Ví dụ 5. Giải các hệ bất phương trình sau:
a) $\left\{ \begin{align}
& 5x-2>4x+5 \\
& 5x-4<x+2 \\
\end{align} \right.$
b) $\left\{ \begin{align}
& 6x+\frac{5}{7}<4x+7 \\
& \frac{8x+3}{2}<2x+5 \\
\end{align} \right.$
c) $\left\{ \begin{align}
& 5x-2<4x+5 \\
& {{x}^{2}}<{{\left( x+2 \right)}^{2}} \\
\end{align} \right.$
d) $\left\{ \begin{align}
& x-1\le 2x-3 \\
& 3x<x+5 \\
& \frac{5-3x}{2}\le x-3 \\
\end{align} \right.$
a) Hệ bất phương trình tương đương với: $\left\{ \begin{align}
& 5x-2>4x+5 \\
& 5x-4<x+2 \\
\end{align} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}
& x>7 \\
& x<\frac{3}{2} \\
\end{align} \right.$
Suy ra hệ bất phương trình vô nghiệm.
b) Hệ bất phương trình tương đương với: $\left\{ \begin{align}
& 6x+\frac{5}{7}<4x+7 \\
& \frac{8x+3}{2}<2x+5 \\
\end{align} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}
& x<\frac{22}{7} \\
& x<\frac{7}{4} \\
\end{align} \right.$ $\Leftrightarrow x<\frac{7}{4}.$
Vậy hệ bất phương trình có nghiệm là $x<\frac{7}{4}.$
c) Hệ bất phương trình tương đương với: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{x < 7}\\
{x > – 1}
\end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow – 1 < x < 7.$
Vậy hệ bất phương trình có nghiệm là $-1<x<7.$
d) Hệ bất phương trình tương đương với: $\left\{ \begin{align}
& x\ge 2 \\
& x<\frac{5}{2} \\
& x\ge \frac{11}{5} \\
\end{align} \right.$ $\Leftrightarrow \frac{11}{5}\le x\le \frac{5}{2}.$
Vậy hệ bất phương trình có nghiệm là $\frac{11}{5}\le x\le \frac{5}{2}.$
Ví dụ 6. Tìm $m$ để hệ bất phương trình sau có nghiệm:
a) $\left\{ \begin{align}
& 2x-1\le x+2 \\
& m\left( m+1 \right)x+4m\ge \left( m-2 \right)x+3{{m}^{2}}+6 \\
\end{align} \right.$
b) $\left\{ \begin{matrix}
m\left( mx-1 \right)<2 \\
m\left( mx-2 \right)\ge 2m+1 \\
\end{matrix} \right.$
a) Hệ bất phương trình tương đương với: $\left\{ \begin{matrix}
x\le 3 \\
\left( {{m}^{2}}+2 \right)x\ge 3{{m}^{2}}-4m+6 \\
\end{matrix} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
x\le 3 \\
x\ge \frac{3{{m}^{2}}-4m+6}{{{m}^{2}}+2} \\
\end{matrix} \right.$
Suy ra hệ bất phương trình có nghiệm khi và chỉ khi $\frac{3{{m}^{2}}-4m+6}{{{m}^{2}}+2}\le 3$ $\Leftrightarrow m\ge 0.$
Vậy $m\ge 0$ là giá trị cần tìm.
b) Hệ bất phương trình tương đương với: $\left\{ \begin{matrix}
{{m}^{2}}x<m+2 \\
{{m}^{2}}x\ge 4m+1 \\
\end{matrix} \right.$
+ Với $m=0$ ta có hệ bất phương trình trở thành $\left\{ \begin{matrix}
0x<2 \\
0x\ge 1 \\
\end{matrix} \right.$ suy ra hệ bất phương trình vô nghiệm.
