Phương pháp giải toán: Nhiều khi không dự đoán được dấu bằng xảy ra (để tách ghép cho hợp lí) chúng ta cần đưa tham số vào rồi chọn sau sao cho dấu bằng xảy ra.
Ví dụ 11. Cho $a,b,c$ là số dương thỏa mãn ${{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}=1$. Tìm giá trị lớn nhất của $A=\left( 1+2a \right)\left( 1+2bc \right).$
Phân tích:
Rõ ràng ta sẽ đánh giá biểu thức $A$ để làm xuất hiện ${{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}.$
Trước tiên ta sẽ đánh giá $a$ qua ${{a}^{2}}$ bởi ${{a}^{2}}+{{m}^{2}}\ge 2ma$ $\Rightarrow 2a\le \frac{{{a}^{2}}}{m}+m$ (với $m>0$).
Do $b,c$ bình đẳng nên dự đoán dấu bằng $A$ đạt giá trị nhỏ nhất khi $b=c$ nên ta đánh giá $2bc\le {{b}^{2}}+{{c}^{2}}.$
Suy ra $A\le \left( \frac{{{a}^{2}}}{m}+m+1 \right)\left( 1+{{b}^{2}}+{{c}^{2}} \right)=B$.
Tiếp tục ta sẽ sử dụng bất đẳng thức Cô-si dưới dạng $xy\le {{\left( \frac{x+y}{2} \right)}^{2}}$ để làm xuất hiện ${{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}$ nên ta sẽ tách như sau:
$B=\frac{1}{m}\left( {{a}^{2}}+{{m}^{2}}+m \right)\left( 1+{{b}^{2}}+{{c}^{2}} \right)$ $\le \frac{1}{m}{{\left( \frac{\left( {{a}^{2}}+{{m}^{2}}+m \right)+\left( 1+{{b}^{2}}+{{c}^{2}} \right)}{2} \right)}^{2}}.$
Suy ra $\text{A}\le \frac{1}{4m}{{\left( {{m}^{2}}+m+2 \right)}^{2}}.$
Dấu bằng xảy ra khi $a=m$, $b=c$, ${{a}^{2}}+{{m}^{2}}+m=1+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}$ và ${{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}=1.$
Từ đây ta có $m=\frac{2}{3}.$
Lời giải:
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si, ta có ${{a}^{2}}+\frac{4}{9}\ge \frac{4}{3}a$ $\Rightarrow 2a\le \frac{3{{a}^{2}}}{2}+\frac{2}{3}$ và $2bc\le {{b}^{2}}+{{c}^{2}}.$
Suy ra $A\le \left( \frac{3{{a}^{2}}}{2}+\frac{2}{3}+1 \right)\left( {{b}^{2}}+{{c}^{2}}+1 \right).$
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si, ta có:
$\left( \frac{3{{a}^{2}}}{2}+\frac{2}{3}+1 \right)\left( {{b}^{2}}+{{c}^{2}}+1 \right)$ $=\frac{3}{2}\left( {{a}^{2}}+\frac{10}{9} \right)\left( {{b}^{2}}+{{c}^{2}}+1 \right)$ $\le \frac{3}{2}{{\left( \frac{{{a}^{2}}+\frac{10}{9}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}+1}{2} \right)}^{2}}=\frac{98}{27}.$
Suy ra $\text{A}\le \frac{98}{27}.$
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $\left\{ \begin{align}
& a=\frac{2}{3} \\
& b=c \\
& {{a}^{2}}+\frac{10}{9}={{b}^{2}}+{{c}^{2}}+1 \\
& {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}=1 \\
\end{align} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}
& a=\frac{2}{3} \\
& b=c=\sqrt{\frac{5}{18}} \\
\end{align} \right.$
Vậy $\max A=\frac{98}{27}$ khi và chỉ khi $a=\frac{2}{3}$ và $b=c=\sqrt{\frac{5}{18}}.$
Ví dụ 12. Cho $a,b,c$ là số dương thỏa mãn $2a+4b+3{{c}^{2}}=68$. Tìm giá trị nhỏ nhất của $A={{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{3}}.$
Phân tích:
Ta cần đánh giá biểu thức $A$ qua biểu thức $2a+4b+3{{c}^{2}}$, do đó ta sẽ cho thêm vào các tham số vào và đánh giá như sau ($m,n,p$ dương).
