Ví dụ 9. Giải và biện luận bất phương trình $\frac{mx-m+1}{x-1}>0.$
Điều kiện xác định: $x\ne 1.$
Bất phương trình tương đương với $\left\{ \begin{matrix}
x>1 \\
mx-m+1>0 \\
\end{matrix} \right.$ $(3)$ hoặc $\left\{ \begin{matrix}
x<1 \\
mx-m+1<0 \\
\end{matrix} \right.$ $(4).$
+ Trường hợp 1: $m>0$ ta có $(3)$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
x>1 \\
x>\frac{m-1}{m} \\
\end{matrix} \right.$ và $(4)$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
x<1 \\
x<\frac{m-1}{m} \\
\end{matrix} \right.$
Vì $\frac{m-1}{m}<1$ với mọi $m>0$, do đó $\left( 3 \right)$ $\Leftrightarrow x>1$ và $\left( 4 \right)$ $\Leftrightarrow x<\frac{m-1}{m}.$
Suy ra nghiệm của bất phương trình là: $x\in \left( -\infty ;\frac{m-1}{m} \right)\cup \left( 1;+\infty \right).$
+ Trường hợp 2: $m=0$, bất phương trình trở thành: $\frac{1}{x-1}>0$ $\Leftrightarrow x-1>0$ $\Leftrightarrow x>1.$
Suy ra nghiệm của bất phương trình là $x\in \left( 1;+\infty \right).$
+ Trường hợp 3: $m<0$ ta có $(3)$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
x>1 \\
x<\frac{m-1}{m} \\
\end{matrix} \right.$ và $(4)$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
x<1 \\
x>\frac{m-1}{m} \\
\end{matrix} \right.$
Vì $\frac{m-1}{m}>1$ với mọi $m<0$, nên $\left( 3 \right)$ $\Leftrightarrow 1<x<\frac{m-1}{m}$ và $\left( 4 \right)$ vô nghiệm.
Suy ra nghiệm của bất phương trình là $x\in \left( 1;\frac{m-1}{m} \right).$
Kết luận:
$m>0$ tập nghiệm của bất phương trình là $S=\left( -\infty ;\frac{m-1}{m} \right)\cup \left( 1;+\infty \right).$
$m=0$ tập nghiệm của bất phương trình là $S=\left( 1;+\infty \right).$
$m<0$ tập nghiệm của bất phương trình là $S=\left( 1;\frac{m-1}{m} \right).$
Ví dụ 10. Cho bất phương trình $\sqrt{\left( {{m}^{2}}-4 \right)x-m+3}>2.$
a) Giải bất phương trình khi $m=1.$
b) Tìm $m$ để bất phương trình nghiệm đúng với mọi $x.$
a) Khi $m=1$ bất phương trình trở thành $\sqrt{-3x+2}>2$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
-3x+2\ge 0 \\
-3x+2\ge 4 \\
\end{matrix} \right.$ $\Leftrightarrow x\le -\frac{2}{3}.$
Vậy tập nghiệm bất phương trình là $\text{S}=(-\infty ;-\frac{2}{3}].$
b) Điều kiện xác định: $\left( {{m}^{2}}-4 \right)x-m+3\ge 0.$
Giả sử bất phương trình nghiệm đúng với mọi $x$ thì khi đó điều kiện $\left( {{m}^{2}}-4 \right)x-m+3\ge 0$ đúng với mọi $x.$
Suy ra ${{m}^{2}}-4=0$ $\Leftrightarrow m=\pm 2.$
Với $m=2$ ta có bất phương trình trở thành $\sqrt{0.x-2+3}>2$ (vô nghiệm).
Với $m=-2$ ta có bất phương trình trở thành $\sqrt{0.x+2+3}>2$ (đúng với mọi $x$).
Vậy $m=-2$ là giá trị cần tìm.
