Dạng toán 2: Viết phương trình mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ đi qua $3$ điểm $A,B,C$

[Tăng Giáp]

Dạng toán 2: Viết phương trình mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ đi qua $3$ điểm $A,B,C$ cho trước không thẳng hàng.

Phương pháp:
+ Vector pháp tuyến của mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ là ${\overrightarrow n _\alpha } = \left[ {\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} } \right].$
+ $A \in \left( \alpha \right).$
Suy ra phương trình mặt phẳng $\left( \alpha \right).$

Ví dụ 2: Viết phương trình mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ đi qua $3$ điểm $A\left( {2; – 1;3} \right)$, $B\left( {4;0;1} \right)$, $C\left( { – 10;5;3} \right).$

Ta có: $\overrightarrow {AB} = \left( {2;1; – 2} \right)$, $\overrightarrow {AC} = \left( { – 12;6;0} \right).$
$⇒ \overrightarrow {{n_\alpha }} = \left[ {\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} } \right]$ $ = \left( {12;24;24} \right)$ $ = 12\left( {1;2;2} \right)$, do đó chọn $\overrightarrow {{n_\alpha }} = \left( {1;2;2} \right)$ là vector pháp tuyến của mặt phẳng $\left( \alpha \right).$
Với $A\left( {2; – 1;3} \right) \in \left( \alpha \right).$ Suy ra phương trình mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ là: $1\left( {x – 2} \right) + 2\left( {y + 1} \right)$ $ + 2\left( {z – 3} \right) = 0$ $ \Leftrightarrow x + 2y + 2z – 6 = 0.$