Dạng 1: Phương pháp biến đổi tương đương
Bước 1: Đặt điều kiện cho các biểu thức.
Bước 2:Dùng các biến đổi để nhận được được phương trình một ẩn.
Bước 3: Giải phương trình một ẩn nhận được từ hệ.
Bước 4: Kết luận.
Ví dụ 1: $\left\{ \begin{array}{l}x + y = 2\\{\left( {y + 1} \right)^{{x^2} + x + 2}} = 1\end{array} \right.\left( 1 \right)$
Ví dụ 2: $\left\{ \begin{array}{l}{x^{x + y}} = {y^{x - y}}\\{x^2}y = 1\end{array} \right.$
Ví dụ 3: $\left\{ \begin{array}{l}{2^x} + {2^y} = 3\\x + y = 1\end{array} \right.$
Ví du 4: (Học viện Ngân Hàng 1999) $\left\{ \begin{array}{l}{2^x} - {2^y} = 2\\x + y = 1\end{array} \right.$
Ví du 5: (Sư Phạm II 1998)
$\left\{ \begin{array}{l}{2^{3x + 1}} + {2^{y - 2}} = 3\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\\
\sqrt {3{x^2} + 1 + xy} = \sqrt {x + 1} \,\,\left( 2 \right)\end{array} \right.$
Dạng 2: Phương pháp đặt ẩn phụ
Bước 1: Đặt điều kiện cho các biểu thức trong hệ có nghĩa.
Bước 2: Lựa chọn ẩn phụ để biến đổi hệ ban đầu về hệ đại số đã biết (hệ đối xứng, hệ đẳng cấp,…)
Bước 3: Giải hệ.
Bước 4: Kết luận.
Ví dụ 1: Giải hệ phương trình sau
$\left\{ \begin{array}{l}{3^{2x + 2}} + {2^{2y + 2}} = 17\\{2.3^{x + 1}} + {3.2^y} = 8\end{array} \right.\,\,\left( 1 \right)$
Ví dụ 2: Giải hệ phương trình sau
$\left\{ \begin{array}{l}{2^{2\left| x \right| + 1}} - {3.2^{\left| x \right|}} = {y^2} - 2\\2{y^2} - 3.y = {2^{2\left| x \right|}} - 2\end{array} \right.$
Dạng 3: Giải hệ phương trình bằng phương pháp hàm số
Bước 1: Đặt điều kiện cho các biểu thức trong hệ có nghĩa.
Bước 2: Rút ra từ hệ một phương trình dạng f(x) = f(y).
Bước 3: Sử dụng phương pháp hàm số: Nếu f(x) là hàm số luôn đồng biến hoặc nghịch biến thì từ hệ phương trình f(x) = f(y), ta có: x = y.
Bước 4: Sử dụng kết quả trên để giải hệ.
Ví dụ 1: Giải hệ phương trình sau
$\left\{ \begin{array}{l}{2^x} + 2x = 3 + y\\{2^y} + 2y = 3 + x\end{array} \right.\left( * \right)$
Ví dụ 2: Giải hệ phương trình sau
$\left\{ \begin{array}{l}{3^x} - {3^y} = y - x\\{x^2} + xy + {y^2} = 12\end{array} \right.$
Ví dụ 3: Giải hệ phương trình
$\left\{ \begin{array}{l}{2^x} = 2y\\{2^y} = 2x\end{array} \right.$
Dạng 4: Giải hệ phương trình bằng phương pháp điều kiện cần và đủ
Áp dụng cho các bài toán
Bài toán 1: Tìm điều kiện để hệ phương trình có nghiệm duy nhất.
Bài toán 2: Tìm điều kiện để hệ phương trình có nghiệm với mọi giá trị của một tham số
Các bước
Bước 1: Đặt điều kiện cho các biểu thức trong hệ có nghĩa.
Bước 2: Tìm điều kiện cần cho hệ dựa vào tính đối xứng hoặc đánh giá.