Ví dụ 11. Cho bất phương trình $\sqrt{x-1}(x-2m+2)\ge 0.$
a) Giải bất phương trình khi $m=2.$
b) Tìm $m$ để mọi $x\in \left[ 2;3 \right]$ đều là nghiệm của bất phương trình đã cho.
a) Khi $m=2$ bất phương trình trở thành $\sqrt{x-1}(x-2)\ge 0.$
Bất phương trình tương đương với $\left[ \begin{matrix}
\sqrt{x-1}=0 \\
\left\{ \begin{align}
& x-1\ge 0 \\
& x-2\ge 0 \\
\end{align} \right. \\
\end{matrix} \right.$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}
x=1 \\
\left\{ \begin{matrix}
x\ge 1 \\
x\ge 2 \\
\end{matrix} \right. \\
\end{matrix} \right.$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}
x=1 \\
x\ge 2 \\
\end{matrix} \right.$
Vậy tập nghiệm bất phương trình là $\text{S}=\left\{ 1 \right\}\cup [2;+\infty ).$
b) Bất phương trình tương đương với $\left[ \begin{matrix}
\sqrt{x-1}=0 \\
\left\{ \begin{align}
& x-1\ge 0 \\
& x-2m+2\ge 0 \\
\end{align} \right. \\
\end{matrix} \right.$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}
x=1 \\
\left\{ \begin{align}
& x\ge 1 \\
& x\ge 2m-2 \\
\end{align} \right. \\
\end{matrix} \right.$
+ Trường hợp 1: $2m-2>1$ $\Leftrightarrow m>\frac{3}{2}$: Ta có bất phương trình $\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}
x=1 \\
x\ge 2m-2 \\
\end{matrix} \right.$
Suy ra tập nghiệm bất phương trình là $S=\left\{ 1 \right\}\cup [2m-2;+\infty ).$
Do đó mọi $x\in \left[ 2;3 \right]$ đều là nghiệm của bất phương trình đã cho $\Leftrightarrow \left[ 2;3 \right]\subset S$ $\Leftrightarrow 2m-2\le 2$ $\Leftrightarrow m\le 2.$
Suy ra $\frac{3}{2}<m\le 2$ thỏa mãn yêu cầu bài toán.
+ Trường hợp 2: $2m-2=1$ $\Leftrightarrow m=\frac{3}{2}$: Ta có bất phương trình $\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}
x=1 \\
x\ge 1 \\
\end{matrix}\Leftrightarrow x\ge 1 \right. .$
Suy ra $m=\frac{3}{2}$ thỏa mãn yêu cầu bài toán.
+ Trường hợp 3: $2m-2<1$ $\Leftrightarrow m<\frac{3}{2}$: Ta có bất phương trình $\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}
x=1 \\
x\ge 1 \\
\end{matrix}\Leftrightarrow x\ge 1 \right. .$
Suy ra $m<\frac{3}{2}$ thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Vậy giá trị cần tìm là $m\le 2.$
Điều kiện xác định: $x\ne 1.$
Bất phương trình tương đương với $\left\{ \begin{matrix}
x>1 \\
mx-m+1>0 \\
\end{matrix} \right.$ $(3)$ hoặc $\left\{ \begin{matrix}
x<1 \\
mx-m+1<0 \\
\end{matrix} \right.$ $(4).$
+ Trường hợp 1: $m>0$ ta có $(3)$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
x>1 \\
x>\frac{m-1}{m} \\
\end{matrix} \right.$ và $(4)$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
x<1 \\
x<\frac{m-1}{m} \\
\end{matrix} \right.$
Vì $\frac{m-1}{m}<1$ với mọi $m>0$, do đó $\left( 3 \right)$ $\Leftrightarrow x>1$ và $\left( 4 \right)$ $\Leftrightarrow x<\frac{m-1}{m}.$
Suy ra nghiệm của bất phương trình là: $x\in \left( -\infty ;\frac{m-1}{m} \right)\cup \left( 1;+\infty \right).$
+ Trường hợp 2: $m=0$, bất phương trình trở thành: $\frac{1}{x-1}>0$ $\Leftrightarrow x-1>0$ $\Leftrightarrow x>1.$
Suy ra nghiệm của bất phương trình là $x\in \left( 1;+\infty \right).$
+ Trường hợp 3: $m<0$ ta có $(3)$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
x>1 \\
x<\frac{m-1}{m} \\
\end{matrix} \right.$ và $(4)$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
x<1 \\
x>\frac{m-1}{m} \\
\end{matrix} \right.$
Vì $\frac{m-1}{m}>1$ với mọi $m<0$, nên $\left( 3 \right)$ $\Leftrightarrow 1<x<\frac{m-1}{m}$ và $\left( 4 \right)$ vô nghiệm.
