BẤT ĐẲNG THỨC CÔ-SI (CAUCHY)
Bất đẳng thức Cô-si đối với hai số không âm: Cho $a\ge 0$, $b\ge \text{0}$, ta có $\frac{a+b}{2}\ge \sqrt{ab}$. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $a=b.$
Hệ quả:
+ Hai số dương có tổng không đổi thì tích lớn nhất khi hai số đó bằng nhau.
+ Hai số dương có tích không đổi thì tổng nhỏ nhất khi hai số đó bằng nhau.
Bất đẳng thức Cô-si đối với ba số không âm: Cho $a\ge 0$, $b\ge 0$, $c\ge 0$, ta có $\frac{a+b+c}{3}\ge \sqrt[3]{abc}$. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $a=b=c.$
Một số lưu ý khi sử dụng bất đẳng thức Cô-si:
+ Khi áp dụng bất đẳng thức Cô-si thì các số phải là những số không âm.
+ Bất đẳng thức Cô-si thường được áp dụng khi trong bất đẳng thức cần chứng minh có tổng và tích.
+ Điều kiện xảy ra dấu ‘$=$’ là các số bằng nhau.
+ Bất đẳng thức Cô-si còn có hình thức khác thường hay sử dụng như sau:
Đối với hai số: ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}\ge 2xy$; ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}\ge \frac{{{(x+y)}^{2}}}{2}$; $xy\le {{\left( \frac{x+y}{2} \right)}^{2}}.$
Đối với ba số: $abc\le \frac{{{a}^{3}}+{{b}^{3}}+{{c}^{3}}}{3}$, $abc\le {{\left( \frac{a+b+c}{3} \right)}^{3}}.$
Bất đẳng thức Cô-si đối với hai số không âm: Cho $a\ge 0$, $b\ge \text{0}$, ta có $\frac{a+b}{2}\ge \sqrt{ab}$. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $a=b.$
Hệ quả:
+ Hai số dương có tổng không đổi thì tích lớn nhất khi hai số đó bằng nhau.
+ Hai số dương có tích không đổi thì tổng nhỏ nhất khi hai số đó bằng nhau.
Bất đẳng thức Cô-si đối với ba số không âm: Cho $a\ge 0$, $b\ge 0$, $c\ge 0$, ta có $\frac{a+b+c}{3}\ge \sqrt[3]{abc}$. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $a=b=c.$
Một số lưu ý khi sử dụng bất đẳng thức Cô-si:
+ Khi áp dụng bất đẳng thức Cô-si thì các số phải là những số không âm.
+ Bất đẳng thức Cô-si thường được áp dụng khi trong bất đẳng thức cần chứng minh có tổng và tích.
+ Điều kiện xảy ra dấu ‘$=$’ là các số bằng nhau.
+ Bất đẳng thức Cô-si còn có hình thức khác thường hay sử dụng như sau:
Đối với hai số: ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}\ge 2xy$; ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}\ge \frac{{{(x+y)}^{2}}}{2}$; $xy\le {{\left( \frac{x+y}{2} \right)}^{2}}.$
Đối với ba số: $abc\le \frac{{{a}^{3}}+{{b}^{3}}+{{c}^{3}}}{3}$, $abc\le {{\left( \frac{a+b+c}{3} \right)}^{3}}.$