Bước 3: Kiểm tra điều kiện đủ
Ví dụ 1: Tìm m để hệ sau có nghiệm duy nhất
$\left\{ \begin{array}{l}{2^{\left| x \right|}} - {2^y} = y - \left| x \right|\left( {m + 1} \right)\\
{x^2} + y = {m^2}\end{array} \right.\,\,\,\left( 1 \right)$
Ví dụ 2: Tìm m để hệ sau có nghiệm duy nhất
$\left\{ \begin{array}{l}{2^{\left| x \right|}} + \left| x \right| = y + {x^2} + m\\{x^2} + {y^2} = 1\end{array} \right.\,\,\left( 1 \right)$
Bước 1: Đặt điều kiện cho các biểu thức.
Bước 2:Dùng các biến đổi để nhận được được phương trình một ẩn.
Bước 3: Giải phương trình một ẩn nhận được từ hệ.
Bước 4: Kết luận.
Ví dụ 1: $\left\{ \begin{array}{l}x + y = 2\\{\left( {y + 1} \right)^{{x^2} + x + 2}} = 1\end{array} \right.\left( 1 \right)$
Giải
Điều kiện y > - 1
$\left( 1 \right) \leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x + y = 2\\\left[ \begin{array}{l}y + 1 = 1\\
\left\{ \begin{array}{l}y + 1 > 0\\{x^2} + x + 2 = 0\end{array} \right.\end{array} \right.\end{array} \right. \leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y + 1 > 0\\y = 0\end{array} \right. \leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 2\\y = 0\end{array} \right.$
$\left( 1 \right) \leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x + y = 2\\\left[ \begin{array}{l}y + 1 = 1\\
\left\{ \begin{array}{l}y + 1 > 0\\{x^2} + x + 2 = 0\end{array} \right.\end{array} \right.\end{array} \right. \leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y + 1 > 0\\y = 0\end{array} \right. \leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 2\\y = 0\end{array} \right.$
Ví dụ 2: $\left\{ \begin{array}{l}{x^{x + y}} = {y^{x - y}}\\{x^2}y = 1\end{array} \right.$
Giải
Điều kiện: x > 0 và y > 0
$\begin{array}{l}\left( 1 \right) \leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x^{x + {x^{ - 2}}}} = {x^{ - 2\left( {x - {x^{ - 2}}} \right)}}\,\,\left( 2 \right)\\y = {x^{ - 2}}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 3 \right)\end{array} \right.\\\left( 2 \right) \leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x + {x^{ - 2}} = - 2\left( {x - {x^{ - 2}}} \right)\end{array} \right. \leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\3 + 3{x^3} = 0\end{array} \right. \leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = - 1\left( {loai} \right)\end{array} \right.\end{array}$
Thay x = 1 vào (3) ta được cặp nghiệm (1;1)
$\begin{array}{l}\left( 1 \right) \leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x^{x + {x^{ - 2}}}} = {x^{ - 2\left( {x - {x^{ - 2}}} \right)}}\,\,\left( 2 \right)\\y = {x^{ - 2}}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 3 \right)\end{array} \right.\\\left( 2 \right) \leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x + {x^{ - 2}} = - 2\left( {x - {x^{ - 2}}} \right)\end{array} \right. \leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\3 + 3{x^3} = 0\end{array} \right. \leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = - 1\left( {loai} \right)\end{array} \right.\end{array}$
Thay x = 1 vào (3) ta được cặp nghiệm (1;1)
Ví dụ 3: $\left\{ \begin{array}{l}{2^x} + {2^y} = 3\\x + y = 1\end{array} \right.$
Giải
