Ví dụ 1. Giải và biện luận bất phương trình sau:
a) $mx+6 < 2x+3m.$
b) $\left( x+m \right)m+x>3x+4.$
c) $\left( {{m}^{2}}+9 \right)x+3\ge m\left( 1-6x \right).$
d) $m\left( {{m}^{2}}x+2 \right)<x+{{m}^{2}}+1.$
a) Bất phương trình tương đương với $\left( m-2 \right)x<3m-6.$
Với $m=2$ bất phương trình trở thành $0x\le 0$, suy ra bất phương trình nghiệm đúng với mọi $x$.
Với $m>2$ bất phương trình tương đương với $x<\frac{3m-6}{m-2}=3.$
Với $m<2$ bất phương trình tương đương với $x>\frac{3m-6}{m-2}=3.$
Kết luận:
$m=2$ bất phương trình nghiệm đúng với mọi $x$ (có tập nghiệm là $S=\mathbb{R}$).
$m>2$ bất phương trình có nghiệm là $x<3$ (có tập nghiệm là $S=\left( -\infty ;3 \right)$).
$m<2$ bất phương trình có nghiệm là $x>3$ (có tập nghiệm là $S=\left( 3;+\infty \right)$).
b) Bất phương trình tương đương với $\left( m-2 \right)x>4-{{m}^{2}}.$
Với $m=2$ bất phương trình trở thành $0x>0$, suy ra bất phương trình vô nghiệm.
Với $m>2$ bất phương trình tương đương với $x>\frac{4-{{m}^{2}}}{m-2}=-m-2.$
Với $m<2$ bất phương trình tương đương với $x<\frac{4-{{m}^{2}}}{m-2}=-m-2.$
Kết luận:
$m=2$ bất phương trình vô nghiệm.
$m>2$ bất phương trình có nghiệm là $x>-m-2.$
$m<2$ bất phương trình có nghiệm là $x<-m-2.$
c) Bất phương trình tương đương với ${{\left( m+3 \right)}^{2}}x\ge m-3.$
Với $m=-3$ bất phương trình trở thành $0x\ge -6$, suy ra bất phương trình nghiệm đúng với mọi $x.$
Với $m\ne -3$ bất phương trình tương đương với $x\ge \frac{m-3}{{{\left( m+3 \right)}^{2}}}.$
Kết luận:
$m=-3$ bất phương trình nghiệm đúng với mọi $x.$
$m\ne -3$ bất phương trình có nghiệm là $x\ge \frac{m-3}{{{\left( m+3 \right)}^{2}}}.$
d) Bất phương trình tương đương với $\Leftrightarrow \left( {{m}^{3}}-1 \right)x<{{m}^{2}}-2m+1$ $\Leftrightarrow \left( m-1 \right)x<\frac{{{\left( m-1 \right)}^{2}}}{{{m}^{2}}+m+1}$ (vì ${{m}^{2}}+m+1={{\left( m+\frac{1}{2} \right)}^{2}}+\frac{3}{4}>0$).
Với $m=1$ bất phương trình trở thành $0x<0$, suy ra bất phương trình vô nghiệm.
Với $m>1$ bất phương trình tương đương với $x<\frac{m-1}{{{m}^{2}}+m+1}.$
Với $m<1$ bất phương trình tương đương với $x>\frac{m-1}{{{m}^{2}}+m+1}.$
Kết luận:
$m=1$ bất phương trình vô nghiệm.
$m>1$ bất phương trình có nghiệm là $x<\frac{m-1}{{{m}^{2}}+m+1}.$
$m<1$ bất phương trình có nghiệm là $x>\frac{m-1}{{{m}^{2}}+m+1}.$
Ví dụ 2. Tìm $m$ để bất phương trình $\left( {{m}^{2}}-m \right)x+m<6x-2$ vô nghiệm.
Bất phương trình tương đương với $\left( {{m}^{2}}-m-6 \right)x<-2-m.$
Rõ ràng nếu ${{m}^{2}}-m-6\ne 0$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
m\ne -2 \\
m\ne 3 \\
\end{matrix} \right.$ bất phương trình luôn có nghiệm.
Với $m=-2$ bất phương trình trở thành $0x<0$, suy ra bất phương trình vô nghiệm.
Với $m=3$ bất phương trình trở thành $0x<-5$, suy ra bất phương trình vô nghiệm.
Vậy giá trị cần tìm là $m=-2$ và $m=3.$
Ví dụ 3. Tìm $m$ để bất phương trình $4{{m}^{2}}\left( 2x-1 \right)$ $\ge \left( 4{{m}^{2}}+5m+9 \right)x-12m$ có nghiệm đúng $\forall x\in \mathbb{R}.$
Bất phương trình tương đương với $\left( 4{{m}^{2}}-5m-9 \right)x\ge 4{{m}^{2}}-12m.$
Dễ dàng thấy nếu $4{{m}^{2}}-5m-9\ne 0$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
m\ne -1 \\
m\ne \frac{9}{4} \\
\end{matrix} \right.$ thì bất phương trình không thể có nghiệm đúng $\forall x\in \mathbb{R}.$
Với $m=-1$ bất phương trình trở thành $0x\ge 16$, suy ra bất phương trình vô nghiệm.
