx = - \left[ {\frac{{{x^3}}}{3} - \frac{{a{x^2}}}{2}} \right]_0^1 = - \frac{1}{3} + \frac{a}{2}} $
Bài tập 3: Tính :
a) ${I_1} = \int\limits_0^2 {\min \left( {1,{x^2}} \right)dx} $
b) ${I_2} = \int\limits_0^3 {\max \left( {{x^2},x} \right)dx}$
$\left( {1 - {x^2}} \right)\,\,\forall \in [0;2]$
Vậy : ${I_1} = \int\limits_0^2 {\min \left( {1,{x^2}} \right)dx} = \int\limits_0^1 {{x^2}dx} + \int\limits_1^2 {dx} = \left. {\frac{{{x^3}}}{3}} \right|_0^2 + \left. x \right|_1^2 = \frac{4}{3}$
b) Xét hiệu số:
$x\left( {x - 1} \right)\quad \forall x \in \left[ {0,3} \right]$ tương tự như trên ta có .
${I_2} = \int\limits_0^3 {\max \left( {{x^2},x} \right)dx} = \int\limits_0^1 {xdx} + \int\limits_1^3 {{x^2}} dx = \left. {\frac{{{x^2}}}{2}} \right|_0^1 + \left. {\frac{{{x^3}}}{3}} \right|_1^3 = \frac{{55}}{6}$
Bạn đọc tự làm :
a) ${I_1} = \int\limits_{ - 2}^3 {\min \left( {x,{x^2} - 3} \right)dx}$
b) ${I_2} = \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\max \left( {\sin x,\cos x} \right)dx} $
c) ${I_3} = \int\limits_0^{\frac{{3\pi }}{4}} {\left| {\sin x - \cos x} \right|dx} $
d) ${I_4} = \int\limits_{ - 2}^3 {\max \left( {{x^2},4x - 3} \right)dx} $
d) ${I^ * }_4 = \int\limits_1^5 {\left( {\sqrt {x + 2\sqrt {x - 1} } + \sqrt {x - 2\sqrt {x - 1} } } \right)dx} $
Muốn tính $I = \int\limits_a^b {\max \left[ {f\left( x \right),g\left( x \right)} \right]dx} $ ta đi xét dấu f(x) - g(x) trên đoạn [a; b]
Muốn tính $I = \int\limits_a^b {\min \left[ {f\left( x \right),g\left( x \right)} \right]dx} $ ta đi xét dấu f(x) - g(x) trên đoạn [a; b]
II. Bài tập vận dụng
Bài tập 1: Tính các tích phân sau :
a) ${I_1} = \int\limits_1^4 {\left| {x - 2} \right|dx}$
b) ${I_1} = \int\limits_0^2 {\left| {{x^2} + 2x - 3} \right|dx}$
Giải
a)Vậy : $\begin{array}{l}
{I_1} = \int\limits_1^4 {\left| {x - 2} \right|dx} = \int\limits_1^2 {\left( {2 - x} \right)} dx + \int\limits_2^4 {\left( {x + 2} \right)} dx = \left[ {2x - \frac{{{x^2}}}{2}} \right]_1^2 + \left[ {\frac{{{x^2}}}{2} - 2x} \right]_2^4\\
\quad \quad \quad \; = \left[ {\left( {4 - 2} \right) - \left( {2 - \frac{1}{2}} \right)} \right] + \left[ {\left( {8 - 8} \right) - \left( {2 - 4} \right)} \right] = \frac{5}{2}
\end{array}$
b) Lập bảng xét dấu x$^2$ + 2x – 3 với x ∈ [0; 2] tương tự ta được
$\begin{array}{l}
{I_1} = \int\limits_0^2 {\left| {{x^2} + 2x - 3} \right|dx} = - \int\limits_0^1 {\left( {{x^2} + 2x - 3} \right)dx} + \int\limits_1^2 {\left( {{x^2} + 2x - 3} \right)dx} \\
{I_1} = \left[ {3x - {x^2} - \frac{{{x^3}}}{3}} \right]_0^1 + \left[ { - 3x + {x^2} + \frac{{{x^3}}}{3}} \right]_1^2 = 4
\end{array}$
Bài tập 2: Tính ${I_a} = \int\limits_0^1 {x\left| {x - a} \right|dx} $ với a là tham số.
Giải
Nếu a ≤ 0: ${I_a} = \int\limits_0^1 {x\left| {x - a} \right|dx} = \int\limits_0^1 {\left( {{x^2} - ax} \right)dx = \left[ {\frac{{{x^3}}}{3} - \frac{{a{x^2}}}{2}} \right]_0^1 = \frac{1}{3} - \frac{a}{2}}$
Nếu 0 < a < 1:
$\begin{array}{l}{I_a} = \int\limits_0^1 {x\left| {x - a} \right|dx} = - \int\limits_0^a {\left( {{x^2} - ax} \right)dx + \int\limits_a^1 {\left( {{x^2} - ax} \right)dx} } \\
\quad = \left[ {\frac{{a{x^2}}}{2} - \frac{{{x^3}}}{3}} \right]_0^a + \left[ { - \frac{{a{x^2}}}{2} + \frac{{{x^3}}}{3}} \right]_a^1 = \frac{1}{3} - \frac{{{a^2}}}{2} + \frac{{{a^3}}}{2}\end{array}$
Nếu a ≥ 1: ${I_a} = \int\limits_0^1 {x\left| {x - a} \right|dx} = - \int\limits_0^1 {\left( {{x^2} - ax} \right)dx = - \left[ {\frac{{{x^3}}}{3} - \frac{{a{x^2}}}{2}} \right]_0^1 = - \frac{1}{3} + \frac{a}{2}} $
Bài tập 3: Tính :
a) ${I_1} = \int\limits_0^2 {\min \left( {1,{x^2}} \right)dx} $
b) ${I_2} = \int\limits_0^3 {\max \left( {{x^2},x} \right)dx}$
Giải
a) Xét hiệu số: $\left( {1 - {x^2}} \right)\,\,\forall \in [0;2]$
Vậy : ${I_1} = \int\limits_0^2 {\min \left( {1,{x^2}} \right)dx} = \int\limits_0^1 {{x^2}dx} + \int\limits_1^2 {dx} = \left. {\frac{{{x^3}}}{3}} \right|_0^2 + \left. x \right|_1^2 = \frac{4}{3}$
b) Xét hiệu số:
$x\left( {x - 1} \right)\quad \forall x \in \left[ {0,3} \right]$ tương tự như trên ta có .
${I_2} = \int\limits_0^3 {\max \left( {{x^2},x} \right)dx} = \int\limits_0^1 {xdx} + \int\limits_1^3 {{x^2}} dx = \left. {\frac{{{x^2}}}{2}} \right|_0^1 + \left. {\frac{{{x^3}}}{3}} \right|_1^3 = \frac{{55}}{6}$
Bạn đọc tự làm :
a) ${I_1} = \int\limits_{ - 2}^3 {\min \left( {x,{x^2} - 3} \right)dx}$
b) ${I_2} = \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\max \left( {\sin x,\cos x} \right)dx} $
c) ${I_3} = \int\limits_0^{\frac{{3\pi }}{4}} {\left| {\sin x - \cos x} \right|dx} $
d) ${I_4} = \int\limits_{ - 2}^3 {\max \left( {{x^2},4x - 3} \right)dx} $
d) ${I^ * }_4 = \int\limits_1^5 {\left( {\sqrt {x + 2\sqrt {x - 1} } + \sqrt {x - 2\sqrt {x - 1} } } \right)dx} $