$\left\{ \begin{array}{l}{2^x} + {2^y} = 3\\x + y = 1\end{array} \right. \leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{2^x} + {2^{1 - x}} = 3\\y = 1 - x\end{array} \right. \leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{2^{2x}} - {3.2^x} + 2 = 0\\y = 1 - x\end{array} \right. \leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\left[ \begin{array}{l}{2^x} = 1\\{2^x} = 2\end{array} \right.\\y = 1 - x\end{array} \right. \leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}x = 0\\y = 1\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}
x = 1\\y = 0\end{array} \right.\end{array} \right.$
{2^{2x}} - {3.2^x} + 2 = 0\\y = 1 - x\end{array} \right. \leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\left[ \begin{array}{l}{2^x} = 1\\{2^x} = 2\end{array} \right.\\y = 1 - x\end{array} \right. \leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}x = 0\\y = 1\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}
x = 1\\y = 0\end{array} \right.\end{array} \right.$
Ví du 4: (Học viện Ngân Hàng 1999) $\left\{ \begin{array}{l}{2^x} - {2^y} = 2\\x + y = 1\end{array} \right.$
Giải
$\left\{ \begin{array}{l}{2^x} - {2^y} = 2\\x + y = 1\end{array} \right. \leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{2^{x + y}} = 2\\{2^x} - {2^y} = 2\end{array} \right. \leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{2^x}\left( {{2^x} - 2} \right) = 2\\{2^y} = {2^x} - 2\end{array} \right. \leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{2^x} = 1 + \sqrt 3 \\{2^y} = - 1 + \sqrt 3 \end{array} \right. \leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x = {\log _2}\left( {1 + \sqrt 3 } \right)\\x = {\log _2}\left( { - 1 + \sqrt 3 } \right)\end{array} \right.$
{2^x}\left( {{2^x} - 2} \right) = 2\\{2^y} = {2^x} - 2\end{array} \right. \leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{2^x} = 1 + \sqrt 3 \\{2^y} = - 1 + \sqrt 3 \end{array} \right. \leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x = {\log _2}\left( {1 + \sqrt 3 } \right)\\x = {\log _2}\left( { - 1 + \sqrt 3 } \right)\end{array} \right.$
Ví du 5: (Sư Phạm II 1998)
$\left\{ \begin{array}{l}{2^{3x + 1}} + {2^{y - 2}} = 3\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\\
\sqrt {3{x^2} + 1 + xy} = \sqrt {x + 1} \,\,\left( 2 \right)\end{array} \right.$
Giải
$\left( 2 \right) \leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x + 1 \ge 0\\3{x^2} + 1 + xy = x + 1\end{array} \right. \leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge - 1\\x\left( {3x + y - 1} \right) = 0\end{array} \right. \leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\\left\{ \begin{array}{l}x \ge - 1\\y = 1 - 3x\end{array} \right.
\end{array} \right.$
với x = 0 ta thay vào (1), ta có cặp nghiệm $\left( {0,{{\log }_2}\left( {\frac{8}{{11}}} \right)} \right)$
với $\left\{ \begin{array}{l}x \ge - 1\\y = 1 - 3x\end{array} \right.,$ thay vào (1), ta có:
\end{array} \right.$
với x = 0 ta thay vào (1), ta có cặp nghiệm $\left( {0,{{\log }_2}\left( {\frac{8}{{11}}} \right)} \right)$
với $\left\{ \begin{array}{l}x \ge - 1\\y = 1 - 3x\end{array} \right.,$ thay vào (1), ta có:
${2^{3x + 1}} + {2^{ - 1 - 3x}} = {3.2^{\left( {1 - 3x} \right) + 31}}$
Giải ra ta được cặp nghiệm: $\left( {\frac{1}{3}\left[ {{{\log }_2}\left( {3 + \sqrt 8 } \right) - 1} \right];\,2 - {{\log }_2}\left( {3 + \sqrt 8 } \right)} \right)$Dạng 2: Phương pháp đặt ẩn phụ
Bước 1: Đặt điều kiện cho các biểu thức trong hệ có nghĩa.