Với $m=\frac{9}{4}$ bất phương trình trở thành $0x\ge -\frac{27}{4}$, suy ra bất phương trình nghiệm đúng với mọi $x.$
Vậy giá trị cần tìm là $m=\frac{9}{4}.$
Ví dụ 4. Tìm $m$ để bất phương trình $\left( 4{{m}^{2}}+7m+1 \right)x-5m$ $\ge 3x-m-1$ có tập nghiệm là $[-1;+\infty ).$
Bất phương trình tương đương với $\left( 4{{m}^{2}}+7m-2 \right)x\ge 4m-1$ $\Leftrightarrow \left( m+2 \right)\left( 4m-1 \right)x\ge 4m-1.$
+ Với $\left( m+2 \right)\left( 4m-1 \right)=0$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}
m=-2 \\
m=\frac{1}{2} \\
\end{matrix} \right.$ thì bất phương trình vô nghiệm hoặc nghiệm đúng với mọi $x$ do đó không thỏa mãn yêu cầu bài toán.
+ Với $m>\frac{1}{4}$ $\Rightarrow \left( m+2 \right)\left( 4m-1 \right)>0$ bất phương trình tương đương với $x\ge \frac{1}{m+2}.$
Do đó để bất phương trình có tập nghiệm là $[-1;+\infty )$ thì $\frac{1}{m+2}=-1$ $\Leftrightarrow m=-3$ (không thỏa mãn).
+ Với $-2<m<\frac{1}{4}$ $\Rightarrow \left( m+2 \right)\left( 4m-1 \right)<0$ bất phương trình tương đương với $x\le \frac{1}{m+2}$ suy ra $-2<m<\frac{1}{4}$ không thỏa mãn yêu cầu bài toán.
+ Với $m<-2$ $\Rightarrow \left( m+2 \right)\left( 4m-1 \right)>0$ bất phương trình tương đương với $x\ge \frac{1}{m+2}.$
Do đó để bất phương trình có tập nghiệm là $[-1;+\infty )$ thì $\frac{1}{m+2}=-1$ $\Leftrightarrow m=-3$ (thỏa mãn).
Vậy $m=-3$ là giá trị cần tìm.
a) $mx+6 < 2x+3m.$
b) $\left( x+m \right)m+x>3x+4.$
c) $\left( {{m}^{2}}+9 \right)x+3\ge m\left( 1-6x \right).$
d) $m\left( {{m}^{2}}x+2 \right)<x+{{m}^{2}}+1.$
a) Bất phương trình tương đương với $\left( m-2 \right)x<3m-6.$
Với $m=2$ bất phương trình trở thành $0x\le 0$, suy ra bất phương trình nghiệm đúng với mọi $x$.
Với $m>2$ bất phương trình tương đương với $x<\frac{3m-6}{m-2}=3.$
Với $m<2$ bất phương trình tương đương với $x>\frac{3m-6}{m-2}=3.$
Kết luận:
$m=2$ bất phương trình nghiệm đúng với mọi $x$ (có tập nghiệm là $S=\mathbb{R}$).
$m>2$ bất phương trình có nghiệm là $x<3$ (có tập nghiệm là $S=\left( -\infty ;3 \right)$).
$m<2$ bất phương trình có nghiệm là $x>3$ (có tập nghiệm là $S=\left( 3;+\infty \right)$).
b) Bất phương trình tương đương với $\left( m-2 \right)x>4-{{m}^{2}}.$
Với $m=2$ bất phương trình trở thành $0x>0$, suy ra bất phương trình vô nghiệm.
Với $m>2$ bất phương trình tương đương với $x>\frac{4-{{m}^{2}}}{m-2}=-m-2.$
Với $m<2$ bất phương trình tương đương với $x<\frac{4-{{m}^{2}}}{m-2}=-m-2.$
Kết luận:
$m=2$ bất phương trình vô nghiệm.
$m>2$ bất phương trình có nghiệm là $x>-m-2.$
$m<2$ bất phương trình có nghiệm là $x<-m-2.$
c) Bất phương trình tương đương với ${{\left( m+3 \right)}^{2}}x\ge m-3.$
Với $m=-3$ bất phương trình trở thành $0x\ge -6$, suy ra bất phương trình nghiệm đúng với mọi $x.$
Với $m\ne -3$ bất phương trình tương đương với $x\ge \frac{m-3}{{{\left( m+3 \right)}^{2}}}.$
Kết luận:
$m=-3$ bất phương trình nghiệm đúng với mọi $x.$
$m\ne -3$ bất phương trình có nghiệm là $x\ge \frac{m-3}{{{\left( m+3 \right)}^{2}}}.$
d) Bất phương trình tương đương với $\Leftrightarrow \left( {{m}^{3}}-1 \right)x<{{m}^{2}}-2m+1$ $\Leftrightarrow \left( m-1 \right)x<\frac{{{\left( m-1 \right)}^{2}}}{{{m}^{2}}+m+1}$ (vì ${{m}^{2}}+m+1={{\left( m+\frac{1}{2} \right)}^{2}}+\frac{3}{4}>0$).
