Hình chóp tam giác đều
Hình chóp tứ giác đều
Ta có:
• $SO = h $ là chiều cao của hình chóp.
• $\widehat {SAO}$ là góc giữa cạnh bên và đáy.
• $E$ là trung điểm của $BC$, $\widehat {SEO}$ là góc giữa mặt bên và đáy.
• $\widehat {SBC}$ là góc ở đáy của một mặt bên.
• $\widehat {OSE}$ là góc giữa $SO$ và mặt bên.
• Dựng $OH$ vuông góc với $SE$ tại $H$ thì $OH$ là khoảng cách từ $O$ đến mặt phẳng $\left( {SBC} \right).$
Ví dụ 7: Cho tứ diện đều $SABC$ có cạnh bằng $a$, đường cao $SH.$
1. Chứng minh $SA$ vuông góc với $BC.$
2. Tính thể tích của khối chóp $SABC.$
3. Gọi $O$ là trung điểm của đoạn $SH.$ Chứng minh rằng $OA, OB, OC$ đôi một vuông góc với nhau.
1. Gọi $M$ là trung điểm của cạnh $BC$, vì các tam giác $ABC, SBC$ là các tam giác đều nên $\left\{ \begin{array}{l}
AM \bot BC\\
SM \bot BC
\end{array} \right.$ $ \Rightarrow BC \bot \left( {SAM} \right) \Rightarrow BC \bot SA.$
2. Theo tính chất của hình chóp đều ta có $H$ là trọng tâm của tam giác $ABC$ $ \Rightarrow H \in AM$; $AH = \frac{2}{3}AM = \frac{2}{3}.\frac{{a\sqrt 3 }}{2} = \frac{{a\sqrt 3 }}{3}$; $SH \bot \left( {ABC} \right) \Rightarrow SH \bot AH.$
Trong tam giác vuông $SHA$ (vuông tại $H$): $S{H^2} = S{A^2} – A{H^2}$ $ = {a^2} – \frac{{3{a^2}}}{9} = \frac{{6{a^2}}}{9}$ $ \Rightarrow SH = \frac{{a\sqrt 6 }}{3}.$
Thể tích của khối chóp $SABC$: $V = \frac{1}{3}{S_{ABC}}.SH$ $ = \frac{1}{3}\frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}.\frac{{a\sqrt 6 }}{3} = \frac{{{a^3}\sqrt 2 }}{{12}}.$
3. $O$ thuộc trục $SH$ của tam giác $ABC$ nên $OA = OB = OC.$
Trong tam giác vuông $OHA$: $O{A^2} = A{H^2} + O{H^2}$ $ = {\left( {\frac{{a\sqrt 3 }}{3}} \right)^2} + {\left( {\frac{{a\sqrt 6 }}{6}} \right)^2} = \frac{{{a^2}}}{2}.$
Trong tam giác cân $OAB$: $O{A^2} + O{B^2} = \frac{{{a^2}}}{2} + \frac{{{a^2}}}{2}$ $ = {a^2} = A{B^2}.$
$ \Rightarrow \Delta OAB$ vuông tại $O$, tức là $OA \bot OB.$
Chứng minh tương tự ta có $OA, OB, OC$ đôi một vuông góc.
Ví dụ 8: Cho hình chóp tứ giác đều $S.ABCD$ có khoảng cách từ tâm $O$ của đáy đến mặt bên là $a$, góc giữa đường cao và mặt bên là ${30^0}.$ Tính thể tích của khối chóp $S.ABCD.$
Gọi $I$ là trung điểm của cạnh $BC$, ta có $BC \bot \left( {SOI} \right)$ (do $BC \bot OI, BC \bot SO$), suy ra $\left( {SBC} \right) \bot \left( {SOI} \right).$
Dựng $OH \bot SI \left( {S \in I} \right)$ thì $OH \bot \left( {SBC} \right)$ và hình chiếu vuông góc của đường thẳng $SO$ lên mặt phẳng $\left( {SBC} \right)$ là đường thẳng $SI$, do đó $OH = d\left( {O,\left( {SBC} \right)} \right) = a$ và $\left( {SO,\left( {SBC} \right)} \right) = \widehat {OSI} = {30^0}$ (theo giả thiết).
Trong tam giác vuông $SOE$: $SO = \frac{{OH}}{{{\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{in3}}{0^0}}} = 2a$, $OI = SO\tan {30^0} = \frac{{2a\sqrt 3 }}{3}.$
Suy ra $AB = 2OI = \frac{{4a\sqrt 3 }}{3}.$
Thể tích của khối chóp $S.ABCD$: $V = \frac{1}{3}{S_{ABCD}}.SO = \frac{1}{3}A{B^2}.SO$ $ = \frac{1}{3}{\left( {\frac{{4a\sqrt 3 }}{3}} \right)^2}.2a = \frac{{32{a^3}}}{9}.$