Bước 2: Lựa chọn ẩn phụ để biến đổi hệ ban đầu về hệ đại số đã biết (hệ đối xứng, hệ đẳng cấp,…)
Bước 3: Giải hệ.
Bước 4: Kết luận.
Ví dụ 1: Giải hệ phương trình sau
$\left\{ \begin{array}{l}{3^{2x + 2}} + {2^{2y + 2}} = 17\\{2.3^{x + 1}} + {3.2^y} = 8\end{array} \right.\,\,\left( 1 \right)$
Giải
Đặt: $\left\{ \begin{array}{l}u = {3^x}\\v = {2^y}\end{array} \right.,\,\,u,v > 0\,\,\left( 2 \right),\,$
thay vào (1), ta có: $\left\{ \begin{array}{l}9{u^2} + 4{v^2} = 17\\6u + 3v = 8\end{array} \right.$
Giải hệ phương trình, ta có: $\left\{ \begin{array}{l}u = \frac{1}{3}\\v = 2\end{array} \right. \to \left\{ \begin{array}{l}x = - 1\\y = 1\end{array} \right.$
thay vào (1), ta có: $\left\{ \begin{array}{l}9{u^2} + 4{v^2} = 17\\6u + 3v = 8\end{array} \right.$
Giải hệ phương trình, ta có: $\left\{ \begin{array}{l}u = \frac{1}{3}\\v = 2\end{array} \right. \to \left\{ \begin{array}{l}x = - 1\\y = 1\end{array} \right.$
Ví dụ 2: Giải hệ phương trình sau
$\left\{ \begin{array}{l}{2^{2\left| x \right| + 1}} - {3.2^{\left| x \right|}} = {y^2} - 2\\2{y^2} - 3.y = {2^{2\left| x \right|}} - 2\end{array} \right.$
Giải
Đặt: $u = {2^{\left| x \right|}},\,u \ge 1$ thay vào hệ ta có: $\left\{ \begin{array}{l}2{u^2} - 3u = {y^2} - 2\\2{y^2} - 3y = {u^2} - 2\end{array} \right.$
Giải hệ ta được y = u = 2 suy ra hệ có cặp nghiệm: (0, 1); (1, 2); (-1, 2).
Giải hệ ta được y = u = 2 suy ra hệ có cặp nghiệm: (0, 1); (1, 2); (-1, 2).
Dạng 3: Giải hệ phương trình bằng phương pháp hàm số
Bước 1: Đặt điều kiện cho các biểu thức trong hệ có nghĩa.
Bước 2: Rút ra từ hệ một phương trình dạng f(x) = f(y).
Bước 3: Sử dụng phương pháp hàm số: Nếu f(x) là hàm số luôn đồng biến hoặc nghịch biến thì từ hệ phương trình f(x) = f(y), ta có: x = y.
Bước 4: Sử dụng kết quả trên để giải hệ.
Ví dụ 1: Giải hệ phương trình sau
$\left\{ \begin{array}{l}{2^x} + 2x = 3 + y\\{2^y} + 2y = 3 + x\end{array} \right.\left( * \right)$
Giải
$\left( * \right) \leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{2^x} + 2x = 3 + y\\{2^y} - {2^y} + 2x - 2y = - x + y
\end{array} \right. \leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{2^x} + 2x = 3 + y\left( 1 \right)\\{2^x} + 3x = {2^y} + 3y\,\left( 2 \right)\end{array} \right.\left( I \right)$
Xét hàm số: $f\left( x \right) = {2^x} + 3x$ là hàm đồng biến trên R nên từ phương trình (2) ta có f(x) = f(y) →x = y
$\left\{ \begin{array}{l}{2^x} + 2x = 3 + y\\x = y\end{array} \right. \leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{2^x} + 2x = 3 + x\\x = y\end{array} \right. \leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{2^x} = - x + 3\left( 3 \right)\\x = y\end{array} \right.\,\left( {II} \right)$
Giải phương trình (3):
Nhận xét:
\end{array} \right. \leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{2^x} + 2x = 3 + y\left( 1 \right)\\{2^x} + 3x = {2^y} + 3y\,\left( 2 \right)\end{array} \right.\left( I \right)$
Xét hàm số: $f\left( x \right) = {2^x} + 3x$ là hàm đồng biến trên R nên từ phương trình (2) ta có f(x) = f(y) →x = y
$\left\{ \begin{array}{l}{2^x} + 2x = 3 + y\\x = y\end{array} \right. \leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{2^x} + 2x = 3 + x\\x = y\end{array} \right. \leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{2^x} = - x + 3\left( 3 \right)\\x = y\end{array} \right.\,\left( {II} \right)$
Giải phương trình (3):
Nhận xét:
- x=1 là nghiệm của (3).