${{a}^{2}}+{{m}^{2}}\ge 2am$, ${{b}^{2}}+{{n}^{2}}\ge 2bn$ và $\frac{{{c}^{3}}}{2}+\frac{{{c}^{3}}}{2}+4{{p}^{3}}\ge 3p{{c}^{2}}.$
Suy ra ${{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{3}}+{{m}^{2}}+{{n}^{2}}+4{{p}^{3}}$ $\ge 2am+2bn+3pc$ $(*).$
Để $2am+2bn+3p{{c}^{2}}$ có thể bội số của $2a+4b+3{{c}^{2}}$ thì $\frac{2m}{2}=\frac{2n}{4}=\frac{3p}{3}$ $\Leftrightarrow m=\frac{n}{2}=p.$
Mặt khác dấu bằng ở bất đẳng thức $(*)$ xảy ra khi $a=m$, $b=n$, $c=2p.$
Hay $a=m$, $b=2m$, $c=2m$ $\Rightarrow 2m+4.\left( 2m \right)+3{{\left( 2m \right)}^{2}}=68$ $\Leftrightarrow 12{{m}^{2}}+10m-68=0$ $\Leftrightarrow m=2$ (nhận) hoặc $m=-\frac{17}{6}$ (loại).
Suy ra $p=2$, $n=4.$
Lời giải:
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si, ta có:
${{a}^{2}}+4\ge 4a$, ${{b}^{2}}+16\ge 8b$ và $\frac{{{c}^{3}}}{2}+\frac{{{c}^{3}}}{2}+32\ge 6{{c}^{2}}.$
Cộng vế với vế ta được: ${{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{3}}+52$ $\ge 4a+8b+6{{c}^{2}}$, kết hợp với $2a+4b+3{{c}^{2}}=68.$
Suy ra ${{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{3}}\ge 84.$
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $a=2$, $b=4$, $c=4.$
Vậy $\min \text{A}=84$ $\Leftrightarrow a=2$, $b=4$, $c=4.$
Dạng toán 4. Kĩ thuật Cô-si ngược dấu.
Ví dụ 13. Cho $a,b,c$ là các số thực dương. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: $P=\frac{\sqrt{bc}}{a+2\sqrt{bc}}+\frac{\sqrt{ca}}{b+2\sqrt{ca}}+\frac{\sqrt{ab}}{c+2\sqrt{ab}}.$
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si, ta có: $\frac{\sqrt{bc}}{a+2\sqrt{bc}}$ $=\frac{1}{2}\left( 1-\frac{a}{a+2\sqrt{bc}} \right)$ $\le \frac{1}{2}\left( 1-\frac{a}{a+b+c} \right).$
Tương tự ta có: $\frac{\sqrt{ca}}{b+2\sqrt{ca}}\le \frac{1}{2}\left( 1-\frac{b}{a+b+c} \right)$, $\frac{\sqrt{ab}}{c+2\sqrt{ab}}\le \frac{1}{2}\left( 1-\frac{c}{a+b+c} \right).$
Cộng vế với vế các bất đẳng thức trên ta được: $P\le \frac{1}{2}\left( 3-\frac{a}{a+b+c}-\frac{b}{a+b+c}-\frac{c}{a+b+c} \right)=1.$
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $a=b=c.$
Vậy $\min P=1$ $\Leftrightarrow a=b=c.$
Ví dụ 14. Cho $a,b,c$ là các số thực không âm thỏa mãn $a+b+c=3$. Chứng minh rằng:
a) $\frac{a}{1+{{b}^{2}}}+\frac{b}{1+{{c}^{2}}}+\frac{c}{1+{{a}^{2}}}\ge \frac{3}{2}.$
b) $\frac{{{a}^{2}}}{a+2{{b}^{3}}}+\frac{{{b}^{2}}}{b+2{{c}^{3}}}+\frac{{{c}^{2}}}{c+2{{a}^{3}}}\ge 1.$
a) Áp dụng bất đẳng thức Cô-si, ta có: $\frac{a}{1+{{b}^{2}}}$ $=\frac{a\left( 1+{{b}^{2}}-{{b}^{2}} \right)}{1+{{b}^{2}}}$ $=a-\frac{a{{b}^{2}}}{1+{{b}^{2}}}$ $\ge a-\frac{a{{b}^{2}}}{2b}$ $=a-\frac{ab}{2}.$
