I. Một số yêu cầu
1. Đặt ẩn phụ đưa về bất phương trình đơn giản hơn
Bài tập 1:Giải bất phương trình : $\frac{x}{{x + 1}} - 2\sqrt {\frac{{x + 1}}{x}} > 3$ (1)
$\begin{array}{l}\frac{1}{{{t^2}}} - 2t > 3 \Leftrightarrow 2{t^3} + 3{t^2} - 1 < 0,\,\,\,(t > 0)\\
\Leftrightarrow \left( {t + 1} \right)\left( {2{t^2} + t - 1} \right) < 0 \Leftrightarrow 0 < t < \frac{1}{2}\\
\to 0 < \sqrt {\frac{{x + 1}}{x}} < \frac{1}{2} \Leftrightarrow - \frac{4}{3} < x < - 1
\end{array}$
Bài tập 2: Giải bất phương trình: $5\left( {\sqrt x + \frac{1}{{2\sqrt x }}} \right) < 2x + \frac{1}{{2x}} + 4$ (2)
Ví dụ: Giải bất phương trình : $\sqrt {{{\left( {1 - {x^2}} \right)}^5}} + \sqrt {{x^5}} \le 1$ (1).
Do ${\sin ^5}t \le {\sin ^2}t$ và nên ${\sin ^5}t + \sqrt {{{\cos }^5}t} \le {\sin ^2}t + {\cos ^2}t = 1$ với t ∈ [0; π/2].
1) $\sqrt {{x^2} - 3x + 3} + \sqrt {{x^2} - 3x + 6} < 3.$
2) $\sqrt {7x + 7} + \sqrt {7x - 6} + 2\sqrt {49{x^2} + 7x - 42} < 181 - 14x$.
3) $\sqrt {1 + \sqrt {1 - {x^2}} } < x\left( {1 + 2\sqrt {1 - {x^2}} } \right)$.
4) $\sqrt {2x + 3} + \sqrt {x + 1} = 3x + 2\sqrt {2{x^2} + 5x + 3} - 16$.
5) $x\left( {x - 4} \right)\sqrt { - {x^2} + 4x} + {\left( {x - 2} \right)^2} < 2$.
6) $\sqrt {1 - \frac{1}{x}} + \sqrt {x - \frac{1}{x}} \ge x$.
7) $\sqrt {x - \sqrt {{x^2} - 1} } + \sqrt {x + \sqrt {{x^2} - 1} } \le 2$.
8) $x + \sqrt {1 - {x^2}} < x\sqrt {1 - {x^2}}$
9) ${x^2} + 2x\sqrt {x - \frac{1}{x}} < 3x + 1$
10) $x\sqrt[3]{{35 - {x^3}}}\left( {x + \sqrt[3]{{35 - {x^3}}}} \right) > 30$
11) $1 + \sqrt {1 - {x^2}} > 2{x^2}$
12) $\sqrt {1 + \sqrt {1 - {x^2}} } \left[ {\sqrt {{{\left( {1 + x} \right)}^3}} - \sqrt {{{\left( {1 - x} \right)}^3}} } \right] \ge \frac{2}{{\sqrt 3 }} + \sqrt {\frac{{1 - {x^2}}}{3}} $
13) $\left( {x + 3\sqrt x + 2} \right)\left( {x + 9\sqrt x + 18} \right) \le 168x$
14) $4\sqrt {{x^3} - 1} < 4{x^2} + 7x + 1$
15) $\frac{1}{{1 - {x^2}}} + 1 > \frac{{3x}}{{\sqrt {1 - {x^2}} }}$
16) $\sqrt {1 - 2x} + \sqrt {1 + 2x} < \sqrt {\frac{{1 - 2x}}{{1 + 2x}}} + \sqrt {\frac{{1 + 2x}}{{1 - 2x}}}$
17) $\sqrt {\sqrt 2 - 1 - x} + \sqrt[4]{x} \ge \frac{1}{{\sqrt[4]{2}}}$
18) $\sqrt {2x + 4} - 2\sqrt {2 - x} > \frac{{12x - 8}}{{\sqrt {9{x^2} + 16} }}$
- Dạng này học sinh cần nhớ cách đặt ẩn. Từ đó mở rộng cho Bài toán tương tự.
- Chú ý tới các điều kiện của ẩn.
1. Đặt ẩn phụ đưa về bất phương trình đơn giản hơn
Bài tập 1:Giải bất phương trình : $\frac{x}{{x + 1}} - 2\sqrt {\frac{{x + 1}}{x}} > 3$ (1)
Giải
- Điều kiện: x > 0 hoặc x > - 1 (*)
- Đặt $t = \sqrt {\frac{{x + 1}}{x}} ,\,\,\,(t > 0).