- x > 1: VT(3) > 2, TP(3) < 2 nên phương trình (3) không có nghiệm x > 1.
- x < 1: VT(3) < 2, TP(3) > 2 nên phương trình (3) không có nghiệm x < 1.
Ví dụ 2: Giải hệ phương trình sau
$\left\{ \begin{array}{l}{3^x} - {3^y} = y - x\\{x^2} + xy + {y^2} = 12\end{array} \right.$
Giải
$\left( * \right) \leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{3^x} + x = {3^y} + y\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\\
{x^2} + xy + {y^2} = 12\,\,\,\left( 2 \right)\end{array} \right.$
Xét hàm số: $f\left( x \right) = {3^x} + x$ là hàm số đồng biến trên R, nên từ phương trình (1) trên R ta có: f(x) = f(y)→ x = y
Khi đó hệ (1) và (2) trở thành: $\left\{ \begin{array}{l}x = y\\{x^2} + xy + {y^2} = 12\end{array} \right. \leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = y\\3{x^2} = 12\end{array} \right. \leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = y\\x = \pm 2\end{array} \right.$
Vậy nghiệm của hệ phương trình: (2, 2) và ( -2, -2).
{x^2} + xy + {y^2} = 12\,\,\,\left( 2 \right)\end{array} \right.$
Xét hàm số: $f\left( x \right) = {3^x} + x$ là hàm số đồng biến trên R, nên từ phương trình (1) trên R ta có: f(x) = f(y)→ x = y
Khi đó hệ (1) và (2) trở thành: $\left\{ \begin{array}{l}x = y\\{x^2} + xy + {y^2} = 12\end{array} \right. \leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = y\\3{x^2} = 12\end{array} \right. \leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = y\\x = \pm 2\end{array} \right.$
Vậy nghiệm của hệ phương trình: (2, 2) và ( -2, -2).
Ví dụ 3: Giải hệ phương trình
$\left\{ \begin{array}{l}{2^x} = 2y\\{2^y} = 2x\end{array} \right.$
Giải
$\left\{ \begin{array}{l}{2^x} = 2y\\{2^y} = 2x\end{array} \right. \leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{2^x} = 2y\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\\{2^x} + 2x = {2^y} + 2y\,\,\,\left( 2 \right)\end{array} \right.$
Xét hàm số: $f\left( x \right) = {2^x} + 2x$ là hàm đồng biến trên R, nên từ (2), ta có: f ( x ) = f ( y )→x = y.
Kết hợp (1) ta có hệ phương trình:
$\left\{ \begin{array}{l}x = y\\{2^2} = 2y\end{array} \right. \leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x = y\\{2^x} - 2x = 0\end{array} \right. \leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = y\\\left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = 2\end{array} \right.\end{array} \right.$
Do hàm số: $f\left( x \right) = {2^x} - 2x$ là hàm nồi, nên phương trình ${2^x} - 2x = 0$ có đúng hai nghiệm.
