Ví dụ 4. Chứng minh rằng với mọi giá trị của $m$ thì:
a) Phương trình $m{{x}^{2}}-\left( 3m+2 \right)x+1=0$ luôn có nghiệm.
b) Phương trình $\left( {{m}^{2}}+5 \right){{x}^{2}}-\left( \sqrt{3}m-2 \right)x+1=0$ luôn vô nghiệm.
a)
Với $m=0$ phương trình trở thành $-2x+1=0$ $\Leftrightarrow x=\frac{1}{2}$ suy ra phương trình có nghiệm.
Với $m\ne 0$, ta có $\Delta ={{\left( 3m+2 \right)}^{2}}-4m$ $=9{{m}^{2}}+8m+4.$
Vì tam thức $9{{m}^{2}}+8m+4$ có ${{a}_{m}}=9>0$, $\Delta’_{m}=-20<0$ nên $9{{m}^{2}}+8m+4>0$ với mọi $m.$
Do đó phương trình đã cho luôn có nghiệm với mọi $m.$
b) Ta có $\Delta ={{\left( \sqrt{3}m-2 \right)}^{2}}-4\left( {{m}^{2}}+5 \right)$ $=-{{m}^{2}}-4\sqrt{3}m-16.$
Vì tam thức $-{{m}^{2}}-4\sqrt{3}m-8$ có ${{a}_{m}}=-1<0$, $\Delta’_{m}=-4<0$ nên $-{{m}^{2}}-4\sqrt{3}m-8<0$ với mọi $m.$
Do đó phương trình đã cho luôn vô nghiệm với mọi $m.$
Ví dụ 5. Tìm các giá trị của $m$ để biểu thức sau luôn âm:
a) $f\left( x \right)=m{{x}^{2}}-x-1.$
b) $g\left( x \right)=\left( m-4 \right){{x}^{2}}+\left( 2m-8 \right)x+m-5.$
a)
Với $m=0$ thì $f\left( x \right)=-x-1$ lấy cả giá trị dương (chẳng hạn $f\left( -2 \right)=1$) nên $m=0$ không thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Với $m\ne 0$ thì $f\left( x \right)=m{{x}^{2}}-x-1$ là tam thức bậc hai, do đó: $f\left( x \right)<0$, $\forall x$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
a=m<0 \\
\Delta =1+4m<0 \\
\end{matrix} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
m<0 \\
m>-\frac{1}{4} \\
\end{matrix} \right.$ $\Leftrightarrow -\frac{1}{4}<m<0.$
Vậy với $-\frac{1}{4}<m<0$ thì biểu thức $f\left( x \right)$ luôn âm.
b)
Với $m=4$ thì $g\left( x \right)=-1<0$ thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Với $m\ne 4$ thì $g\left( x \right)=\left( m-4 \right){{x}^{2}}+\left( 2m-8 \right)x+m-5$ là tam thức bậc hai, do đó: $g\left( x \right)<0$, $\forall x$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
a=m-4<0 \\
\Delta’={{\left( m-4 \right)}^{2}}-\left( m-4 \right)\left( m-5 \right)<0 \\
\end{matrix} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
m<4 \\
m-4<0 \\
\end{matrix} \right.$ $\Leftrightarrow m<4.$
Vậy với $m\le 4$ thì biểu thức $g\left( x \right)$ luôn âm.
Ví dụ 6. Tìm các giá trị của $m$ để biểu thức sau luôn dương:
a) $h\left( x \right)=\frac{-{{x}^{2}}+4\left( m+1 \right)x+1-4{{m}^{2}}}{-4{{x}^{2}}+5x-2}.$
b) $k\left( x \right)=\sqrt{{{x}^{2}}-x+m}-1.$
a) Tam thức $-4{{x}^{2}}+5x-2$ có $a=-4<0$, $\Delta =-7<0$ suy ra $-4{{x}^{2}}+5x-2<0$, $\forall x.$
Do đó $h\left( x \right)$ luôn dương khi và chỉ khi $-{{x}^{2}}+4\left( m+1 \right)x+1-4{{m}^{2}}$ luôn âm $\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
a=-1<0 \\
\Delta’=4{{\left( m+1 \right)}^{2}}+\left( 1-4{{m}^{2}} \right)<0 \\
\end{matrix} \right.$ $\Leftrightarrow 8m+5<0$ $\Leftrightarrow m<-\frac{5}{8}.$
Vậy với $m<-\frac{5}{8}$ thì biểu thức $h\left( x \right)$ luôn dương.