Tương tự ta có: $\frac{b}{1+{{c}^{2}}}$ $\ge b-\frac{bc}{2}$ và $\frac{c}{1+{{a}^{2}}}$ $\ge c-\frac{ca}{2}.$
Cộng vế theo vế các bất đẳng thức trên ta được:
$\frac{a}{1+{{b}^{2}}}+\frac{b}{1+{{c}^{2}}}+\frac{c}{1+{{a}^{2}}}$ $\ge a+b+c-\frac{ab+bc+ca}{2}$ $=3-\frac{ab+bc+ca}{2}.$
Mặt khác ta có: ${{\left( a+b+c \right)}^{2}}$ $\ge 3\left( ab+bc+ca \right)$ $\Rightarrow ab+bc+ca\le 3.$
Do đó $\frac{a}{1+{{b}^{2}}}+\frac{b}{1+{{c}^{2}}}+\frac{c}{1+{{a}^{2}}}$ $\ge 3-\frac{3}{2}=\frac{3}{2}.$
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $a=b=c=1.$
b) Theo bất đẳng thức Cô-si, ta có:
$\frac{{{a}^{2}}}{a+2{{b}^{3}}}$ $=\frac{a\left( a+2{{b}^{3}} \right)-2a{{b}^{3}}}{a+2{{b}^{3}}}$ $\ge a-\frac{2a{{b}^{3}}}{3\sqrt[3]{a{{b}^{6}}}}$ $=a-\frac{2b\sqrt[3]{{{a}^{2}}}}{3}.$
Tương tự ta có: $\frac{{{b}^{2}}}{b+2{{c}^{3}}}$ $\ge b-\frac{2c\sqrt[3]{b}}{3}$, $\frac{{{c}^{2}}}{c+2{{a}^{3}}}$ $\ge c-\frac{2a\sqrt[3]{c}}{3}.$
Cộng vế theo vế các bất đẳng thức trên ta được:
$\frac{{{a}^{2}}}{a+2{{b}^{3}}}+\frac{{{b}^{2}}}{b+2{{c}^{3}}}+\frac{{{c}^{2}}}{c+2{{a}^{3}}}$ $\ge a+b+c-\frac{2}{3}\left( b\sqrt[3]{{{a}^{2}}}+a\sqrt[3]{{{c}^{2}}}+c\sqrt[3]{{{b}^{2}}} \right).$
Mặt khác $a+b+c=3$ do đó ta chỉ cần chứng minh: $b\sqrt[3]{{{a}^{2}}}+c\sqrt[3]{{{b}^{2}}}+a\sqrt[3]{{{c}^{2}}}\le 3.$
Thật vậy, theo bất đẳng thức Cô-si ta có: $b\sqrt[3]{{{a}^{2}}}\le \frac{1}{3}b.\left( a+a+1 \right)$ $=\frac{2ab+b}{3}.$
Tương tự ta có: $c\sqrt[3]{{{b}^{2}}}\le \frac{2bc+c}{3}$, $a\sqrt[3]{{{c}^{2}}}\le \frac{2ca+a}{3}.$
Cộng vế theo vế các bất đẳng thức trên ta có:
$b\sqrt[3]{{{a}^{2}}}+c\sqrt[3]{{{b}^{2}}}+a\sqrt[3]{{{c}^{2}}}$ $\le \frac{2ab+b}{3}+\frac{2bc+c}{3}+\frac{2ca+a}{3}$ $=\frac{2}{3}\left( ab+bc+ca \right)$ $+\frac{1}{3}\left( a+b+c \right).$
Từ đó suy ra: $b\sqrt[3]{{{a}^{2}}}+c\sqrt[3]{{{b}^{2}}}+a\sqrt[3]{{{c}^{2}}}$ $\le \frac{2}{3}.3+\frac{1}{3}.3=3.$
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $a=b=c=1.$
Ví dụ 11. Cho $a,b,c$ là số dương thỏa mãn ${{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}=1$. Tìm giá trị lớn nhất của $A=\left( 1+2a \right)\left( 1+2bc \right).$
Phân tích:
Rõ ràng ta sẽ đánh giá biểu thức $A$ để làm xuất hiện ${{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}.$
Trước tiên ta sẽ đánh giá $a$ qua ${{a}^{2}}$ bởi ${{a}^{2}}+{{m}^{2}}\ge 2ma$ $\Rightarrow 2a\le \frac{{{a}^{2}}}{m}+m$ (với $m>0$).
