Dạng 7: (Phương pháp đổi biến): Tìm nguyên hàm của hàm số: $I = \int R \left( {x,\sqrt {{a^2} – {x^2}} } \right)dx$ với $a > 0.$
Ta thực hiện theo các bước sau:
Bước 1: Đặt $\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = |a|\sin t\:{\rm{với}}\: – \frac{\pi }{2} \le t \le \frac{\pi }{2}}\\
{x = |a|\cos t\:{\rm{với}}\:0 \le t \le \pi }
\end{array}} \right.$ (hoặc có thể $t = x + \sqrt {{a^2} – {x^2}} $).
Bước 2: Bài toán được chuyển về $I = \int S (\sin t,\cos t)dt.$
Ví dụ: Tìm nguyên hàm của hàm số $f(x) = \frac{{{x^3}}}{{\sqrt {1 – {x^2}} }}.$
Ta có thể trình bày theo hai cách sau:
Cách 1: Đặt $x = \sin t$, $ – \frac{\pi }{2} < t < \frac{\pi }{2}$, suy ra: $dx = \cos tdt$ và $\frac{{{x^3}dx}}{{\sqrt {1 – {x^2}} }}$ $ = \frac{{{{\sin }^3}t\cos tdt}}{{\cos t}}$ $ = {\sin ^3}tdt$ $ = \frac{1}{4}(3\sin t – \sin 3t)dt.$
Khi đó: $\int f (x)dx$ $ = \frac{1}{4}\int {(3\sin t – \sin 3t)} dt$ $ = – \frac{3}{4}\cos t + \frac{1}{{12}}\cos 3t + C$ $ = – \frac{3}{4}\cos t + \frac{1}{{12}}\left( {4{{\cos }^3}t – 3\cos t} \right) + C$ $ = \frac{1}{3}{\cos ^3}t – \cos t + C$ $ = \left( {\frac{1}{3}{{\cos }^2}t – 1} \right)\cos t + C$ $ = \left[ {\frac{1}{3}\left( {1 – {{\sin }^2}t} \right) – 1} \right]\cos t + C$ $ = \left[ {\frac{1}{3}\left( {1 – {x^2}} \right) – 1} \right]\sqrt {1 – {x^2}} + C$ $ = – \frac{1}{3}\left( {{x^2} + 2} \right)\sqrt {1 – {x^2}} + C.$
Chú ý: Trong các giải trên ta có: $ – \frac{\pi }{2} < t < \frac{\pi }{2}$ $ \Rightarrow \cos t > 0$ $ \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{\sqrt {{{\cos }^2}t} = \cos t}\\
{\cos t = \sqrt {1 – {{\sin }^2}t} = \sqrt {1 – {x^2}} }
\end{array}} \right.$
Cách 2: Đặt $t = \sqrt {1 – {x^2}} $, suy ra: ${x^2} = 1 – {t^2}$, từ đó: $2xdx = – 2tdt$ và $\frac{{{x^3}dx}}{{\sqrt {1 – {x^2}} }}$ $ = \frac{{{x^2}xdx}}{{\sqrt {1 – {x^2}} }}$ $ = \frac{{\left( {1 – {t^2}} \right)( – tdt)}}{t}$ $ = \left( {{t^2} – 1} \right)dt.$
Khi đó: $\int f (x)dx$ $ = \int {\left( {{t^2} – 1} \right)} dt$ $ = \frac{1}{3}{t^3} – t + C$ $ = \frac{1}{3}\left( {{t^2} – 3} \right)t + C$ $ = – \frac{1}{3}\left( {{x^2} + 2} \right)\sqrt {1 – {x^2}} + C.$
Ta thực hiện theo các bước sau:
Bước 1: Đặt $\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = |a|\sin t\:{\rm{với}}\: – \frac{\pi }{2} \le t \le \frac{\pi }{2}}\\
{x = |a|\cos t\:{\rm{với}}\:0 \le t \le \pi }
\end{array}} \right.$ (hoặc có thể $t = x + \sqrt {{a^2} – {x^2}} $).
Bước 2: Bài toán được chuyển về $I = \int S (\sin t,\cos t)dt.$
Ví dụ: Tìm nguyên hàm của hàm số $f(x) = \frac{{{x^3}}}{{\sqrt {1 – {x^2}} }}.$
Ta có thể trình bày theo hai cách sau:
Cách 1: Đặt $x = \sin t$, $ – \frac{\pi }{2} < t < \frac{\pi }{2}$, suy ra: $dx = \cos tdt$ và $\frac{{{x^3}dx}}{{\sqrt {1 – {x^2}} }}$ $ = \frac{{{{\sin }^3}t\cos tdt}}{{\cos t}}$ $ = {\sin ^3}tdt$ $ = \frac{1}{4}(3\sin t – \sin 3t)dt.$
Khi đó: $\int f (x)dx$ $ = \frac{1}{4}\int {(3\sin t – \sin 3t)} dt$ $ = – \frac{3}{4}\cos t + \frac{1}{{12}}\cos 3t + C$ $ = – \frac{3}{4}\cos t + \frac{1}{{12}}\left( {4{{\cos }^3}t – 3\cos t} \right) + C$ $ = \frac{1}{3}{\cos ^3}t – \cos t + C$ $ = \left( {\frac{1}{3}{{\cos }^2}t – 1} \right)\cos t + C$ $ = \left[ {\frac{1}{3}\left( {1 – {{\sin }^2}t} \right) – 1} \right]\cos t + C$ $ = \left[ {\frac{1}{3}\left( {1 – {x^2}} \right) – 1} \right]\sqrt {1 – {x^2}} + C$ $ = – \frac{1}{3}\left( {{x^2} + 2} \right)\sqrt {1 – {x^2}} + C.$
Chú ý: Trong các giải trên ta có: $ – \frac{\pi }{2} < t < \frac{\pi }{2}$ $ \Rightarrow \cos t > 0$ $ \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{\sqrt {{{\cos }^2}t} = \cos t}\\
{\cos t = \sqrt {1 – {{\sin }^2}t} = \sqrt {1 – {x^2}} }
\end{array}} \right.$
Cách 2: Đặt $t = \sqrt {1 – {x^2}} $, suy ra: ${x^2} = 1 – {t^2}$, từ đó: $2xdx = – 2tdt$ và $\frac{{{x^3}dx}}{{\sqrt {1 – {x^2}} }}$ $ = \frac{{{x^2}xdx}}{{\sqrt {1 – {x^2}} }}$ $ = \frac{{\left( {1 – {t^2}} \right)( – tdt)}}{t}$ $ = \left( {{t^2} – 1} \right)dt.$
Khi đó: $\int f (x)dx$ $ = \int {\left( {{t^2} – 1} \right)} dt$ $ = \frac{1}{3}{t^3} – t + C$ $ = \frac{1}{3}\left( {{t^2} – 3} \right)t + C$ $ = – \frac{1}{3}\left( {{x^2} + 2} \right)\sqrt {1 – {x^2}} + C.$