b) Biểu thức $k\left( x \right)$ luôn dương $\Leftrightarrow \sqrt{{{x}^{2}}-x+m}-1>0$ $\Leftrightarrow \sqrt{{{x}^{2}}-x+m}>1$ $\Leftrightarrow {{x}^{2}}-x+m>0$, $\forall x$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
a=1>0 \\
\Delta =1-4m<0 \\
\end{matrix} \right.$ $\Leftrightarrow m>\frac{1}{4}.$
Vậy với $m>\frac{1}{4}$ thì biểu thức $k\left( x \right)$ luôn dương.
Ví dụ 7. Chứng minh rằng hàm số sau có tập xác định là $\mathbb{R}$ với mọi giá trị của $m.$
a) $y=\frac{mx}{\left( 2{{m}^{2}}+1 \right){{x}^{2}}-4mx+2}.$
b) $y=\sqrt{\frac{2{{x}^{2}}-2\left( m+1 \right)x+{{m}^{2}}+1}{{{m}^{2}}{{x}^{2}}-2mx+{{m}^{2}}+2}}.$
a) Điều kiện xác định: $\left( 2{{m}^{2}}+1 \right){{x}^{2}}-4mx+2\ne 0.$
Xét tam thức bậc hai $f\left( x \right)=\left( 2{{m}^{2}}+1 \right){{x}^{2}}-4mx+2$, ta có: $a=2{{m}^{2}}+1>0$, $\Delta’=4{{m}^{2}}-2\left( 2{{m}^{2}}+1 \right)=-2<0.$
Suy ra với mọi $m$ ta có $f\left( x \right)=\left( 2{{m}^{2}}+1 \right){{x}^{2}}-4mx+2>0$, $\forall x\in \mathbb{R}.$
Do đó với mọi $m$ ta có $\left( 2{{m}^{2}}+1 \right){{x}^{2}}-4mx+2\ne 0$, $\forall x\in \mathbb{R}.$
Vậy tập xác định của hàm số là $D=\mathbb{R}.$
b) Điều kiện xác định: $\frac{2{{x}^{2}}-2\left( m+1 \right)x+{{m}^{2}}+1}{{{m}^{2}}{{x}^{2}}-2mx+{{m}^{2}}+2}\ge 0$ và ${{m}^{2}}{{x}^{2}}-2mx+{{m}^{2}}+2\ne 0.$
Xét tam thức bậc hai $f\left( x \right)=2{{x}^{2}}-2\left( m+1 \right)x+{{m}^{2}}+1$, ta có: ${{a}_{f}}=2>0$, ${{\Delta }_{f}}’={{\left( m+1 \right)}^{2}}-2\left( {{m}^{2}}+1 \right)$ $=-{{m}^{2}}+2m-1$ $=-{{\left( m-1 \right)}^{2}}\le 0.$
Suy ra với mọi $m$ ta có $f\left( x \right)=2{{x}^{2}}-2\left( m+1 \right)x+{{m}^{2}}+1\ge 0$, $\forall x\in \mathbb{R}$ $(1).$
Xét tam thức bậc hai $g\left( x \right)={{m}^{2}}{{x}^{2}}-2mx+{{m}^{2}}+2.$
+ Với $m=0$ ta có $g\left( x \right)=2>0.$
+ Với $m\ne 0$ ta có ${{a}_{g}}={{m}^{2}}>0$, ${{\Delta }_{g}}’={{m}^{2}}-{{m}^{2}}\left( {{m}^{2}}+2 \right)$ $=-{{m}^{2}}\left( {{m}^{2}}+1 \right)<0.$
Suy ra với mọi $m$ ta có $g\left( x \right)={{m}^{2}}{{x}^{2}}-2mx+{{m}^{2}}+2>0$, $\forall x\in \mathbb{R}$ $(2).$
Từ $(1)$ và $(2)$ suy ra với mọi $m$ thì $\frac{2{{x}^{2}}-2\left( m+1 \right)x+{{m}^{2}}+1}{{{m}^{2}}{{x}^{2}}-2mx+{{m}^{2}}+2}\ge 0$ và ${{m}^{2}}{{x}^{2}}-2mx+{{m}^{2}}+2\ne 0$ đúng với mọi giá trị của $x.$
Vậy tập xác định của hàm số là $D=\mathbb{R}.$
a) Phương trình $m{{x}^{2}}-\left( 3m+2 \right)x+1=0$ luôn có nghiệm.
b) Phương trình $\left( {{m}^{2}}+5 \right){{x}^{2}}-\left( \sqrt{3}m-2 \right)x+1=0$ luôn vô nghiệm.
a)
Với $m=0$ phương trình trở thành $-2x+1=0$ $\Leftrightarrow x=\frac{1}{2}$ suy ra phương trình có nghiệm.
