Dạng toán 5: Mặt phẳng chứa một đường thẳng và các yếu tố khác.
• Dạng 1: Viết phương trình mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ chứa $d$ và song song với $d’.$
Phương pháp:
+ Vector pháp tuyến của mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ là: $\overrightarrow {{n_\alpha }} = \left[ {\overrightarrow {{a_d}} .\overrightarrow {{a_{d’}}} } \right]$, trong đó $\overrightarrow {{a_d}} ,\overrightarrow {{a_{d’}}} $ lần lượt là vector chỉ phương của đường thẳng $d, d’.$
+ Chọn $M \in d \Rightarrow M \in \left( \alpha \right).$
Ví dụ 11: Trong không gian hệ toạ độ $Oxyz$ cho hai đường thẳng: $d:$ $\left\{ \begin{array}{l}
x = 1 + 2t\\
y = – 3t\\
z = 4 + t
\end{array} \right.$ ($t$ là tham số) và $d’:$ $\frac{{x – 2}}{1} = \frac{{y + 1}}{2} = \frac{{z – 3}}{{ – 1}}.$ Viết phương trình mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ chứa $d$ và song song với $d’.$
Ta có: $\overrightarrow {{a_d}} = \left( {2; – 3;1} \right)$, $\overrightarrow {{a_{d’}}} = \left( {1;2; – 1} \right).$
Vì $\left\{ \begin{array}{l}
d \subset \left( \alpha \right)\\
\left( \alpha \right){\rm{//}}d’
\end{array} \right.$ $ \Rightarrow \overrightarrow {{n_\alpha }} = \left[ {\overrightarrow {{a_d}} .\overrightarrow {{a_{d’}}} } \right]$ $ = \left( {1;3;7} \right)$ là vector pháp tuyến của mặt phẳng $\left( \alpha \right).$
Chọn $M\left( {1;0;4} \right) \in d$ $ \Rightarrow M \in \left( \alpha \right).$
Suy ra phương trình mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ là: $1\left( {x – 1} \right) + 3\left( {y – 0} \right)$ $ + 7\left( {z – 4} \right) = 0$ $ \Leftrightarrow x + 3y + 7z – 29 = 0.$
• Dạng 2: Viết phương trình mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ chứa đường thẳng $d$ và vuông góc với mặt phẳng $(P)$ ($d$ không vuông góc với $(P)$).
Phương pháp:
+ Vector pháp tuyến của mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ là: $\overrightarrow {{n_\alpha }} = \left[ {\overrightarrow {{a_d}} .\overrightarrow {{n_P}} } \right]$, trong đó $\overrightarrow {{a_d}} $ là vector chỉ phương của đường thẳng $d$, $\overrightarrow {{n_P}} $ là vector pháp tuyến của mặt phẳng $(P).$
+ Chọn $M \in d \Rightarrow M \in \left( \alpha \right).$
Ví dụ 12: Viết phương trình mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ chứa $d:$ $\frac{{x + 1}}{2} = \frac{{y – 1}}{3} = \frac{{z + 1}}{1}$ và vuông góc với $(P):$ $-x + y + 2z – 1 = 0.$
Ta có: $\overrightarrow {{a_d}} = \left( {2;3;1} \right)$, $\overrightarrow {{n_P}} = \left( { – 1;1;2} \right).$
Vì $\left\{ \begin{array}{l}
d \subset \left( \alpha \right)\\
\left( \alpha \right) \bot \left( P \right)
\end{array} \right.$ $ \Rightarrow \overrightarrow {{n_\alpha }} = \left[ {\overrightarrow {{a_d}} .\overrightarrow {{n_P}} } \right]$ $ = \left( {5; – 5;5} \right)$ là vector pháp tuyến của mặt phẳng $(α).$
Chọn $M\left( { – 1;1; – 1} \right) \in d$ $ \Rightarrow M \in \left( \alpha \right).$
Suy ra phương trình mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ là: $5(x+1) – 5(y-1)$ $ + 5 (z+1) = 0$ $ \Leftrightarrow x – y + z + 3 = 0.$
