Nguyên hàm của hàm hữu tỉ (buổi 5)

[Doremon]

Khi tính nguyên hàm của hàm hữu tỉ thường gây cho học sinh nhiều khó khăn nhất là những câu nằm trong đề thi đại học của BGD&ĐT. Nhằm giúp các em ôn thi đại học có thêm những cách giải nhanh - hiệu quả, ở đây tôi xin đưa phương pháp giải Nguyên hàm của hàm hữu tỉ:

1. Phương pháp

Giả sử cần tính $I = \int {\frac{{P\left( x \right)}}{{Q\left( x \right)}}dx} $ (trong đó P(x); Q(x) là những đa thức của x. Ta có hai trường hợp:

a) Bậc của P(x) nhỏ hơn bậc của Q(x). Xét các khả năng sau (ở đây ta xét Q(x) là đa thức bậc 3, các trường hợp khác làm tương tự):

• Q(x) có các nghiệm đơn khác nhau, giả sử Q(x) = (x – a)(x - b)(x - c). Khi đó ta tìm , , sao cho $\frac{{P\left( x \right)}}{{Q\left( x \right)}} = \frac{A}{{x - a}} + \frac{B}{{x - b}} + \frac{C}{{x - c}}$.
• Q(x) có nghiệm đơn và nghiệm kép, Q(x) = (x – a)(x - b)$^2$. Khi đó ta tìm , , sao cho $\frac{{P\left( x \right)}}{{Q\left( x \right)}} = \frac{A}{{x - a}} + \frac{B}{{x - b}} + \frac{C}{{{{\left( {x - b} \right)}^2}}}$
• Q(x) có một nghiệm đơn, Q(x) = (x – a)(x$^2$ + px + q), (p$^2$ - 4q < 0). Khi đó ta tìm , , sao cho $\frac{{P\left( x \right)}}{{Q\left( x \right)}} = \frac{A}{{x - a}} + \frac{{Bx + C}}{{{x^2} + px + q}}$

b) Bậc của P(x) lớn hơn hoặc bằng bậc của Q(x). Khi đó ta lấy P(x) chia cho Q(x) và quay về trường hợp a).

2. Bài tập áp dụng: Tìm các nguyên hàm.

• $I = \int {\frac{{6{x^2} + 10x + 2}}{{{x^3} + 3{x^2} + 2x}}dx} = \int {\frac{{6{x^2} + 10x + 2}}{{\left( {x + 1} \right)\left( {x + 2} \right)x}}dx} $

Ta tìm sao cho:
$\frac{{6{x^2} + 10x + 2}}{{x\left( {x + 1} \right)\left( {x + 2} \right)}} = \frac{A}{x} + \frac{B}{{x + 1}} + \frac{C}{{x + 2}}$
$ \Rightarrow 6{x^2} + 10x + 2 = A\left( {x + 1} \right)\left( {x + 2} \right) + Bx\left( {x + 2} \right) + Cx\left( {x + 1} \right)$
$ \Rightarrow 6{x^2} + 10x + 2 = \left( {A + B + C} \right){x^2} + \left( {3A + 2B + C} \right)x + 2A$
$ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
6 = A + B + C\\
10 = 3A + 2B + C\\
2 = 2A
\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
A = 1\\
B = 2\\
C = 3
\end{array} \right. \Rightarrow \frac{{6{x^2} + 10x + 2}}{{x\left( {x + 1} \right)\left( {x + 2} \right)}} = \frac{1}{x} + \frac{2}{{x + 1}} + \frac{3}{{x + 2}}$
Từ đó:
$I = \int {\left( {\frac{1}{x} + \frac{2}{{x + 1}} + \frac{3}{{x + 2}}} \right)} dx = \ln \left| x \right| + 2\ln \left| {x + 1} \right| + 3\ln \left| {x + 2} \right| + C$

• • $J = \int {\frac{{6{x^2} - 26x + 26}}{{{x^3} - 6{x^2} + 11x - 6}}dx} = \int {\frac{{6{x^2} - 26x + 26}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x - 2} \right)\left( {x - 3} \right)}}dx} $

Ta tìm sao cho:
$\frac{{6{x^2} - 26x + 26}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x - 2} \right)\left( {x - 3} \right)}} = \frac{A}{{x - 1}} + \frac{B}{{x - 2}} + \frac{C}{{x - 3}}$
$ \Rightarrow 6{x^2} - 26x + 26 = A\left( {x - 2} \right)\left( {x - 3} \right) + B\left( {x - 1} \right)\left( {x - 3} \right) + C\left( {x - 1} \right)\left( {x - 2} \right)$
Cho x giá trị lần lượt bằng 1, 2, 3 ta tìm được A = 3; B = 2; C = 1
Từ đó:
$J = \int {\left( {\frac{3}{{x - 1}} + \frac{2}{{x - 2}} + \frac{1}{{x - 3}}} \right)dx} = 3\ln \left| {x - 1} \right| + 2\ln \left| {x - 2} \right| + \ln \left| {x - 3} \right| + C$

• $K = \int {\frac{{x - 8}}{{{x^2} - x - 6}}dx} = \int {\frac{{x - 8}}{{\left( {x + 2} \right)\left( {x - 3} \right)}}dx} = \int {\left( {\frac{2}{{x + 2}} - \frac{1}{{x - 3}}} \right)dx} = 2\ln \left| {x + 2} \right| - \ln \left| {x - 3} \right| + C$
• $L = \int {\frac{{3{x^2} + 13x + 11}}{{{x^3} + 5{x^2} + 8x + 4}}dx} = \int {\frac{{3{x^2} + 13x + 11}}{{\left( {x + 1} \right){{\left( {x + 2} \right)}^2}}}dx} $