Với $m\ne 0$, ta có $\Delta ={{\left( 3m+2 \right)}^{2}}-4m$ $=9{{m}^{2}}+8m+4.$
Vì tam thức $9{{m}^{2}}+8m+4$ có ${{a}_{m}}=9>0$, $\Delta’_{m}=-20<0$ nên $9{{m}^{2}}+8m+4>0$ với mọi $m.$
Do đó phương trình đã cho luôn có nghiệm với mọi $m.$
b) Ta có $\Delta ={{\left( \sqrt{3}m-2 \right)}^{2}}-4\left( {{m}^{2}}+5 \right)$ $=-{{m}^{2}}-4\sqrt{3}m-16.$
Vì tam thức $-{{m}^{2}}-4\sqrt{3}m-8$ có ${{a}_{m}}=-1<0$, $\Delta’_{m}=-4<0$ nên $-{{m}^{2}}-4\sqrt{3}m-8<0$ với mọi $m.$
Do đó phương trình đã cho luôn vô nghiệm với mọi $m.$
Ví dụ 5. Tìm các giá trị của $m$ để biểu thức sau luôn âm:
a) $f\left( x \right)=m{{x}^{2}}-x-1.$
b) $g\left( x \right)=\left( m-4 \right){{x}^{2}}+\left( 2m-8 \right)x+m-5.$
a)
Với $m=0$ thì $f\left( x \right)=-x-1$ lấy cả giá trị dương (chẳng hạn $f\left( -2 \right)=1$) nên $m=0$ không thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Với $m\ne 0$ thì $f\left( x \right)=m{{x}^{2}}-x-1$ là tam thức bậc hai, do đó: $f\left( x \right)<0$, $\forall x$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
a=m<0 \\
\Delta =1+4m<0 \\
\end{matrix} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
m<0 \\
m>-\frac{1}{4} \\
\end{matrix} \right.$ $\Leftrightarrow -\frac{1}{4}<m<0.$
Vậy với $-\frac{1}{4}<m<0$ thì biểu thức $f\left( x \right)$ luôn âm.
b)
Với $m=4$ thì $g\left( x \right)=-1<0$ thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Với $m\ne 4$ thì $g\left( x \right)=\left( m-4 \right){{x}^{2}}+\left( 2m-8 \right)x+m-5$ là tam thức bậc hai, do đó: $g\left( x \right)<0$, $\forall x$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
a=m-4<0 \\
\Delta’={{\left( m-4 \right)}^{2}}-\left( m-4 \right)\left( m-5 \right)<0 \\
\end{matrix} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
m<4 \\
m-4<0 \\
\end{matrix} \right.$ $\Leftrightarrow m<4.$
Vậy với $m\le 4$ thì biểu thức $g\left( x \right)$ luôn âm.
Ví dụ 6. Tìm các giá trị của $m$ để biểu thức sau luôn dương:
a) $h\left( x \right)=\frac{-{{x}^{2}}+4\left( m+1 \right)x+1-4{{m}^{2}}}{-4{{x}^{2}}+5x-2}.$
b) $k\left( x \right)=\sqrt{{{x}^{2}}-x+m}-1.$
a) Tam thức $-4{{x}^{2}}+5x-2$ có $a=-4<0$, $\Delta =-7<0$ suy ra $-4{{x}^{2}}+5x-2<0$, $\forall x.$
Do đó $h\left( x \right)$ luôn dương khi và chỉ khi $-{{x}^{2}}+4\left( m+1 \right)x+1-4{{m}^{2}}$ luôn âm $\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
a=-1<0 \\
\Delta’=4{{\left( m+1 \right)}^{2}}+\left( 1-4{{m}^{2}} \right)<0 \\
\end{matrix} \right.$ $\Leftrightarrow 8m+5<0$ $\Leftrightarrow m<-\frac{5}{8}.$
Vậy với $m<-\frac{5}{8}$ thì biểu thức $h\left( x \right)$ luôn dương.