Do $b,c$ bình đẳng nên dự đoán dấu bằng $A$ đạt giá trị nhỏ nhất khi $b=c$ nên ta đánh giá $2bc\le {{b}^{2}}+{{c}^{2}}.$
Suy ra $A\le \left( \frac{{{a}^{2}}}{m}+m+1 \right)\left( 1+{{b}^{2}}+{{c}^{2}} \right)=B$.
Tiếp tục ta sẽ sử dụng bất đẳng thức Cô-si dưới dạng $xy\le {{\left( \frac{x+y}{2} \right)}^{2}}$ để làm xuất hiện ${{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}$ nên ta sẽ tách như sau:
$B=\frac{1}{m}\left( {{a}^{2}}+{{m}^{2}}+m \right)\left( 1+{{b}^{2}}+{{c}^{2}} \right)$ $\le \frac{1}{m}{{\left( \frac{\left( {{a}^{2}}+{{m}^{2}}+m \right)+\left( 1+{{b}^{2}}+{{c}^{2}} \right)}{2} \right)}^{2}}.$
Suy ra $\text{A}\le \frac{1}{4m}{{\left( {{m}^{2}}+m+2 \right)}^{2}}.$
Dấu bằng xảy ra khi $a=m$, $b=c$, ${{a}^{2}}+{{m}^{2}}+m=1+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}$ và ${{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}=1.$
Từ đây ta có $m=\frac{2}{3}.$
Lời giải:
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si, ta có ${{a}^{2}}+\frac{4}{9}\ge \frac{4}{3}a$ $\Rightarrow 2a\le \frac{3{{a}^{2}}}{2}+\frac{2}{3}$ và $2bc\le {{b}^{2}}+{{c}^{2}}.$
Suy ra $A\le \left( \frac{3{{a}^{2}}}{2}+\frac{2}{3}+1 \right)\left( {{b}^{2}}+{{c}^{2}}+1 \right).$
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si, ta có:
$\left( \frac{3{{a}^{2}}}{2}+\frac{2}{3}+1 \right)\left( {{b}^{2}}+{{c}^{2}}+1 \right)$ $=\frac{3}{2}\left( {{a}^{2}}+\frac{10}{9} \right)\left( {{b}^{2}}+{{c}^{2}}+1 \right)$ $\le \frac{3}{2}{{\left( \frac{{{a}^{2}}+\frac{10}{9}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}+1}{2} \right)}^{2}}=\frac{98}{27}.$
Suy ra $\text{A}\le \frac{98}{27}.$
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $\left\{ \begin{align}
& a=\frac{2}{3} \\
& b=c \\
& {{a}^{2}}+\frac{10}{9}={{b}^{2}}+{{c}^{2}}+1 \\
& {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}=1 \\
\end{align} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}
& a=\frac{2}{3} \\
& b=c=\sqrt{\frac{5}{18}} \\
\end{align} \right.$
Vậy $\max A=\frac{98}{27}$ khi và chỉ khi $a=\frac{2}{3}$ và $b=c=\sqrt{\frac{5}{18}}.$
Ví dụ 12. Cho $a,b,c$ là số dương thỏa mãn $2a+4b+3{{c}^{2}}=68$. Tìm giá trị nhỏ nhất của $A={{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{3}}.$
Phân tích:
Ta cần đánh giá biểu thức $A$ qua biểu thức $2a+4b+3{{c}^{2}}$, do đó ta sẽ cho thêm vào các tham số vào và đánh giá như sau ($m,n,p$ dương).
