I. Kỹ thuật sử dụng tính đơn điệu của hàm số trên miền xác định.
1. Thuật toán:
Giả sử hàm số y = f(x) đơn điệu trên D, u(x) và v(x) có miền giá trị là tập con của D.
Khi đó ta có : $f(u(x)) = f(v(x)) \Leftrightarrow u(x) = v(x).$
$f(u(x)) < f(v(x)) \Leftrightarrow u(x) < v(x)$ hoặc u(x) > v(x)
(Tương tự cho các dấu ≤, ≥, >)
2. Ví dụ:
Giải BẤT PHƯƠNG TRÌNH : $\left( {x + 3} \right)\sqrt {x + 1} + \left( {x - 3} \right)\sqrt {1 - x} + 2x \le 0$ (1)
* Khi đó
$\begin{array}{l}\left( 1 \right) \Leftrightarrow \left( {x + 1} \right)\sqrt {x + 1} + \left( {x + 1} \right) + 2\sqrt {x + 1} \le \left( {1 - x} \right)\sqrt {1 - x} + \left( {1 - x} \right) + 2\sqrt {1 - x} \\
\Leftrightarrow {\left( {\sqrt {x + 1} } \right)^3} + {\left( {\sqrt {x + 1} } \right)^2} + 2\sqrt {x + 1} \le {\left( {\sqrt {1 - x} } \right)^3} + {\left( {\sqrt {1 - x} } \right)^2} + 2\sqrt {1 - x} \left( 2 \right)
\end{array}$
* Xét hàm số $f(t) = {t^3} + {t^2} + 2t$ với t ≥ 0 :
Có $f'(t) = 3{t^2} + 2t + 2 > 0;\,\forall t \ge 0$ nên f(x) là hàm đồng biến trên [0; + ∞).
* Mặt khác : (2) $\Leftrightarrow f(\sqrt {x + 1} ) \le f(\sqrt {1 - x} ) \Leftrightarrow \sqrt {x + 1} \le \sqrt {1 - x} \Leftrightarrow x + 1 \le 1 - x \Leftrightarrow x \le 0$
kết hợp với điều kiện (*) ta được: 0 ≥ x ≥ - 1.
VI. Kỹ thuật sử dụng tính đối xứng của hai nghiệm.
Tìm m để BẤT PHƯƠNG TRÌNH sau có nghiệm duy nhất: $ - \sqrt x - \sqrt {1 - x} + 2m\sqrt {x\left( {1 - x} \right)} + 2\sqrt[4]{{x\left( {1 - x} \right)}} \ge m + {m^2}$ (1)
* Nhận xét : Nếu ${x_0}$ là nghiệm của (1) thì (1- ${x_0}$) cũng là nghiệm của (1). Do đó phương trình có nghiệm duy nhất thì ${x_0} = 1 - {x_0} \Leftrightarrow {x_0} = \frac{1}{2}$.
Thay ${x_0}$ = 1/2 vào (1) ta được $- \sqrt {\frac{1}{2}} - \sqrt {\frac{1}{2}} + 2m\sqrt {\frac{1}{2}.\frac{1}{2}} + 2\sqrt[4]{{\frac{1}{2}.\frac{1}{2}}} \ge m + {m^2} \Leftrightarrow {m^2} \le 0 \Leftrightarrow m = 0$.
* Với m = 0 thì (1) trở thành :
$\begin{array}{l} - \sqrt x - \sqrt {1 - x} + 2\sqrt[4]{{x\left( {1 - x} \right)}} \ge 0 \Leftrightarrow {\left( {\sqrt[4]{x} - \sqrt[4]{{1 - x}}} \right)^2} \le 0\\
\Leftrightarrow \sqrt[4]{x} - \sqrt[4]{{1 - x}} = 0 \Leftrightarrow x = 1 - x \Leftrightarrow x = \frac{1}{2}
\end{array}$
(thỏa mãn (*)).
Vậy bất phương trình (1) có nghiệm duy nhất khi m=0.
1. Thuật toán:
Giả sử hàm số y = f(x) đơn điệu trên D, u(x) và v(x) có miền giá trị là tập con của D.