Với $m=1$ bất phương trình trở thành $0x<0$, suy ra bất phương trình vô nghiệm.
Với $m>1$ bất phương trình tương đương với $x<\frac{m-1}{{{m}^{2}}+m+1}.$
Với $m<1$ bất phương trình tương đương với $x>\frac{m-1}{{{m}^{2}}+m+1}.$
Kết luận:
$m=1$ bất phương trình vô nghiệm.
$m>1$ bất phương trình có nghiệm là $x<\frac{m-1}{{{m}^{2}}+m+1}.$
$m<1$ bất phương trình có nghiệm là $x>\frac{m-1}{{{m}^{2}}+m+1}.$
Ví dụ 2. Tìm $m$ để bất phương trình $\left( {{m}^{2}}-m \right)x+m<6x-2$ vô nghiệm.
Bất phương trình tương đương với $\left( {{m}^{2}}-m-6 \right)x<-2-m.$
Rõ ràng nếu ${{m}^{2}}-m-6\ne 0$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
m\ne -2 \\
m\ne 3 \\
\end{matrix} \right.$ bất phương trình luôn có nghiệm.
Với $m=-2$ bất phương trình trở thành $0x<0$, suy ra bất phương trình vô nghiệm.
Với $m=3$ bất phương trình trở thành $0x<-5$, suy ra bất phương trình vô nghiệm.
Vậy giá trị cần tìm là $m=-2$ và $m=3.$
Ví dụ 3. Tìm $m$ để bất phương trình $4{{m}^{2}}\left( 2x-1 \right)$ $\ge \left( 4{{m}^{2}}+5m+9 \right)x-12m$ có nghiệm đúng $\forall x\in \mathbb{R}.$
Bất phương trình tương đương với $\left( 4{{m}^{2}}-5m-9 \right)x\ge 4{{m}^{2}}-12m.$
Dễ dàng thấy nếu $4{{m}^{2}}-5m-9\ne 0$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
m\ne -1 \\
m\ne \frac{9}{4} \\
\end{matrix} \right.$ thì bất phương trình không thể có nghiệm đúng $\forall x\in \mathbb{R}.$
Với $m=-1$ bất phương trình trở thành $0x\ge 16$, suy ra bất phương trình vô nghiệm.
Với $m=\frac{9}{4}$ bất phương trình trở thành $0x\ge -\frac{27}{4}$, suy ra bất phương trình nghiệm đúng với mọi $x.$
Vậy giá trị cần tìm là $m=\frac{9}{4}.$
Ví dụ 4. Tìm $m$ để bất phương trình $\left( 4{{m}^{2}}+7m+1 \right)x-5m$ $\ge 3x-m-1$ có tập nghiệm là $[-1;+\infty ).$
Bất phương trình tương đương với $\left( 4{{m}^{2}}+7m-2 \right)x\ge 4m-1$ $\Leftrightarrow \left( m+2 \right)\left( 4m-1 \right)x\ge 4m-1.$
+ Với $\left( m+2 \right)\left( 4m-1 \right)=0$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}
m=-2 \\
m=\frac{1}{2} \\
\end{matrix} \right.$ thì bất phương trình vô nghiệm hoặc nghiệm đúng với mọi $x$ do đó không thỏa mãn yêu cầu bài toán.
+ Với $m>\frac{1}{4}$ $\Rightarrow \left( m+2 \right)\left( 4m-1 \right)>0$ bất phương trình tương đương với $x\ge \frac{1}{m+2}.$
Do đó để bất phương trình có tập nghiệm là $[-1;+\infty )$ thì $\frac{1}{m+2}=-1$ $\Leftrightarrow m=-3$ (không thỏa mãn).
+ Với $-2<m<\frac{1}{4}$ $\Rightarrow \left( m+2 \right)\left( 4m-1 \right)<0$ bất phương trình tương đương với $x\le \frac{1}{m+2}$ suy ra $-2<m<\frac{1}{4}$ không thỏa mãn yêu cầu bài toán.
+ Với $m<-2$ $\Rightarrow \left( m+2 \right)\left( 4m-1 \right)>0$ bất phương trình tương đương với $x\ge \frac{1}{m+2}.$
Do đó để bất phương trình có tập nghiệm là $[-1;+\infty )$ thì $\frac{1}{m+2}=-1$ $\Leftrightarrow m=-3$ (thỏa mãn).
Vậy $m=-3$ là giá trị cần tìm.