${{a}^{2}}+{{m}^{2}}\ge 2am$, ${{b}^{2}}+{{n}^{2}}\ge 2bn$ và $\frac{{{c}^{3}}}{2}+\frac{{{c}^{3}}}{2}+4{{p}^{3}}\ge 3p{{c}^{2}}.$
Suy ra ${{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{3}}+{{m}^{2}}+{{n}^{2}}+4{{p}^{3}}$ $\ge 2am+2bn+3pc$ $(*).$
Để $2am+2bn+3p{{c}^{2}}$ có thể bội số của $2a+4b+3{{c}^{2}}$ thì $\frac{2m}{2}=\frac{2n}{4}=\frac{3p}{3}$ $\Leftrightarrow m=\frac{n}{2}=p.$
Mặt khác dấu bằng ở bất đẳng thức $(*)$ xảy ra khi $a=m$, $b=n$, $c=2p.$
Hay $a=m$, $b=2m$, $c=2m$ $\Rightarrow 2m+4.\left( 2m \right)+3{{\left( 2m \right)}^{2}}=68$ $\Leftrightarrow 12{{m}^{2}}+10m-68=0$ $\Leftrightarrow m=2$ (nhận) hoặc $m=-\frac{17}{6}$ (loại).
Suy ra $p=2$, $n=4.$
Lời giải:
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si, ta có:
${{a}^{2}}+4\ge 4a$, ${{b}^{2}}+16\ge 8b$ và $\frac{{{c}^{3}}}{2}+\frac{{{c}^{3}}}{2}+32\ge 6{{c}^{2}}.$
Cộng vế với vế ta được: ${{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{3}}+52$ $\ge 4a+8b+6{{c}^{2}}$, kết hợp với $2a+4b+3{{c}^{2}}=68.$
Suy ra ${{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{3}}\ge 84.$
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $a=2$, $b=4$, $c=4.$
Vậy $\min \text{A}=84$ $\Leftrightarrow a=2$, $b=4$, $c=4.$
Dạng toán 4. Kĩ thuật Cô-si ngược dấu.
Ví dụ 13. Cho $a,b,c$ là các số thực dương. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: $P=\frac{\sqrt{bc}}{a+2\sqrt{bc}}+\frac{\sqrt{ca}}{b+2\sqrt{ca}}+\frac{\sqrt{ab}}{c+2\sqrt{ab}}.$
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si, ta có: $\frac{\sqrt{bc}}{a+2\sqrt{bc}}$ $=\frac{1}{2}\left( 1-\frac{a}{a+2\sqrt{bc}} \right)$ $\le \frac{1}{2}\left( 1-\frac{a}{a+b+c} \right).$
Tương tự ta có: $\frac{\sqrt{ca}}{b+2\sqrt{ca}}\le \frac{1}{2}\left( 1-\frac{b}{a+b+c} \right)$, $\frac{\sqrt{ab}}{c+2\sqrt{ab}}\le \frac{1}{2}\left( 1-\frac{c}{a+b+c} \right).$
Cộng vế với vế các bất đẳng thức trên ta được: $P\le \frac{1}{2}\left( 3-\frac{a}{a+b+c}-\frac{b}{a+b+c}-\frac{c}{a+b+c} \right)=1.$
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $a=b=c.$
Vậy $\min P=1$ $\Leftrightarrow a=b=c.$
Ví dụ 14. Cho $a,b,c$ là các số thực không âm thỏa mãn $a+b+c=3$. Chứng minh rằng:
a) $\frac{a}{1+{{b}^{2}}}+\frac{b}{1+{{c}^{2}}}+\frac{c}{1+{{a}^{2}}}\ge \frac{3}{2}.$
