Đường thẳng và mặt phẳng:
Các tiên đề:
.Tiên đề 1: Qua hai điểm phân biệt có một đường thẳng và chỉ một mà thôi
.Tiên đề 2: Qua 3 điểm không thẳng hàng có một mặt phẳng và chỉ một mà thôi
.Tiên đề 3: Một đường thẳng có 2 điểm phân biệt thuộc mặt phẳng thì đường thẳng ấy thuộc mặt phẳng
.Tiên đề 4:Hai mặt phẳng phân biệt có 1 điểm chung thì có chung 1 đường thẳng đi qua điểm chung ấy.
Cách xác định đường thẳng, mặt phẳng :
1/ Một điểm được xác định bởi 2 đường thẳng cắt nhau $A = a \cap b$
2/ Một mặt phẳng được xác định bởi một trong các điều kiện sau:
a/ Ba điểm không thẳng hàng (α) = (ABC)
b/ Một đường thẳng và một điểm ở ngoài đường thẳng (α) = (a,A)
c/ Hai đường thẳng cắt nhau (α) = (a,b)
d/ Hai đường thẳng song song : a//a’
Quan hệ song song :
1/ Hai đường thẳng song song khi chúng cùng nằm trong một mặt phẳng và không có điểm chung.
2/ Nếu đường thẳng d song song với một đường thẳng d’ bất kỳ thuộc mặt phẳng α thì d song song với mặt phẳng α
3/ Nếu d//α, mặt phẳng nào chứa đường thẳng d và cắt α theo một giao tuyến thì giao tuyến đó cũng song song với d
4/ Hai mặt phẳng cùng song song với đường thẳng d và cắt nhau thì giao tuyến của chúng cũng song song với d
5/ Hai mặt phẳng lần lượt chứa hai đường thẳng song song d và d’ thì giao tuyến của chúng (nếu có) cũng song song với d và d’
6/ Có 2 đường thẳng cùng song song, mặt phẳng nào song song với đường thẳng này thì cũng song song hoặc chứa đường thẳng kia
7/ Nếu 1 mặt phẳng song song với giao tuyến của 2 mặt phẳng và cắt 2 mặt phẳng này thì 2 giao tuyến mới song song nhau
8/ Nếu α//β thì α song song với mọi đường thẳng nằm trong β
9/ Nếu αchứa hai đường thẳng cắt nhau cùng song với β thì α//β
10/ Có hai mặt phẳng song song, mặt phẳng nào cắt mặt phẳng thứ nhất thì cũng cắt mặt phẳng thứ hai và hai giao tuyến song song nhau.
Quan hệ vuông góc:
1/ Một đường thẳng vuông góc với 1 mặt phẳng thì vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong mắt phẳng
2/ Nếu đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (P) thì mặt phẳng nào chứa đường thẳng d thì cũng sẽ vuông góc với mặt phẳng (P)
3/ Có hai đường thẳng song song, đường thẳng nào vuông góc với đường thẳng thứ nhất thì cũng vuông góc với đường thẳng thứ hai.
4/ Hai đường thẳng vuông góc thì cắt nhau hoặc chéo nhau
5/ Hai đường thẳng phân biệt cùng nằm trong một mặt phẳng và vuông góc với đường thẳng thứ ba thì song song nhau.
7/ Nếu đường thẳng d vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau thuộc mặt phẳng (P) thì d vuông góc với (P)
8/ Có hai mặt phẳng song song, đường thẳng nào vuông góc với mặt phẳng thứ nhất thì cũng vuông góc với mặt phẳng thứ hai.
9/ Hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thì song song nhau
10/ Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một mặt phẳng thì song song nhau
11/ Một đường thẳng và một mặt phẳng không chứa đường thẳng cùng vuông góc với một đường thẳng khác thì song song nhau
12/ Có một đường thẳng và một mặt phẳng song song, mặt phẳng nào vuông góc với đường thẳng thì cũng vuông góc với mặt phẳng.
13/ Nếu hai mặt phẳng vuông góc, đường thẳng nào nằm trong một mặt phẳng và vuông góc với giao tuyến thì cũng sẽ vuông góc với mặt phẳng kia.