{2^x} = 2y\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\\{2^x} + 2x = {2^y} + 2y\,\,\,\left( 2 \right)\end{array} \right.$
Xét hàm số: $f\left( x \right) = {2^x} + 2x$ là hàm đồng biến trên R, nên từ (2), ta có: f ( x ) = f ( y )→x = y.
Kết hợp (1) ta có hệ phương trình:
$\left\{ \begin{array}{l}x = y\\{2^2} = 2y\end{array} \right. \leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x = y\\{2^x} - 2x = 0\end{array} \right. \leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = y\\\left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = 2\end{array} \right.\end{array} \right.$
Do hàm số: $f\left( x \right) = {2^x} - 2x$ là hàm nồi, nên phương trình ${2^x} - 2x = 0$ có đúng hai nghiệm.
Dạng 4: Giải hệ phương trình bằng phương pháp điều kiện cần và đủ
Áp dụng cho các bài toán
Bài toán 1: Tìm điều kiện để hệ phương trình có nghiệm duy nhất.
Bài toán 2: Tìm điều kiện để hệ phương trình có nghiệm với mọi giá trị của một tham số
Các bước
Bước 1: Đặt điều kiện cho các biểu thức trong hệ có nghĩa.
Bước 2: Tìm điều kiện cần cho hệ dựa vào tính đối xứng hoặc đánh giá.
Bước 3: Kiểm tra điều kiện đủ
Ví dụ 1: Tìm m để hệ sau có nghiệm duy nhất
$\left\{ \begin{array}{l}{2^{\left| x \right|}} - {2^y} = y - \left| x \right|\left( {m + 1} \right)\\
{x^2} + y = {m^2}\end{array} \right.\,\,\,\left( 1 \right)$
Giải
Nhận xét: Nếu x$_0$ là nghiệm của hệ thì – x$¬_0$ cũng là nghiệm của hệ. Do đó để hệ có nghiệm duy nhất thì x$_0$ = - x$_0$ ↔ x$_0$ = 0
Với x = 0, thay vào hệ ta có: $\left\{ \begin{array}{l}1 - {2^y} = y\left( 2 \right)\\y = {m^2}
\end{array} \right. \leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = 0\\m = 0\end{array} \right.$
(do VP (2) đồng biến, VT (2) nghịch biến)
Với m = 0 thay vào (1) ta có:
$\left\{ \begin{array}{l}{2^{\left| x \right|}} - {2^y} = y - \left| x \right|\\y + {x^2} = 0\end{array} \right. \leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{2^{\left| x \right|}} + \left| x \right| = {2^y} + y\left( 3 \right)\\y + {x^2} = 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 4 \right)\end{array} \right.$
Xét hàm số: f(t) = 2$^t$ + t là hàm số đồng biến trên R. Nên từ (3) ta có:
f ( x ) = f ( y )↔ x = y , kết hợp (4) ta có: $\left\{ \begin{array}{l}\left| x \right| = y\\{x^2} + y = 0\end{array} \right. \leftrightarrow x = y = 0$
Vậy với m = 0 hệ có nghiệm duy nhất.
Với x = 0, thay vào hệ ta có: $\left\{ \begin{array}{l}1 - {2^y} = y\left( 2 \right)\\y = {m^2}
\end{array} \right. \leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = 0\\m = 0\end{array} \right.$
(do VP (2) đồng biến, VT (2) nghịch biến)
Với m = 0 thay vào (1) ta có:
$\left\{ \begin{array}{l}{2^{\left| x \right|}} - {2^y} = y - \left| x \right|\\y + {x^2} = 0\end{array} \right. \leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{2^{\left| x \right|}} + \left| x \right| = {2^y} + y\left( 3 \right)\\y + {x^2} = 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 4 \right)\end{array} \right.$
Xét hàm số: f(t) = 2$^t$ + t là hàm số đồng biến trên R. Nên từ (3) ta có:
f ( x ) = f ( y )↔ x = y , kết hợp (4) ta có: $\left\{ \begin{array}{l}\left| x \right| = y\\{x^2} + y = 0\end{array} \right. \leftrightarrow x = y = 0$
Vậy với m = 0 hệ có nghiệm duy nhất.