+ Với $m\ne 0$ ta có hệ bất phương trình tương đương với $\left\{ \begin{matrix}
x<\frac{m+2}{{{m}^{2}}} \\
x\ge \frac{4m+1}{{{m}^{2}}} \\
\end{matrix} \right.$
Suy ra hệ bất phương trình có nghiệm khi và chỉ khi $\frac{m+2}{{{m}^{2}}}>\frac{4m+1}{{{m}^{2}}}$ $\Leftrightarrow m<\frac{1}{3}.$
Vậy $m<\frac{1}{3}$ là giá trị cần tìm.
Ví dụ 7. Tìm $m$ để hệ bất phương trình sau vô nghiệm:
a) $\left\{ \begin{align}
& {{\left( x-3 \right)}^{2}}\ge {{x}^{2}}+7x+1 \\
& 2m\le 8+5x \\
\end{align} \right.$
b) $\left\{ \begin{matrix}
mx+1\le x-1 \\
2\left( x-3 \right)<5\left( x-4 \right) \\
\end{matrix} \right.$
a) Hệ bất phương trình tương đương với: $\left\{ \begin{align}
& x\le \frac{8}{13} \\
& x\ge \frac{2m-8}{5} \\
\end{align} \right.$
Suy ra hệ bất phương trình vô nghiệm $\Leftrightarrow \frac{8}{13}<\frac{2m-8}{5}$ $\Leftrightarrow m>\frac{72}{13}.$
Vậy $m>\frac{72}{13}$ là giá trị cần tìm.
b) Hệ bất phương trình tương đương với $\left\{ \begin{matrix}
\left( m-1 \right)x\le -2 \\
x>\frac{14}{3} \\
\end{matrix} \right.$
+ Với $m=1$ hệ bất phương trình trở thành $\left\{ \begin{matrix}
0x\le -2 \\
x>\frac{14}{3} \\
\end{matrix} \right.$ (hệ bất phương trình vô nghiệm).
+ Với $m>1$ hệ bất phương trình $\left\{ \begin{matrix}
x\le \frac{-2}{m-1} \\
x>\frac{14}{3} \\
\end{matrix} \right.$ suy ra hệ bất phương trình vô nghiệm $\Leftrightarrow \frac{-2}{m-1}\le \frac{14}{3}$ $\Leftrightarrow -6\le 14\left( m-1 \right)$ $\Leftrightarrow m\ge \frac{4}{7}.$
Do đó $m>1$ thì hệ bất phương trình vô nghiệm.
+ Với $m<1$ hệ bất phương trình $\left\{ \begin{matrix}
x\ge \frac{-2}{m-1} \\
x>\frac{14}{3} \\
\end{matrix} \right.$ (hệ bất phương trình luôn có nghiệm).
Vậy giá trị cần tìm là $m\ge 1.$
Ví dụ 8. Tìm $m$ để hệ bất phương trình $\left\{ \begin{align}
& 2m\left( x+1 \right)\ge x+3 \\
& 4mx+3\ge 4x \\
\end{align} \right.$ có nghiệm duy nhất.
Hệ bất phương trình tương đương với: $\left\{ \begin{matrix}
\left( 2m-1 \right)x\ge 3-2m \\
\left( 4m-4 \right)x\ge -3 \\
\end{matrix} \right.$
Giả sử hệ bất phương trình có nghiệm duy nhất thì $\frac{3-2m}{2m-1}=\frac{-3}{4m-4}$ $\Leftrightarrow 8{{m}^{2}}-26m+15=0$ $\Leftrightarrow m=\frac{3}{4}$ hoặc $m=\frac{5}{2}.$
+ Với $m=\frac{3}{4}$ hệ phương trình trở thành $\left\{ \begin{matrix}
\left( \frac{3}{2}-1 \right)x\ge 3-\frac{3}{2} \\
-x\ge -3 \\
\end{matrix} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
x\ge 3 \\
x\le 3 \\
\end{matrix} \right.$ $\Leftrightarrow x=3.$
+ Với $m=\frac{5}{2}$ hệ phương trình trở thành $\left\{ \begin{matrix}
4x\ge -2 \\
6x\ge -3 \\
\end{matrix} \right.$ $\Leftrightarrow x\ge -\frac{1}{2}.$
Vậy giá trị cần tìm là $m=\frac{3}{4}.$
a) $\left\{ \begin{align}
& 5x-2>4x+5 \\
& 5x-4<x+2 \\
\end{align} \right.$
b) $\left\{ \begin{align}
& 6x+\frac{5}{7}<4x+7 \\
& \frac{8x+3}{2}<2x+5 \\
\end{align} \right.$
c) $\left\{ \begin{align}
& 5x-2<4x+5 \\
& {{x}^{2}}<{{\left( x+2 \right)}^{2}} \\
\end{align} \right.$
d) $\left\{ \begin{align}
& x-1\le 2x-3 \\
& 3x<x+5 \\
& \frac{5-3x}{2}\le x-3 \\
\end{align} \right.$
a) Hệ bất phương trình tương đương với: $\left\{ \begin{align}
& 5x-2>4x+5 \\
& 5x-4<x+2 \\
\end{align} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}
& x>7 \\
& x<\frac{3}{2} \\
\end{align} \right.$
Suy ra hệ bất phương trình vô nghiệm.