Suy ra nghiệm của bất phương trình là $x\in \left( 1;\frac{m-1}{m} \right).$
Kết luận:
$m>0$ tập nghiệm của bất phương trình là $S=\left( -\infty ;\frac{m-1}{m} \right)\cup \left( 1;+\infty \right).$
$m=0$ tập nghiệm của bất phương trình là $S=\left( 1;+\infty \right).$
$m<0$ tập nghiệm của bất phương trình là $S=\left( 1;\frac{m-1}{m} \right).$
Ví dụ 10. Cho bất phương trình $\sqrt{\left( {{m}^{2}}-4 \right)x-m+3}>2.$
a) Giải bất phương trình khi $m=1.$
b) Tìm $m$ để bất phương trình nghiệm đúng với mọi $x.$
a) Khi $m=1$ bất phương trình trở thành $\sqrt{-3x+2}>2$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
-3x+2\ge 0 \\
-3x+2\ge 4 \\
\end{matrix} \right.$ $\Leftrightarrow x\le -\frac{2}{3}.$
Vậy tập nghiệm bất phương trình là $\text{S}=(-\infty ;-\frac{2}{3}].$
b) Điều kiện xác định: $\left( {{m}^{2}}-4 \right)x-m+3\ge 0.$
Giả sử bất phương trình nghiệm đúng với mọi $x$ thì khi đó điều kiện $\left( {{m}^{2}}-4 \right)x-m+3\ge 0$ đúng với mọi $x.$
Suy ra ${{m}^{2}}-4=0$ $\Leftrightarrow m=\pm 2.$
Với $m=2$ ta có bất phương trình trở thành $\sqrt{0.x-2+3}>2$ (vô nghiệm).
Với $m=-2$ ta có bất phương trình trở thành $\sqrt{0.x+2+3}>2$ (đúng với mọi $x$).
Vậy $m=-2$ là giá trị cần tìm.
Ví dụ 11. Cho bất phương trình $\sqrt{x-1}(x-2m+2)\ge 0.$
a) Giải bất phương trình khi $m=2.$
b) Tìm $m$ để mọi $x\in \left[ 2;3 \right]$ đều là nghiệm của bất phương trình đã cho.
a) Khi $m=2$ bất phương trình trở thành $\sqrt{x-1}(x-2)\ge 0.$
Bất phương trình tương đương với $\left[ \begin{matrix}
\sqrt{x-1}=0 \\
\left\{ \begin{align}
& x-1\ge 0 \\
& x-2\ge 0 \\
\end{align} \right. \\
\end{matrix} \right.$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}
x=1 \\
\left\{ \begin{matrix}
x\ge 1 \\
x\ge 2 \\
\end{matrix} \right. \\
\end{matrix} \right.$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}
x=1 \\
x\ge 2 \\
\end{matrix} \right.$
Vậy tập nghiệm bất phương trình là $\text{S}=\left\{ 1 \right\}\cup [2;+\infty ).$
b) Bất phương trình tương đương với $\left[ \begin{matrix}
\sqrt{x-1}=0 \\
\left\{ \begin{align}
& x-1\ge 0 \\
& x-2m+2\ge 0 \\
\end{align} \right. \\
\end{matrix} \right.$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}
x=1 \\
\left\{ \begin{align}
& x\ge 1 \\
& x\ge 2m-2 \\
\end{align} \right. \\
\end{matrix} \right.$
+ Trường hợp 1: $2m-2>1$ $\Leftrightarrow m>\frac{3}{2}$: Ta có bất phương trình $\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}
x=1 \\
x\ge 2m-2 \\
\end{matrix} \right.$
Suy ra tập nghiệm bất phương trình là $S=\left\{ 1 \right\}\cup [2m-2;+\infty ).$
Do đó mọi $x\in \left[ 2;3 \right]$ đều là nghiệm của bất phương trình đã cho $\Leftrightarrow \left[ 2;3 \right]\subset S$ $\Leftrightarrow 2m-2\le 2$ $\Leftrightarrow m\le 2.$
Suy ra $\frac{3}{2}<m\le 2$ thỏa mãn yêu cầu bài toán.
+ Trường hợp 2: $2m-2=1$ $\Leftrightarrow m=\frac{3}{2}$: Ta có bất phương trình $\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}
x=1 \\
x\ge 1 \\
\end{matrix}\Leftrightarrow x\ge 1 \right. .$
Suy ra $m=\frac{3}{2}$ thỏa mãn yêu cầu bài toán.
+ Trường hợp 3: $2m-2<1$ $\Leftrightarrow m<\frac{3}{2}$: Ta có bất phương trình $\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}
x=1 \\
x\ge 1 \\
\end{matrix}\Leftrightarrow x\ge 1 \right. .$
Suy ra $m<\frac{3}{2}$ thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Vậy giá trị cần tìm là $m\le 2.$