Khi đó ta có : $f(u(x)) = f(v(x)) \Leftrightarrow u(x) = v(x).$
$f(u(x)) < f(v(x)) \Leftrightarrow u(x) < v(x)$ hoặc u(x) > v(x)
(Tương tự cho các dấu ≤, ≥, >)
2. Ví dụ:
Giải BẤT PHƯƠNG TRÌNH : $\left( {x + 3} \right)\sqrt {x + 1} + \left( {x - 3} \right)\sqrt {1 - x} + 2x \le 0$ (1)
Giải
* Điều kiện : $\left\{ \begin{array}{l}x + 1 \ge 0\\1 - x \ge 0\end{array} \right. \Leftrightarrow - 1 \le x \le 1$ (*)* Khi đó
$\begin{array}{l}\left( 1 \right) \Leftrightarrow \left( {x + 1} \right)\sqrt {x + 1} + \left( {x + 1} \right) + 2\sqrt {x + 1} \le \left( {1 - x} \right)\sqrt {1 - x} + \left( {1 - x} \right) + 2\sqrt {1 - x} \\
\Leftrightarrow {\left( {\sqrt {x + 1} } \right)^3} + {\left( {\sqrt {x + 1} } \right)^2} + 2\sqrt {x + 1} \le {\left( {\sqrt {1 - x} } \right)^3} + {\left( {\sqrt {1 - x} } \right)^2} + 2\sqrt {1 - x} \left( 2 \right)
\end{array}$
* Xét hàm số $f(t) = {t^3} + {t^2} + 2t$ với t ≥ 0 :
Có $f'(t) = 3{t^2} + 2t + 2 > 0;\,\forall t \ge 0$ nên f(x) là hàm đồng biến trên [0; + ∞).
* Mặt khác : (2) $\Leftrightarrow f(\sqrt {x + 1} ) \le f(\sqrt {1 - x} ) \Leftrightarrow \sqrt {x + 1} \le \sqrt {1 - x} \Leftrightarrow x + 1 \le 1 - x \Leftrightarrow x \le 0$
kết hợp với điều kiện (*) ta được: 0 ≥ x ≥ - 1.
VI. Kỹ thuật sử dụng tính đối xứng của hai nghiệm.
Tìm m để BẤT PHƯƠNG TRÌNH sau có nghiệm duy nhất: $ - \sqrt x - \sqrt {1 - x} + 2m\sqrt {x\left( {1 - x} \right)} + 2\sqrt[4]{{x\left( {1 - x} \right)}} \ge m + {m^2}$ (1)
Giải
* Điều kiện: 0 ≤ x ≤ 1 (*)* Nhận xét : Nếu ${x_0}$ là nghiệm của (1) thì (1- ${x_0}$) cũng là nghiệm của (1). Do đó phương trình có nghiệm duy nhất thì ${x_0} = 1 - {x_0} \Leftrightarrow {x_0} = \frac{1}{2}$.
Thay ${x_0}$ = 1/2 vào (1) ta được $- \sqrt {\frac{1}{2}} - \sqrt {\frac{1}{2}} + 2m\sqrt {\frac{1}{2}.\frac{1}{2}} + 2\sqrt[4]{{\frac{1}{2}.\frac{1}{2}}} \ge m + {m^2} \Leftrightarrow {m^2} \le 0 \Leftrightarrow m = 0$.
* Với m = 0 thì (1) trở thành :
$\begin{array}{l} - \sqrt x - \sqrt {1 - x} + 2\sqrt[4]{{x\left( {1 - x} \right)}} \ge 0 \Leftrightarrow {\left( {\sqrt[4]{x} - \sqrt[4]{{1 - x}}} \right)^2} \le 0\\
\Leftrightarrow \sqrt[4]{x} - \sqrt[4]{{1 - x}} = 0 \Leftrightarrow x = 1 - x \Leftrightarrow x = \frac{1}{2}
\end{array}$
(thỏa mãn (*)).
Vậy bất phương trình (1) có nghiệm duy nhất khi m=0.