14/ Hai mặt phẳng cắt nhau và cùng vuông góc với mặt phẳng thứ ba thì giao tuyến của chúng cũng vuông góc với mặt phẳng thứ ba
15/ Có hai mặt phẳng song song, mặt phẳng nào cắt mặt phẳng thứ nhất thì cũng cắt mặt phẳng thứ hai và hai giao tuyến song song
16/ Định lý ba đường vuông góc
Giả sử $\left\{ \begin{array}{l}
OH \bot \left( \alpha \right)\\
OA{\rm{ la duong xien}}\\
A \in d{\rm{ nam trong}}\left( \alpha \right)
\end{array} \right.$
Ta có $OA \bot D \Leftrightarrow HA \bot D$
Khoảng cách – góc – đường vông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau
1/ Khoảng cách từ O đến đường thẳng d là đoạn $OH \bot d$
2/ Khoảng cách từ O đến d là ngắn nhất so với các khoảng cách từ O đến mỗi điểm của d
3/ Khoảng các từ O đến mặt phẳng αlà độ dài đoạn $OH \bot \alpha $
4/ Khoảng cách từ O đến α là ngắn nhất so với các khoảng cách từ O đến mỗi điểm trên α
5/ Khoảng cách giữa d//α là khoảng cách từ một điểm bất kỳ trên d đến α
6/Khoảng cách giữa α//β là khoảng cách từ một điểm bất kỳ trên α đến β
7/ Khoảng cáh giữa 2 đường thẳng chéo nhau là độ dài đoạn vuông góc chung giữa hai đường thẳng
8/ Góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng là góc nhọn tạo bởi d và hình chiếu d’ của nó xuống
9/ Góc giữa hai đường thẳng chéo nhau là góc nhọn tạo bởi hai đường thẳng song song với hai đường thẳng ấy vẽ từ một điểm bất kỳ
10/ Góc giữa hai mặt phẳng là góc nhọn tạo bởi hai đường thẳng lần lượt vuông góc với hai mặt phẳng ấy
11/ Góc phẳng nhị diện là góc tạo bởi 2 đường thẳng nằm trong hai mặt phẳng của nhị diện cùng vông góc với giao tuyến.
12/ Đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau d1 và d2:
- Dựng mặt phẳng chứa d2 và song song với d1
- Tìm hình chiếu d’ của d1 lên , d’ cắt d2 tại N
- Từ N vẽ đường vuông góc với cắt d1 tại M
- Suy ra MN là đoạn vuông góc chung của d1 và d2
Các tiên đề:
.Tiên đề 1: Qua hai điểm phân biệt có một đường thẳng và chỉ một mà thôi
.Tiên đề 2: Qua 3 điểm không thẳng hàng có một mặt phẳng và chỉ một mà thôi
.Tiên đề 3: Một đường thẳng có 2 điểm phân biệt thuộc mặt phẳng thì đường thẳng ấy thuộc mặt phẳng
.Tiên đề 4:Hai mặt phẳng phân biệt có 1 điểm chung thì có chung 1 đường thẳng đi qua điểm chung ấy.
Cách xác định đường thẳng, mặt phẳng :
1/ Một điểm được xác định bởi 2 đường thẳng cắt nhau $A = a \cap b$
2/ Một mặt phẳng được xác định bởi một trong các điều kiện sau:
a/ Ba điểm không thẳng hàng (α) = (ABC)
b/ Một đường thẳng và một điểm ở ngoài đường thẳng (α) = (a,A)
c/ Hai đường thẳng cắt nhau (α) = (a,b)
d/ Hai đường thẳng song song : a//a’
Quan hệ song song :
1/ Hai đường thẳng song song khi chúng cùng nằm trong một mặt phẳng và không có điểm chung.
2/ Nếu đường thẳng d song song với một đường thẳng d’ bất kỳ thuộc mặt phẳng α thì d song song với mặt phẳng α
3/ Nếu d//α, mặt phẳng nào chứa đường thẳng d và cắt α theo một giao tuyến thì giao tuyến đó cũng song song với d
4/ Hai mặt phẳng cùng song song với đường thẳng d và cắt nhau thì giao tuyến của chúng cũng song song với d
5/ Hai mặt phẳng lần lượt chứa hai đường thẳng song song d và d’ thì giao tuyến của chúng (nếu có) cũng song song với d và d’
6/ Có 2 đường thẳng cùng song song, mặt phẳng nào song song với đường thẳng này thì cũng song song hoặc chứa đường thẳng kia
7/ Nếu 1 mặt phẳng song song với giao tuyến của 2 mặt phẳng và cắt 2 mặt phẳng này thì 2 giao tuyến mới song song nhau
8/ Nếu α//β thì α song song với mọi đường thẳng nằm trong β
9/ Nếu αchứa hai đường thẳng cắt nhau cùng song với β thì α//β
10/ Có hai mặt phẳng song song, mặt phẳng nào cắt mặt phẳng thứ nhất thì cũng cắt mặt phẳng thứ hai và hai giao tuyến song song nhau.