b) Biểu thức $k\left( x \right)$ luôn dương $\Leftrightarrow \sqrt{{{x}^{2}}-x+m}-1>0$ $\Leftrightarrow \sqrt{{{x}^{2}}-x+m}>1$ $\Leftrightarrow {{x}^{2}}-x+m>0$, $\forall x$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
a=1>0 \\
\Delta =1-4m<0 \\
\end{matrix} \right.$ $\Leftrightarrow m>\frac{1}{4}.$
Vậy với $m>\frac{1}{4}$ thì biểu thức $k\left( x \right)$ luôn dương.
Ví dụ 7. Chứng minh rằng hàm số sau có tập xác định là $\mathbb{R}$ với mọi giá trị của $m.$
a) $y=\frac{mx}{\left( 2{{m}^{2}}+1 \right){{x}^{2}}-4mx+2}.$
b) $y=\sqrt{\frac{2{{x}^{2}}-2\left( m+1 \right)x+{{m}^{2}}+1}{{{m}^{2}}{{x}^{2}}-2mx+{{m}^{2}}+2}}.$
a) Điều kiện xác định: $\left( 2{{m}^{2}}+1 \right){{x}^{2}}-4mx+2\ne 0.$
Xét tam thức bậc hai $f\left( x \right)=\left( 2{{m}^{2}}+1 \right){{x}^{2}}-4mx+2$, ta có: $a=2{{m}^{2}}+1>0$, $\Delta’=4{{m}^{2}}-2\left( 2{{m}^{2}}+1 \right)=-2<0.$
Suy ra với mọi $m$ ta có $f\left( x \right)=\left( 2{{m}^{2}}+1 \right){{x}^{2}}-4mx+2>0$, $\forall x\in \mathbb{R}.$
Do đó với mọi $m$ ta có $\left( 2{{m}^{2}}+1 \right){{x}^{2}}-4mx+2\ne 0$, $\forall x\in \mathbb{R}.$
Vậy tập xác định của hàm số là $D=\mathbb{R}.$
b) Điều kiện xác định: $\frac{2{{x}^{2}}-2\left( m+1 \right)x+{{m}^{2}}+1}{{{m}^{2}}{{x}^{2}}-2mx+{{m}^{2}}+2}\ge 0$ và ${{m}^{2}}{{x}^{2}}-2mx+{{m}^{2}}+2\ne 0.$
Xét tam thức bậc hai $f\left( x \right)=2{{x}^{2}}-2\left( m+1 \right)x+{{m}^{2}}+1$, ta có: ${{a}_{f}}=2>0$, ${{\Delta }_{f}}’={{\left( m+1 \right)}^{2}}-2\left( {{m}^{2}}+1 \right)$ $=-{{m}^{2}}+2m-1$ $=-{{\left( m-1 \right)}^{2}}\le 0.$
Suy ra với mọi $m$ ta có $f\left( x \right)=2{{x}^{2}}-2\left( m+1 \right)x+{{m}^{2}}+1\ge 0$, $\forall x\in \mathbb{R}$ $(1).$
Xét tam thức bậc hai $g\left( x \right)={{m}^{2}}{{x}^{2}}-2mx+{{m}^{2}}+2.$
+ Với $m=0$ ta có $g\left( x \right)=2>0.$
+ Với $m\ne 0$ ta có ${{a}_{g}}={{m}^{2}}>0$, ${{\Delta }_{g}}’={{m}^{2}}-{{m}^{2}}\left( {{m}^{2}}+2 \right)$ $=-{{m}^{2}}\left( {{m}^{2}}+1 \right)<0.$
Suy ra với mọi $m$ ta có $g\left( x \right)={{m}^{2}}{{x}^{2}}-2mx+{{m}^{2}}+2>0$, $\forall x\in \mathbb{R}$ $(2).$
Từ $(1)$ và $(2)$ suy ra với mọi $m$ thì $\frac{2{{x}^{2}}-2\left( m+1 \right)x+{{m}^{2}}+1}{{{m}^{2}}{{x}^{2}}-2mx+{{m}^{2}}+2}\ge 0$ và ${{m}^{2}}{{x}^{2}}-2mx+{{m}^{2}}+2\ne 0$ đúng với mọi giá trị của $x.$
Vậy tập xác định của hàm số là $D=\mathbb{R}.$