b) Hệ bất phương trình tương đương với: $\left\{ \begin{align}
& 6x+\frac{5}{7}<4x+7 \\
& \frac{8x+3}{2}<2x+5 \\
\end{align} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}
& x<\frac{22}{7} \\
& x<\frac{7}{4} \\
\end{align} \right.$ $\Leftrightarrow x<\frac{7}{4}.$
Vậy hệ bất phương trình có nghiệm là $x<\frac{7}{4}.$
c) Hệ bất phương trình tương đương với: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{x < 7}\\
{x > – 1}
\end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow – 1 < x < 7.$
Vậy hệ bất phương trình có nghiệm là $-1<x<7.$
d) Hệ bất phương trình tương đương với: $\left\{ \begin{align}
& x\ge 2 \\
& x<\frac{5}{2} \\
& x\ge \frac{11}{5} \\
\end{align} \right.$ $\Leftrightarrow \frac{11}{5}\le x\le \frac{5}{2}.$
Vậy hệ bất phương trình có nghiệm là $\frac{11}{5}\le x\le \frac{5}{2}.$
Ví dụ 6. Tìm $m$ để hệ bất phương trình sau có nghiệm:
a) $\left\{ \begin{align}
& 2x-1\le x+2 \\
& m\left( m+1 \right)x+4m\ge \left( m-2 \right)x+3{{m}^{2}}+6 \\
\end{align} \right.$
b) $\left\{ \begin{matrix}
m\left( mx-1 \right)<2 \\
m\left( mx-2 \right)\ge 2m+1 \\
\end{matrix} \right.$
a) Hệ bất phương trình tương đương với: $\left\{ \begin{matrix}
x\le 3 \\
\left( {{m}^{2}}+2 \right)x\ge 3{{m}^{2}}-4m+6 \\
\end{matrix} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
x\le 3 \\
x\ge \frac{3{{m}^{2}}-4m+6}{{{m}^{2}}+2} \\
\end{matrix} \right.$
Suy ra hệ bất phương trình có nghiệm khi và chỉ khi $\frac{3{{m}^{2}}-4m+6}{{{m}^{2}}+2}\le 3$ $\Leftrightarrow m\ge 0.$
Vậy $m\ge 0$ là giá trị cần tìm.
b) Hệ bất phương trình tương đương với: $\left\{ \begin{matrix}
{{m}^{2}}x<m+2 \\
{{m}^{2}}x\ge 4m+1 \\
\end{matrix} \right.$
+ Với $m=0$ ta có hệ bất phương trình trở thành $\left\{ \begin{matrix}
0x<2 \\
0x\ge 1 \\
\end{matrix} \right.$ suy ra hệ bất phương trình vô nghiệm.
+ Với $m\ne 0$ ta có hệ bất phương trình tương đương với $\left\{ \begin{matrix}
x<\frac{m+2}{{{m}^{2}}} \\
x\ge \frac{4m+1}{{{m}^{2}}} \\
\end{matrix} \right.$
Suy ra hệ bất phương trình có nghiệm khi và chỉ khi $\frac{m+2}{{{m}^{2}}}>\frac{4m+1}{{{m}^{2}}}$ $\Leftrightarrow m<\frac{1}{3}.$
Vậy $m<\frac{1}{3}$ là giá trị cần tìm.