b) $\frac{{{a}^{2}}}{a+2{{b}^{3}}}+\frac{{{b}^{2}}}{b+2{{c}^{3}}}+\frac{{{c}^{2}}}{c+2{{a}^{3}}}\ge 1.$
a) Áp dụng bất đẳng thức Cô-si, ta có: $\frac{a}{1+{{b}^{2}}}$ $=\frac{a\left( 1+{{b}^{2}}-{{b}^{2}} \right)}{1+{{b}^{2}}}$ $=a-\frac{a{{b}^{2}}}{1+{{b}^{2}}}$ $\ge a-\frac{a{{b}^{2}}}{2b}$ $=a-\frac{ab}{2}.$
Tương tự ta có: $\frac{b}{1+{{c}^{2}}}$ $\ge b-\frac{bc}{2}$ và $\frac{c}{1+{{a}^{2}}}$ $\ge c-\frac{ca}{2}.$
Cộng vế theo vế các bất đẳng thức trên ta được:
$\frac{a}{1+{{b}^{2}}}+\frac{b}{1+{{c}^{2}}}+\frac{c}{1+{{a}^{2}}}$ $\ge a+b+c-\frac{ab+bc+ca}{2}$ $=3-\frac{ab+bc+ca}{2}.$
Mặt khác ta có: ${{\left( a+b+c \right)}^{2}}$ $\ge 3\left( ab+bc+ca \right)$ $\Rightarrow ab+bc+ca\le 3.$
Do đó $\frac{a}{1+{{b}^{2}}}+\frac{b}{1+{{c}^{2}}}+\frac{c}{1+{{a}^{2}}}$ $\ge 3-\frac{3}{2}=\frac{3}{2}.$
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $a=b=c=1.$
b) Theo bất đẳng thức Cô-si, ta có:
$\frac{{{a}^{2}}}{a+2{{b}^{3}}}$ $=\frac{a\left( a+2{{b}^{3}} \right)-2a{{b}^{3}}}{a+2{{b}^{3}}}$ $\ge a-\frac{2a{{b}^{3}}}{3\sqrt[3]{a{{b}^{6}}}}$ $=a-\frac{2b\sqrt[3]{{{a}^{2}}}}{3}.$
Tương tự ta có: $\frac{{{b}^{2}}}{b+2{{c}^{3}}}$ $\ge b-\frac{2c\sqrt[3]{b}}{3}$, $\frac{{{c}^{2}}}{c+2{{a}^{3}}}$ $\ge c-\frac{2a\sqrt[3]{c}}{3}.$
Cộng vế theo vế các bất đẳng thức trên ta được:
$\frac{{{a}^{2}}}{a+2{{b}^{3}}}+\frac{{{b}^{2}}}{b+2{{c}^{3}}}+\frac{{{c}^{2}}}{c+2{{a}^{3}}}$ $\ge a+b+c-\frac{2}{3}\left( b\sqrt[3]{{{a}^{2}}}+a\sqrt[3]{{{c}^{2}}}+c\sqrt[3]{{{b}^{2}}} \right).$
Mặt khác $a+b+c=3$ do đó ta chỉ cần chứng minh: $b\sqrt[3]{{{a}^{2}}}+c\sqrt[3]{{{b}^{2}}}+a\sqrt[3]{{{c}^{2}}}\le 3.$
Thật vậy, theo bất đẳng thức Cô-si ta có: $b\sqrt[3]{{{a}^{2}}}\le \frac{1}{3}b.\left( a+a+1 \right)$ $=\frac{2ab+b}{3}.$
Tương tự ta có: $c\sqrt[3]{{{b}^{2}}}\le \frac{2bc+c}{3}$, $a\sqrt[3]{{{c}^{2}}}\le \frac{2ca+a}{3}.$
Cộng vế theo vế các bất đẳng thức trên ta có:
$b\sqrt[3]{{{a}^{2}}}+c\sqrt[3]{{{b}^{2}}}+a\sqrt[3]{{{c}^{2}}}$ $\le \frac{2ab+b}{3}+\frac{2bc+c}{3}+\frac{2ca+a}{3}$ $=\frac{2}{3}\left( ab+bc+ca \right)$ $+\frac{1}{3}\left( a+b+c \right).$
Từ đó suy ra: $b\sqrt[3]{{{a}^{2}}}+c\sqrt[3]{{{b}^{2}}}+a\sqrt[3]{{{c}^{2}}}$ $\le \frac{2}{3}.3+\frac{1}{3}.3=3.$
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $a=b=c=1.$
