Cho hình chóp tam giác $S.ABC$, $M, N, K$ lần lượt là các điểm nằm trên các cạnh $SA, SB, SC$.
Khi đó ta có: $\frac{{{V_{S.MNK}}}}{{{V_{S.ABC}}}} = \frac{{SM}}{{SA}}.\frac{{SN}}{{SB}}.\frac{{SK}}{{SC}}.$
Ví dụ 9: Cho hình chóp $S.ABC$ có tam giác $ABC$ vuông cân ở $B$, $AC = a\sqrt 2 $, $SA$ vuông góc với đáy $ABC$, $SA = a.$
1. Tính thể tích của khối chóp $S.ABC.$
2. Gọi $G$ là trọng tâm tam giác $SBC$, mặt phẳng $(α)$ qua $AG$ và song song với $BC$ cắt $SC, SB$ lần lượt tại $M, N$. Tính thể tích của khối chóp $S.AMN.$
1. Ta có: $ΔABC$ vuông cân tại $B$ có $AC = a\sqrt 2 $, suy ra $AB = BC = a.$
${V_{S.ABC}} = \frac{1}{3}{S_{ABC}}.SA$ $ = \frac{1}{3}.\frac{1}{2}AB.BC.SA = \frac{{{a^3}}}{6}.$
2. Gọi $I$ là trung điểm $BC.$
Vì $G$ là trọng tâm tam giác $ΔSBC$ nên ta có: $\frac{{SG}}{{SI}} = \frac{2}{3}.$
Vì $(α) // BC$ nên $MN // BC$, do đó: $\frac{{SM}}{{SB}} = \frac{{SN}}{{SC}} = \frac{{SG}}{{SI}} = \frac{2}{3}.$
$ \Rightarrow \frac{{{V_{S.AMN}}}}{{{V_{S.ABC}}}} = \frac{{SA}}{{SA}}.\frac{{SM}}{{SB}}.\frac{{SN}}{{SC}} = \frac{4}{9}.$
Vậy ${V_{S.AMN}} = \frac{4}{9}.{V_{S.ABC}} = \frac{{2{a^3}}}{{27}}.$
Ví dụ 10: Cho khối chóp tứ giác đều $S.ABCD$ có thể tích là $V_{0}$. Một mặt phẳng $(α)$ qua $A, B$ và trung điểm $M$ của $SC$ cắt $SD$ tại $N$. Tính thể tích khối chóp $S.ABMN$.
Dễ thấy $N$ là trung điểm của $SD.$
Ta có: $\frac{{{V_{S.ANB}}}}{{{V_{S.ADB}}}} = \frac{{SA}}{{SA}}.\frac{{SN}}{{SD}}.\frac{{SB}}{{SB}} = \frac{1}{2}$ $ \Rightarrow {V_{S.ANB}} = \frac{1}{2}.{V_{S.ADB}} = \frac{1}{4}.{V_{S.ABCD}}.$ $= \frac{1}{4}.{V_{0}}.$
Tương tự: ${V_{S.BMN}} = \frac{1}{4}.{V_{S.BCD}} = \frac{1}{8}.{V_0}.$
Do đó: ${V_{S.ABMN}} = {V_{S.ANB}} + {V_{S.BMN}} = \frac{3}{8}.{V_0}.$