Ví dụ 7. Tìm $m$ để hệ bất phương trình sau vô nghiệm:
a) $\left\{ \begin{align}
& {{\left( x-3 \right)}^{2}}\ge {{x}^{2}}+7x+1 \\
& 2m\le 8+5x \\
\end{align} \right.$
b) $\left\{ \begin{matrix}
mx+1\le x-1 \\
2\left( x-3 \right)<5\left( x-4 \right) \\
\end{matrix} \right.$
a) Hệ bất phương trình tương đương với: $\left\{ \begin{align}
& x\le \frac{8}{13} \\
& x\ge \frac{2m-8}{5} \\
\end{align} \right.$
Suy ra hệ bất phương trình vô nghiệm $\Leftrightarrow \frac{8}{13}<\frac{2m-8}{5}$ $\Leftrightarrow m>\frac{72}{13}.$
Vậy $m>\frac{72}{13}$ là giá trị cần tìm.
b) Hệ bất phương trình tương đương với $\left\{ \begin{matrix}
\left( m-1 \right)x\le -2 \\
x>\frac{14}{3} \\
\end{matrix} \right.$
+ Với $m=1$ hệ bất phương trình trở thành $\left\{ \begin{matrix}
0x\le -2 \\
x>\frac{14}{3} \\
\end{matrix} \right.$ (hệ bất phương trình vô nghiệm).
+ Với $m>1$ hệ bất phương trình $\left\{ \begin{matrix}
x\le \frac{-2}{m-1} \\
x>\frac{14}{3} \\
\end{matrix} \right.$ suy ra hệ bất phương trình vô nghiệm $\Leftrightarrow \frac{-2}{m-1}\le \frac{14}{3}$ $\Leftrightarrow -6\le 14\left( m-1 \right)$ $\Leftrightarrow m\ge \frac{4}{7}.$
Do đó $m>1$ thì hệ bất phương trình vô nghiệm.
+ Với $m<1$ hệ bất phương trình $\left\{ \begin{matrix}
x\ge \frac{-2}{m-1} \\
x>\frac{14}{3} \\
\end{matrix} \right.$ (hệ bất phương trình luôn có nghiệm).
Vậy giá trị cần tìm là $m\ge 1.$
Ví dụ 8. Tìm $m$ để hệ bất phương trình $\left\{ \begin{align}
& 2m\left( x+1 \right)\ge x+3 \\
& 4mx+3\ge 4x \\
\end{align} \right.$ có nghiệm duy nhất.
Hệ bất phương trình tương đương với: $\left\{ \begin{matrix}
\left( 2m-1 \right)x\ge 3-2m \\
\left( 4m-4 \right)x\ge -3 \\
\end{matrix} \right.$
Giả sử hệ bất phương trình có nghiệm duy nhất thì $\frac{3-2m}{2m-1}=\frac{-3}{4m-4}$ $\Leftrightarrow 8{{m}^{2}}-26m+15=0$ $\Leftrightarrow m=\frac{3}{4}$ hoặc $m=\frac{5}{2}.$
+ Với $m=\frac{3}{4}$ hệ phương trình trở thành $\left\{ \begin{matrix}
\left( \frac{3}{2}-1 \right)x\ge 3-\frac{3}{2} \\
-x\ge -3 \\
\end{matrix} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
x\ge 3 \\
x\le 3 \\
\end{matrix} \right.$ $\Leftrightarrow x=3.$
+ Với $m=\frac{5}{2}$ hệ phương trình trở thành $\left\{ \begin{matrix}
4x\ge -2 \\
6x\ge -3 \\
\end{matrix} \right.$ $\Leftrightarrow x\ge -\frac{1}{2}.$
Vậy giá trị cần tìm là $m=\frac{3}{4}.$
