Dạng 6: (Phương pháp đổi biến) Tìm nguyên hàm của hàm số: $f(x) = \frac{1}{{\sqrt {(x + a)(x + b)} }}.$
Ta xét hai trường hợp:
Trường hợp 1: Với: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x + a > 0}\\
{x + b > 0}
\end{array}} \right.$
Đặt $t = \sqrt {x + a} + \sqrt {x + b} $, suy ra: $dt = \left( {\frac{1}{{2\sqrt {x + a} }} + \frac{1}{{2\sqrt {x + b} }}} \right)dx$ $ = \frac{{(\sqrt {x + a} + \sqrt {x + b} )dx}}{{2\sqrt {(x + a)(x + b)} }}.$
$ \Leftrightarrow \frac{{dx}}{{\sqrt {(x + a)(x + b)} }} = \frac{{2dt}}{t}.$
Khi đó: $\int f (x)dx$ $ = 2\int {\frac{{dt}}{t}} $ $ = 2\ln |t| + C$ $ = 2\ln |\sqrt {x + a} + \sqrt {x + b} | + C.$
Trường hợp 2: Với: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x + a < 0}\\
{x + b < 0}
\end{array}} \right.$
Đặt $t = \sqrt { – (x + a)} + \sqrt { – (x + b)} $, suy ra: $dt = \left[ { – \frac{1}{{2\sqrt { – (x + a)} }} – \frac{1}{{2\sqrt { – (x + b)} }}} \right]dx$ $ = – \frac{{[\sqrt { – (x + a)} + \sqrt { – (x + b)} ]dx}}{{2\sqrt {(x + a)(x + b)} }}.$
$ \Leftrightarrow \frac{{dx}}{{\sqrt {(x + a)(x + b)} }} = – \frac{{2dt}}{t}.$
Khi đó: $\int f (x)dx$ $ = – 2\int {\frac{{dt}}{t}} $ $ = – 2\ln |t| + C$ $ = – 2\ln |\sqrt { – (x + a)} + \sqrt { – (x + b)} | + C.$
Ví dụ: Tìm nguyên hàm của hàm số $f(x) = \frac{1}{{\sqrt {{x^2} – 5x + 6} }}.$
Biến đổi $I$ về dạng: $\int f (x)dx$ $ = \int {\frac{{dx}}{{\sqrt {(x – 2)(x – 3)} }}} .$
Ta xét hai trường hợp:
Trường hợp 1: Với: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x – 2 > 0}\\
{x – 3 > 0}
\end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow x > 3.$
Đặt $t = \sqrt {x – 2} + \sqrt {x – 3} $, suy ra: $dt = \left( {\frac{1}{{2\sqrt {x – 2} }} + \frac{1}{{2\sqrt {x – 3} }}} \right)dx$ $ = \frac{{(\sqrt {x – 2} + \sqrt {x – 3} )dx}}{{2\sqrt {(x – 2)(x – 3)} }}.$
$ \Leftrightarrow \frac{{dx}}{{\sqrt {(x – 2)(x – 3)} }} = \frac{{2dt}}{t}.$
Khi đó: $\int f (x)dx$ $ = 2\int {\frac{{dt}}{t}} $ $ = 2\ln |t| + C$ $ = 2\ln |\sqrt {x – 2} + \sqrt {x – 3} | + C.$
Trường hợp 2: Với $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x – 2 < 0}\\
{x – 3 < 0}
\end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow x < 2.$
Đặt $t = \sqrt {2 – x} + \sqrt {3 – x} $, suy ra: $dt = \left[ { – \frac{1}{{2\sqrt {2 – x} }} – \frac{1}{{2\sqrt {3 – x} }}} \right]dx$ $ = – \frac{{[\sqrt {2 – x} + \sqrt {3 – x} ]dx}}{{2\sqrt {(x – 2)(x – 3)} }}.$
$ \Leftrightarrow \frac{{dx}}{{\sqrt {(x – 2)(x – 3)} }} = – \frac{{2dt}}{t}.$
Khi đó: $\int f (x)dx$ $ = – 2\int {\frac{{dt}}{t}} $ $ = – 2\ln |t| + C$ $ = – 2\ln |\sqrt {2 – x} + \sqrt {3 – x} | + C.$