$\begin{array}{l}\frac{1}{{{t^2}}} - 2t > 3 \Leftrightarrow 2{t^3} + 3{t^2} - 1 < 0,\,\,\,(t > 0)\\
\Leftrightarrow \left( {t + 1} \right)\left( {2{t^2} + t - 1} \right) < 0 \Leftrightarrow 0 < t < \frac{1}{2}\\
\to 0 < \sqrt {\frac{{x + 1}}{x}} < \frac{1}{2} \Leftrightarrow - \frac{4}{3} < x < - 1
\end{array}$
Bài tập 2: Giải bất phương trình: $5\left( {\sqrt x + \frac{1}{{2\sqrt x }}} \right) < 2x + \frac{1}{{2x}} + 4$ (2)
Giải
- Điều kiện : x > 0.
- Đặt $t = \sqrt x + \frac{1}{{2\sqrt x }} \Rightarrow t \ge \sqrt 2 $(theo bất đẳng thức Côsi) $ \Rightarrow {t^2} = x + \frac{1}{{4x}} + 1 \Leftrightarrow 2x + \frac{1}{{2x}} = 2{t^2} – 2$.
- BẤT PHƯƠNG TRÌNH (2) trở thành: $5t < 2{t^2} - 2 + 4 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t > 2\\t < \frac{1}{2}\end{array} \right.$ kết hợp với $t \ge \sqrt 2 $ ta được t > 2.
- Khi đó $\sqrt x + \frac{1}{{2\sqrt x }} > 2 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\sqrt x > \frac{{2 + \sqrt 2 }}{2}\\0 < \sqrt x < \frac{{2 - \sqrt 2 }}{2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x > \frac{3}{2} + \sqrt 2 \\0 < x < \frac{3}{2} - \sqrt 2 \end{array} \right.$.
- Chú ý: Bài toán có thể mở rộng cho dạng: $a\left[ {f(x) + {f^{ - 1}}(x)} \right] + b\left[ {{f^2}(x) + {f^{ - 2}}(x)} \right] + c < 0$.
Ví dụ: Giải bất phương trình : $\sqrt {{{\left( {1 - {x^2}} \right)}^5}} + \sqrt {{x^5}} \le 1$ (1).
Giải
- Điều kiện : x ∈ [0; 1].
- Đặt x = cos(t) với t ∈ [0;π/2].
Do ${\sin ^5}t \le {\sin ^2}t$ và nên ${\sin ^5}t + \sqrt {{{\cos }^5}t} \le {\sin ^2}t + {\cos ^2}t = 1$ với t ∈ [0; π/2].
- Do đó bất phương trình đã cho có nghiệm là x ∈ [0; 1].
1) $\sqrt {{x^2} - 3x + 3} + \sqrt {{x^2} - 3x + 6} < 3.$
2) $\sqrt {7x + 7} + \sqrt {7x - 6} + 2\sqrt {49{x^2} + 7x - 42} < 181 - 14x$.
3) $\sqrt {1 + \sqrt {1 - {x^2}} } < x\left( {1 + 2\sqrt {1 - {x^2}} } \right)$.
4) $\sqrt {2x + 3} + \sqrt {x + 1} = 3x + 2\sqrt {2{x^2} + 5x + 3} - 16$.
5) $x\left( {x - 4} \right)\sqrt { - {x^2} + 4x} + {\left( {x - 2} \right)^2} < 2$.
6) $\sqrt {1 - \frac{1}{x}} + \sqrt {x - \frac{1}{x}} \ge x$.
7) $\sqrt {x - \sqrt {{x^2} - 1} } + \sqrt {x + \sqrt {{x^2} - 1} } \le 2$.
8) $x + \sqrt {1 - {x^2}} < x\sqrt {1 - {x^2}}$
9) ${x^2} + 2x\sqrt {x - \frac{1}{x}} < 3x + 1$
10) $x\sqrt[3]{{35 - {x^3}}}\left( {x + \sqrt[3]{{35 - {x^3}}}} \right) > 30$
11) $1 + \sqrt {1 - {x^2}} > 2{x^2}$
12) $\sqrt {1 + \sqrt {1 - {x^2}} } \left[ {\sqrt {{{\left( {1 + x} \right)}^3}} - \sqrt {{{\left( {1 - x} \right)}^3}} } \right] \ge \frac{2}{{\sqrt 3 }} + \sqrt {\frac{{1 - {x^2}}}{3}} $
13) $\left( {x + 3\sqrt x + 2} \right)\left( {x + 9\sqrt x + 18} \right) \le 168x$
14) $4\sqrt {{x^3} - 1} < 4{x^2} + 7x + 1$
15) $\frac{1}{{1 - {x^2}}} + 1 > \frac{{3x}}{{\sqrt {1 - {x^2}} }}$
16) $\sqrt {1 - 2x} + \sqrt {1 + 2x} < \sqrt {\frac{{1 - 2x}}{{1 + 2x}}} + \sqrt {\frac{{1 + 2x}}{{1 - 2x}}}$
17) $\sqrt {\sqrt 2 - 1 - x} + \sqrt[4]{x} \ge \frac{1}{{\sqrt[4]{2}}}$
18) $\sqrt {2x + 4} - 2\sqrt {2 - x} > \frac{{12x - 8}}{{\sqrt {9{x^2} + 16} }}$
