Kỹ thuật sử dụng khảo sát hàm số để đánh giá.

[Doremon]

1. Thuật toán:
Để giải bất phương trình f(x) > g(x); f(x) < g(x); f(x) ≤ g(x); f(x) ≥ g(x); ta khảo sát hoặc căn cứ vào tính chất của các hàm số y = f(x) và y = g(x), đưa ra bảng biến thiên và từ bảng biến thiên đưa ra kết luận.

2. Lưu ý:
Nếu m là tham số thì y = h(m) là đường thẳng song song hoặc trùng với trục hoành.

3. Ví dụ:

Bài 1:
Tìm a để BẤT PHƯƠNG TRÌNH sau có nghiệm: ${x^3} + 3{x^2} - 1 \le a\left( {\sqrt x - \sqrt {x - 1} } \right)$ (1)

Giải​

• Điều kiện: x ≥ 1 Khi đó: (1) $\Leftrightarrow \left( {\sqrt x + \sqrt {x - 1} } \right)\left( {{x^3} + 3{x^2} - 1} \right) \le a$ (1’).
• Đặt $f(x) = \left( {{x^3} + 3{x^2} - 1} \right)\left( {\sqrt x + \sqrt {x - 1} } \right)$. Ta có:

$f'(x) = \left( {3{x^2} + 6x} \right)\left( {\sqrt x + \sqrt {x - 1} } \right) + \left( {{x^3} + 3{x^2} - 1} \right)\left( {\frac{1}{{2\sqrt x }} + \frac{1}{{2\sqrt {x - 1} }}} \right) > 0\forall x > 1$. Do đó f(x) là hàm đồng biến trên [1; + ∞)

• Bảng biến thiên:

Nhìn vào bảng biến thiên ta thấy bất phương trình (1) có nghiệm khi a ≥ 3.


Bài 2: Tìm m để BẤT PHƯƠNG TRÌNH $2{x^2} - 2mx + 1 \ge 3\sqrt {2{x^3} + x} $ (1) nghiệm đúng với mọi x > 0.

Giải​

Ta có (1) $\Leftrightarrow 2mx \le 2{x^2} + 1 - 3\sqrt {2{x^3} + x} \Leftrightarrow 2m \le 2x + \frac{1}{x} - 3\sqrt {2x + \frac{1}{x}} (x > 0)$ (1’)

• Đặt t = 2x + 1/x. Do x > 0 nên theo BĐT Côsi ta có $t \ge 2\sqrt {2x.\frac{1}{x}} = 2\sqrt 2 $ .

(Có thể sử dụng bảng biến thiên để tìm điều kiện của t)
Khi đó (1’) trở thành: $m \le \frac{1}{2}\left( {t - 3\sqrt t } \right)(t \ge 2\sqrt 2 )$ (2).
(1) nghiệm đúng với mọi khi và chỉ khi (2) nghiệm đúng với mọi $t \ge 2\sqrt 2 $.

• Xét hàm số $g(t) = \frac{t}{2} - \frac{{3\sqrt t }}{2}$ có $g'(t) = \frac{1}{2} - \frac{3}{{4\sqrt t }} = \frac{{2\sqrt t - 3}}{{4\sqrt t }}$.

$g'(t) = 0 \Leftrightarrow 2\sqrt t - 3 = 0 \Leftrightarrow t = \frac{9}{4}$.

• Ta có bảng biến thiên:

Nhìn vào bảng biến thiên ta thấy (2) nghiệm đúng với mọi $t \ge 2\sqrt 2 $ khi m ≤ $\sqrt 2 - \frac{{3\sqrt {2\sqrt 2 } }}{2}$.