Quan hệ vuông góc:
1/ Một đường thẳng vuông góc với 1 mặt phẳng thì vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong mắt phẳng
2/ Nếu đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (P) thì mặt phẳng nào chứa đường thẳng d thì cũng sẽ vuông góc với mặt phẳng (P)
3/ Có hai đường thẳng song song, đường thẳng nào vuông góc với đường thẳng thứ nhất thì cũng vuông góc với đường thẳng thứ hai.
4/ Hai đường thẳng vuông góc thì cắt nhau hoặc chéo nhau
5/ Hai đường thẳng phân biệt cùng nằm trong một mặt phẳng và vuông góc với đường thẳng thứ ba thì song song nhau.
7/ Nếu đường thẳng d vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau thuộc mặt phẳng (P) thì d vuông góc với (P)
8/ Có hai mặt phẳng song song, đường thẳng nào vuông góc với mặt phẳng thứ nhất thì cũng vuông góc với mặt phẳng thứ hai.
9/ Hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thì song song nhau
10/ Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một mặt phẳng thì song song nhau
11/ Một đường thẳng và một mặt phẳng không chứa đường thẳng cùng vuông góc với một đường thẳng khác thì song song nhau
12/ Có một đường thẳng và một mặt phẳng song song, mặt phẳng nào vuông góc với đường thẳng thì cũng vuông góc với mặt phẳng.
13/ Nếu hai mặt phẳng vuông góc, đường thẳng nào nằm trong một mặt phẳng và vuông góc với giao tuyến thì cũng sẽ vuông góc với mặt phẳng kia.
14/ Hai mặt phẳng cắt nhau và cùng vuông góc với mặt phẳng thứ ba thì giao tuyến của chúng cũng vuông góc với mặt phẳng thứ ba
15/ Có hai mặt phẳng song song, mặt phẳng nào cắt mặt phẳng thứ nhất thì cũng cắt mặt phẳng thứ hai và hai giao tuyến song song
16/ Định lý ba đường vuông góc
Giả sử $\left\{ \begin{array}{l}
OH \bot \left( \alpha \right)\\
OA{\rm{ la duong xien}}\\
A \in d{\rm{ nam trong}}\left( \alpha \right)
\end{array} \right.$
Ta có $OA \bot D \Leftrightarrow HA \bot D$
Khoảng cách – góc – đường vông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau
1/ Khoảng cách từ O đến đường thẳng d là đoạn $OH \bot d$
2/ Khoảng cách từ O đến d là ngắn nhất so với các khoảng cách từ O đến mỗi điểm của d
3/ Khoảng các từ O đến mặt phẳng αlà độ dài đoạn $OH \bot \alpha $
4/ Khoảng cách từ O đến α là ngắn nhất so với các khoảng cách từ O đến mỗi điểm trên α
5/ Khoảng cách giữa d//α là khoảng cách từ một điểm bất kỳ trên d đến α
6/Khoảng cách giữa α//β là khoảng cách từ một điểm bất kỳ trên α đến β
7/ Khoảng cáh giữa 2 đường thẳng chéo nhau là độ dài đoạn vuông góc chung giữa hai đường thẳng
8/ Góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng là góc nhọn tạo bởi d và hình chiếu d’ của nó xuống
9/ Góc giữa hai đường thẳng chéo nhau là góc nhọn tạo bởi hai đường thẳng song song với hai đường thẳng ấy vẽ từ một điểm bất kỳ
10/ Góc giữa hai mặt phẳng là góc nhọn tạo bởi hai đường thẳng lần lượt vuông góc với hai mặt phẳng ấy
11/ Góc phẳng nhị diện là góc tạo bởi 2 đường thẳng nằm trong hai mặt phẳng của nhị diện cùng vông góc với giao tuyến.
12/ Đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau d1 và d2:
- Dựng mặt phẳng chứa d2 và song song với d1
- Tìm hình chiếu d’ của d1 lên , d’ cắt d2 tại N
- Từ N vẽ đường vuông góc với cắt d1 tại M
- Suy ra MN là đoạn vuông góc chung của d1 và d2