Ta xét hai trường hợp:
Trường hợp 1: Với: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x + a > 0}\\
{x + b > 0}
\end{array}} \right.$
Đặt $t = \sqrt {x + a} + \sqrt {x + b} $, suy ra: $dt = \left( {\frac{1}{{2\sqrt {x + a} }} + \frac{1}{{2\sqrt {x + b} }}} \right)dx$ $ = \frac{{(\sqrt {x + a} + \sqrt {x + b} )dx}}{{2\sqrt {(x + a)(x + b)} }}.$
$ \Leftrightarrow \frac{{dx}}{{\sqrt {(x + a)(x + b)} }} = \frac{{2dt}}{t}.$
Khi đó: $\int f (x)dx$ $ = 2\int {\frac{{dt}}{t}} $ $ = 2\ln |t| + C$ $ = 2\ln |\sqrt {x + a} + \sqrt {x + b} | + C.$
Trường hợp 2: Với: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x + a < 0}\\
{x + b < 0}
\end{array}} \right.$
Đặt $t = \sqrt { – (x + a)} + \sqrt { – (x + b)} $, suy ra: $dt = \left[ { – \frac{1}{{2\sqrt { – (x + a)} }} – \frac{1}{{2\sqrt { – (x + b)} }}} \right]dx$ $ = – \frac{{[\sqrt { – (x + a)} + \sqrt { – (x + b)} ]dx}}{{2\sqrt {(x + a)(x + b)} }}.$
$ \Leftrightarrow \frac{{dx}}{{\sqrt {(x + a)(x + b)} }} = – \frac{{2dt}}{t}.$
Khi đó: $\int f (x)dx$ $ = – 2\int {\frac{{dt}}{t}} $ $ = – 2\ln |t| + C$ $ = – 2\ln |\sqrt { – (x + a)} + \sqrt { – (x + b)} | + C.$
Ví dụ: Tìm nguyên hàm của hàm số $f(x) = \frac{1}{{\sqrt {{x^2} – 5x + 6} }}.$
Biến đổi $I$ về dạng: $\int f (x)dx$ $ = \int {\frac{{dx}}{{\sqrt {(x – 2)(x – 3)} }}} .$
Ta xét hai trường hợp:
Trường hợp 1: Với: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x – 2 > 0}\\
{x – 3 > 0}
\end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow x > 3.$
Đặt $t = \sqrt {x – 2} + \sqrt {x – 3} $, suy ra: $dt = \left( {\frac{1}{{2\sqrt {x – 2} }} + \frac{1}{{2\sqrt {x – 3} }}} \right)dx$ $ = \frac{{(\sqrt {x – 2} + \sqrt {x – 3} )dx}}{{2\sqrt {(x – 2)(x – 3)} }}.$
$ \Leftrightarrow \frac{{dx}}{{\sqrt {(x – 2)(x – 3)} }} = \frac{{2dt}}{t}.$
Khi đó: $\int f (x)dx$ $ = 2\int {\frac{{dt}}{t}} $ $ = 2\ln |t| + C$ $ = 2\ln |\sqrt {x – 2} + \sqrt {x – 3} | + C.$
Trường hợp 2: Với $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x – 2 < 0}\\
{x – 3 < 0}
\end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow x < 2.$
Đặt $t = \sqrt {2 – x} + \sqrt {3 – x} $, suy ra: $dt = \left[ { – \frac{1}{{2\sqrt {2 – x} }} – \frac{1}{{2\sqrt {3 – x} }}} \right]dx$ $ = – \frac{{[\sqrt {2 – x} + \sqrt {3 – x} ]dx}}{{2\sqrt {(x – 2)(x – 3)} }}.$
$ \Leftrightarrow \frac{{dx}}{{\sqrt {(x – 2)(x – 3)} }} = – \frac{{2dt}}{t}.$
Khi đó: $\int f (x)dx$ $ = – 2\int {\frac{{dt}}{t}} $ $ = – 2\ln |t| + C$ $ = – 2\ln |\sqrt {2 – x} + \sqrt {3 – x} | + C.$