• Dạng 1: Viết phương trình mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ chứa $d$ và song song với $d’.$
Phương pháp:
+ Vector pháp tuyến của mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ là: $\overrightarrow {{n_\alpha }} = \left[ {\overrightarrow {{a_d}} .\overrightarrow {{a_{d’}}} } \right]$, trong đó $\overrightarrow {{a_d}} ,\overrightarrow {{a_{d’}}} $ lần lượt là vector chỉ phương của đường thẳng $d, d’.$
+ Chọn $M \in d \Rightarrow M \in \left( \alpha \right).$
Ví dụ 11: Trong không gian hệ toạ độ $Oxyz$ cho hai đường thẳng: $d:$ $\left\{ \begin{array}{l}
x = 1 + 2t\\
y = – 3t\\
z = 4 + t
\end{array} \right.$ ($t$ là tham số) và $d’:$ $\frac{{x – 2}}{1} = \frac{{y + 1}}{2} = \frac{{z – 3}}{{ – 1}}.$ Viết phương trình mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ chứa $d$ và song song với $d’.$
Ta có: $\overrightarrow {{a_d}} = \left( {2; – 3;1} \right)$, $\overrightarrow {{a_{d’}}} = \left( {1;2; – 1} \right).$
Vì $\left\{ \begin{array}{l}
d \subset \left( \alpha \right)\\
\left( \alpha \right){\rm{//}}d’
\end{array} \right.$ $ \Rightarrow \overrightarrow {{n_\alpha }} = \left[ {\overrightarrow {{a_d}} .\overrightarrow {{a_{d’}}} } \right]$ $ = \left( {1;3;7} \right)$ là vector pháp tuyến của mặt phẳng $\left( \alpha \right).$
Chọn $M\left( {1;0;4} \right) \in d$ $ \Rightarrow M \in \left( \alpha \right).$
Suy ra phương trình mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ là: $1\left( {x – 1} \right) + 3\left( {y – 0} \right)$ $ + 7\left( {z – 4} \right) = 0$ $ \Leftrightarrow x + 3y + 7z – 29 = 0.$
• Dạng 2: Viết phương trình mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ chứa đường thẳng $d$ và vuông góc với mặt phẳng $(P)$ ($d$ không vuông góc với $(P)$).
Phương pháp:
+ Vector pháp tuyến của mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ là: $\overrightarrow {{n_\alpha }} = \left[ {\overrightarrow {{a_d}} .\overrightarrow {{n_P}} } \right]$, trong đó $\overrightarrow {{a_d}} $ là vector chỉ phương của đường thẳng $d$, $\overrightarrow {{n_P}} $ là vector pháp tuyến của mặt phẳng $(P).$
+ Chọn $M \in d \Rightarrow M \in \left( \alpha \right).$
Ví dụ 12: Viết phương trình mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ chứa $d:$ $\frac{{x + 1}}{2} = \frac{{y – 1}}{3} = \frac{{z + 1}}{1}$ và vuông góc với $(P):$ $-x + y + 2z – 1 = 0.$
Ta có: $\overrightarrow {{a_d}} = \left( {2;3;1} \right)$, $\overrightarrow {{n_P}} = \left( { – 1;1;2} \right).$
Vì $\left\{ \begin{array}{l}
d \subset \left( \alpha \right)\\
\left( \alpha \right) \bot \left( P \right)
\end{array} \right.$ $ \Rightarrow \overrightarrow {{n_\alpha }} = \left[ {\overrightarrow {{a_d}} .\overrightarrow {{n_P}} } \right]$ $ = \left( {5; – 5;5} \right)$ là vector pháp tuyến của mặt phẳng $(α).$
Chọn $M\left( { – 1;1; – 1} \right) \in d$ $ \Rightarrow M \in \left( \alpha \right).$
Suy ra phương trình mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ là: $5(x+1) – 5(y-1)$ $ + 5 (z+1) = 0$ $ \Leftrightarrow x – y + z + 3 = 0.$