Ta tìm sao cho:
$\frac{{3{x^2} + 13x + 11}}{{\left( {x + 1} \right){{\left( {x + 2} \right)}^2}}} = \frac{A}{{x + 1}} + \frac{B}{{x + 2}} + \frac{C}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}}$
$ \Rightarrow 3{x^2} + 13x + 11 = A{\left( {x + 2} \right)^2} + B\left( {x + 1} \right)\left( {x + 2} \right) + C\left( {x + 1} \right)$
$ \Rightarrow 3{x^2} + 13x + 11 = \left( {A + B} \right){x^2} + \left( {4A + 3B + C} \right)x + \left( {4A + 2B + C} \right)$
$ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
3 = A + B\\
13 = 4A + 3B + C\\
11 = 4A + 2B + C
\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
A = 1\\
B = 2\\
C = 3
\end{array} \right.$
Từ đó:
$L = \int {\left( {\frac{1}{{x + 1}} + \frac{2}{{x + 2}} + \frac{3}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}}} \right)} dx = \ln \left| {x + 1} \right| + 2\ln \left| {x + 2} \right| - \frac{3}{{x + 2}} + C$

• $M = \int {\frac{{2{x^3} - 6{x^2} + 4x - 1}}{{{x^2} - 3x + 2}}dx} = \int {\left( {2x - \frac{1}{{{x^2} - 3x + 2}}} \right)dx = \int {\left( {2x - \frac{1}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x - 2} \right)}}} \right)dx} } $

$ = \int {\left( {2x - \frac{1}{{x - 2}} + \frac{1}{{x - 1}}} \right)} dx = {x^2} - \ln \left| {x - 2} \right| + \ln \left| {x - 1} \right| + C$

3. Nguyên hàm dạng $I = \int {\frac{{dx}}{{{{\left( {x + a} \right)}^2}{{\left( {x + b} \right)}^2}}}} $
Ta xét một số ví dụ:

• $I = \int {\frac{{dx}}{{{{\left( {x + 3} \right)}^2}{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}} $

Ta phân tích:
$\frac{1}{{{{\left( {x + 3} \right)}^2}{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} = \frac{1}{4}{\left[ {\frac{{\left( {x + 3} \right) - \left( {x + 1} \right)}}{{\left( {x + 3} \right)\left( {x + 1} \right)}}} \right]^2} = \frac{1}{4}{\left( {\frac{1}{{x + 1}} - \frac{1}{{x + 3}}} \right)^2}$
$ = \frac{1}{4}\left[ {\frac{1}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} + \frac{1}{{{{\left( {x + 3} \right)}^2}}} - \frac{2}{{\left( {x + 1} \right)\left( {x + 3} \right)}}} \right] = \frac{1}{4}\left[ {\frac{1}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} + \frac{1}{{{{\left( {x + 3} \right)}^2}}} + \frac{1}{{x + 3}} - \frac{1}{{x + 1}}} \right]$
Từ đó:
$I = \int {\left[ {\frac{1}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} + \frac{1}{{{{\left( {x + 3} \right)}^2}}} + \frac{1}{{x + 3}} - \frac{1}{{x + 1}}} \right]} dx$
$ = - \frac{1}{4}.\frac{1}{{x + 1}} - \frac{1}{4}.\frac{1}{{x + 3}} + \frac{1}{4}\ln \left| {x + 3} \right| - \frac{1}{4}\ln \left| {x + 1} \right| + C$

• $J = \int {\frac{{dx}}{{{{\left( {x - 3} \right)}^2}{{\left( {x + 4} \right)}^2}}}} $

Ta phân tích:
$\frac{1}{{{{\left( {x - 3} \right)}^2}{{\left( {x + 4} \right)}^2}}} = \frac{1}{{49}}.{\left[ {\frac{{\left( {x + 4} \right) - \left( {x - 3} \right)}}{{\left( {x - 3} \right)\left( {x + 4} \right)}}} \right]^2} = \frac{1}{{49}}\left[ {\frac{1}{{{{\left( {x - 3} \right)}^2}}} - \frac{2}{{\left( {x - 3} \right)\left( {x + 4} \right)}} + \frac{1}{{{{\left( {x + 4} \right)}^2}}}} \right]$
Từ đó:
$J = \frac{1}{{49}}\int {\frac{1}{{{{\left( {x - 3} \right)}^2}}}dx - \frac{1}{{49}}\int {\frac{2}{{\left( {x - 3} \right)\left( {x + 4} \right)}}dx} + \frac{1}{{49}}\int {\frac{1}{{{{\left( {x + 4} \right)}^2}}}dx} } $
$ = - \frac{1}{{49}}.\frac{1}{{x - 3}} - \frac{1}{{49}}.\frac{1}{{x + 4}} - \frac{1}{{343}}\int {\left( {\frac{1}{{x - 3}} - \frac{1}{{x + 4}}} \right)} dx$
$ = - \frac{1}{{49}}.\frac{1}{{x - 3}} - \frac{1}{{49}}.\frac{1}{{x + 4}} - \frac{1}{{343}}\ln \left| {\frac{{x - 3}}{{x + 4}}} \right| + C$

 

[dapandethi.vn]

Hay quá. cảm ơn ad nhiều nhé! <2