Ví dụ 2: Tìm m để hệ sau có nghiệm duy nhất
$\left\{ \begin{array}{l}{2^{\left| x \right|}} + \left| x \right| = y + {x^2} + m\\{x^2} + {y^2} = 1\end{array} \right.\,\,\left( 1 \right)$
Giải
Nhận xét: Nếu x$_0$ là nghiệm của hệ thì - x$_0$ cũng là nghiệm của hệ. Do đó để hệ có nghiệm duy nhất thì x$_0$ = - x$_0$ ↔ x$_0$ = 0.
Với x = 0, thay vào hệ ta có: $\left\{ \begin{array}{l}1 = y + m\\{y^2} = 1\end{array} \right. \leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}m = 0\\y = 1\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}m = 2\\y = - 1\end{array} \right.\end{array} \right.$
Với m = 0 thay vào (1) ta có: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{2^{\left| x \right|}} + \left| x \right| = y + {x^2}}\\{{x^2} + {y^2} = 1}\end{array}} \right.{\mkern 1mu} {\kern 1pt} \to \left\{ \begin{array}{l}
0 \le \left| x \right| \le 1\\ - 1 \le y \le 1\end{array} \right. \to \left\{ \begin{array}{l}\left| x \right| \ge {x^2}\\{2^{\left| x \right|}} \ge 1 \ge y\end{array} \right. \to {2^{\left| x \right|}} + \left| x \right| \ge y + {x^2}$
Do đó: $\left( 2 \right) \leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\left| x \right| = {x^2}}\\{{2^{\left| x \right|}} = y = 1}\end{array}} \right.{\mkern 1mu} {\kern 1pt} \to \left\{ \begin{array}{l}x = 0\\y = 1
\end{array} \right.$
Thảo mãn (3), suy ra m = 0 thỏa mãn
Với m = 2 thay vào (1) ta có: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{2^{\left| x \right|}} + \left| x \right| = y + {x^2} + 2}\\{{x^2} + {y^2} = 1}\end{array}} \right.{\mkern 1mu} {\kern 1pt} {\mkern 1mu} {\kern 1pt} $
Với x = 0, thay vào hệ ta có: $\left\{ \begin{array}{l}1 = y + m\\{y^2} = 1\end{array} \right. \leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}m = 0\\y = 1\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}m = 2\\y = - 1\end{array} \right.\end{array} \right.$
Với m = 0 thay vào (1) ta có: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{2^{\left| x \right|}} + \left| x \right| = y + {x^2}}\\{{x^2} + {y^2} = 1}\end{array}} \right.{\mkern 1mu} {\kern 1pt} \to \left\{ \begin{array}{l}
0 \le \left| x \right| \le 1\\ - 1 \le y \le 1\end{array} \right. \to \left\{ \begin{array}{l}\left| x \right| \ge {x^2}\\{2^{\left| x \right|}} \ge 1 \ge y\end{array} \right. \to {2^{\left| x \right|}} + \left| x \right| \ge y + {x^2}$
Do đó: $\left( 2 \right) \leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\left| x \right| = {x^2}}\\{{2^{\left| x \right|}} = y = 1}\end{array}} \right.{\mkern 1mu} {\kern 1pt} \to \left\{ \begin{array}{l}x = 0\\y = 1
\end{array} \right.$
Thảo mãn (3), suy ra m = 0 thỏa mãn
Với m = 2 thay vào (1) ta có: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{2^{\left| x \right|}} + \left| x \right| = y + {x^2} + 2}\\{{x^2} + {y^2} = 1}\end{array}} \right.{\mkern 1mu} {\kern 1pt} {\mkern 1mu} {\kern 1pt} $
Last edited by a moderator:
