Dạng 3: Bài toán cực trị trên đường thẳng nối giữa hai nguồn sóng

[Doremon]

1. Phương pháp

• Giả sử hai nguồn ${S_1}$ và ${S_2}$ dao động lần lượt có phương trình: ${u_1} = a\cos \left( {\omega t + {\varphi _1}} \right)$ và ${u_2} = a\cos \left( {\omega t + {\varphi _2}} \right)$

• Tại điểm M cách ${S_1}$ là ${d_1}$ và cách ${S_2}$ là ${d_2}$ dao động có phương trình: ${u_M} = 2a\cos \left( {\pi \frac{{{d_1} - {d_2}}}{\lambda } + \frac{{{\varphi _2} - {\varphi _1}}}{2}} \right).c{\rm{os}}\left( {\omega t + \frac{{{\varphi _2} - {\varphi _1}}}{2} - \pi \frac{{{d_1} + {d_2}}}{\lambda }} \right)$
• Biên độ dao động tổng hợp là $A = \left| {2a\cos \left( {\pi \frac{{{d_1} - {d_2}}}{\lambda } + \frac{{{\varphi _2} - {\varphi _1}}}{2}} \right)} \right|$

a) Khoảng cách từ M đến nguồn ${S_1}$ ( hoặc ${S_2}$) và số điểm dao động với biên độ cực đại trên đoạn ${S_1}{S_2}$

• Tại M dao động với biên độ cực đại khi $A = 2a \leftrightarrow \left| {\cos \left( {\pi \frac{{{d_1} - {d_2}}}{\lambda } + \frac{{{\varphi _2} - {\varphi _1}}}{2}} \right)} \right| = 1 \to {d_1} - {d_2} = \left( { - \frac{{{\varphi _2} - {\varphi _1}}}{2} + k\pi } \right)\frac{\lambda }{\pi }\,\,\,\,\,\left( 1 \right)$
• Mặt khác, vì M Î${S_1}{S_2}$ nên ${d_1} + {d_2} = {S_1}{S_2}\left( 2 \right)$
• Lấy (1) + (2): ${d_1} = \frac{{{S_1}{S_2}}}{2} + \left( { - \frac{{{\varphi _2} - {\varphi _1}}}{2} + k\pi } \right)\frac{\lambda }{{2\pi }}\,\,\,\,\,\left( 3 \right)$
  
• Do M thuộc đường thẳng nối hai nguồn nên:
  $\begin{array}{l}
  0 \le {d_1} \le {S_1}{S_2} \to 0 \le \frac{{{S_1}{S_2}}}{2} + \left( { - \frac{{{\varphi _2} - {\varphi _1}}}{2} + k\pi } \right)\frac{\lambda }{{2\pi }}\, \le \,\,{S_1}{S_2}\\
  \to - \frac{{{S_1}{S_2}}}{\lambda } + \frac{{{\varphi _2} - {\varphi _1}}}{{2\pi }} \le k \le \frac{{{S_1}{S_2}}}{\lambda } + \frac{{{\varphi _2} - {\varphi _1}}}{{2\pi }}\,\,
  \end{array}$
• Tại điểm M dao động với biên độ cực đại $ - \frac{{{S_1}{S_2}}}{\lambda } + \frac{{{\varphi _2} - {\varphi _1}}}{{2\pi }} \le k \le \frac{{{S_1}{S_2}}}{\lambda } + \frac{{{\varphi _2} - {\varphi _1}}}{{2\pi }}\,\,\,\left( {với = 0, \pm 1, \pm 2,...} \right)$

b) Khoảng cách từ M đến nguồn ${S_1}$ ( hoặc ${S_2}$) và số điểm dao động với biên độ cực tiểu trên đoạn ${S_1}{S_2}$

• Tại M dao động với biên độ cực tiểu khi $A = 0 \leftrightarrow \left| {\cos \left( {\pi \frac{{{d_1} - {d_2}}}{\lambda } + \frac{{{\varphi _2} - {\varphi _1}}}{2}} \right)} \right| = 0 \to {d_1} - {d_2} = \left( { - \frac{{{\varphi _2} - {\varphi _1}}}{2} + \left( {2k + 1} \right)\frac{\pi }{2}} \right)\frac{\lambda }{\pi }\,\,\,\,\,\left( 4 \right)$
  
• Mặt khác, vì $M \in {S_1}{S_2}$ nên ${d_1} + {d_2} = {S_1}{S_2}$ (5)
• Lấy (1) + (2): ${d_1} = \frac{{{S_1}{S_2}}}{2} + \left( { - \frac{{{\varphi _2} - {\varphi _1}}}{2} + \left( {2k + 1} \right)\frac{\pi }{2}} \right)\frac{\lambda }{{2\pi }}\,\,\,\,\,\left( 6 \right)$ $\begin{array}{l}0 \le {d_1} \le {S_1}{S_2} \to 0 \le \frac{{{S_1}{S_2}}}{2} + \left( { - \frac{{{\varphi _2} - {\varphi _1}}}{2} + \left( {2k + 1} \right)\frac{\pi }{2}} \right)\frac{\lambda }{{2\pi }}\, \le \,\,{S_1}{S_2}\\ \to - \frac{{{S_1}{S_2}}}{\lambda } + \frac{{{\varphi _2} - {\varphi _1}}}{{2\pi }} - \frac{1}{2} \le k \le \frac{{{S_1}{S_2}}}{\lambda } + \frac{{{\varphi _2} - {\varphi _1}}}{{2\pi }} - \frac{1}{2}\end{array}$
• Tại điểm M dao động với biên độ cực tiểu $ - \frac{{{S_1}{S_2}}}{\lambda } + \frac{{{\varphi _2} - {\varphi _1}}}{{2\pi }} - \frac{1}{2} \le k \le \frac{{{S_1}{S_2}}}{\lambda } + \frac{{{\varphi _2} - {\varphi _1}}}{{2\pi }} - \frac{1}{2}\,\,\,\left( {với k = 0, \pm 1, \pm 2,...} \right)$

c) Kết luận: $\left[ \begin{array}{l}
{A_{m{\rm{ax}}}}:\left\{ \begin{array}{l}
{d_1} - {d_2} = \left( { - \frac{{{\varphi _2} - {\varphi _1}}}{2} + k\pi } \right)\frac{\lambda }{\pi }\\
- \frac{{{S_1}{S_2}}}{\lambda } + \frac{{{\varphi _2} - {\varphi _1}}}{{2\pi }} \le k \le \frac{{{S_1}{S_2}}}{\lambda } + \frac{{{\varphi _2} - {\varphi _1}}}{{2\pi }}\,\,\,\,\\
{d_1} = \frac{{{S_1}{S_2}}}{2} + \left( { - \frac{{{\varphi _2} - {\varphi _1}}}{2} + k\pi } \right)\frac{\lambda }{{2\pi }}\,\,\,
\end{array} \right.\left( {với k = 0, \pm 1, \pm 2,...} \right)\\
{A_{\min }}:\left\{ \begin{array}{l}
{d_1} - {d_2} = \left( { - \frac{{{\varphi _2} - {\varphi _1}}}{2} + \left( {2k + 1} \right)\frac{\pi }{2}} \right)\frac{\lambda }{\pi }\\
- \frac{{{S_1}{S_2}}}{\lambda } + \frac{{{\varphi _2} - {\varphi _1}}}{{2\pi }} - \frac{1}{2} \le k \le \frac{{{S_1}{S_2}}}{\lambda } + \frac{{{\varphi _2} - {\varphi _1}}}{{2\pi }} - \frac{1}{2}\,\,\,\\
{d_1} = \frac{{{S_1}{S_2}}}{2} + \left( { - \frac{{{\varphi _2} - {\varphi _1}}}{2} + \left( {2k + 1} \right)\frac{\pi }{2}} \right)\frac{\lambda }{{2\pi }}\,\,\,\,
\end{array} \right.\left( {v\^o \`u i\,k = 0, \pm 1, \pm 2,...} \right)
\end{array} \right.$

Hệ quả:

• Hai nguồn cùng pha: $\left[ \begin{array}{l}
  {A_{m{\rm{ax}}}}:\left\{ \begin{array}{l}
  - \frac{{{S_1}{S_2}}}{\lambda } \le k \le \frac{{{S_1}{S_2}}}{\lambda }\,\,\,\\
  {d_1} = \frac{{{S_1}{S_2}}}{2} + \frac{{k\lambda }}{2}
  \end{array} \right.\left( {với k = 0, \pm 1, \pm 2,...} \right)\\
  {A_{\min }}:\left\{ \begin{array}{l}
  - \frac{{{S_1}{S_2}}}{\lambda } - \frac{1}{2} \le k \le \frac{{{S_1}{S_2}}}{\lambda } - \frac{1}{2}\,\,\,\\
  {d_1} = \frac{{{S_1}{S_2}}}{2} + \left( {2k + 1} \right)\frac{\lambda }{4}\,\,\,\,
  \end{array} \right.\left( {v\^o \`u i\,k = 0, \pm 1, \pm 2,...} \right)
  \end{array} \right.$
  
  
• Hai nguồn dao động ngược pha: $\left[ \begin{array}{l}
  {A_{\min }}:\left\{ \begin{array}{l}
  - \frac{{{S_1}{S_2}}}{\lambda } \le k \le \frac{{{S_1}{S_2}}}{\lambda }\,\,\,\\
  {d_1} = \frac{{{S_1}{S_2}}}{2} + \frac{{k\lambda }}{2}
  \end{array} \right.\left( {với k = 0, \pm 1, \pm 2,...} \right)\\
  {A_{m{\rm{ax}}}}:\left\{ \begin{array}{l}
  - \frac{{{S_1}{S_2}}}{\lambda } - \frac{1}{2} \le k \le \frac{{{S_1}{S_2}}}{\lambda } - \frac{1}{2}\,\,\,\\
  {d_1} = \frac{{{S_1}{S_2}}}{2} + \left( {2k + 1} \right)\frac{\lambda }{4}\,\,\,\,
  \end{array} \right.\left( {với k = 0, \pm 1, \pm 2,...} \right)
  \end{array} \right.$

2. Vận dụng
Ví dụ 1:
Tại hai nguồn ${S_1}$ và ${S_2}$ trên mặt chất lỏng cách nhau 8cm có hai nguồn kết hợp cùng phương trình dao động là ${u_1}$ = ${u_2}$ = acos(20πt)cm. Tốc độ truyền sóng trên mặt chất lỏng là 30cm/s. Số điểm dao động cực đại trên của nối hai nguồn ${S_1}$ và ${S_2}$ là
A. 5
B. 4
C. 6
D. 7

Lời giải​

• Vì hai nguồn ${S_1}$ và ${S_2}$ dao động giống hệt nhau nên số điểm dao động cực đại là $ - \frac{{{S_1}{S_2}}}{\lambda } \le k \le \frac{{{S_1}{S_2}}}{\lambda }$
• Với $T = \frac{{2\pi }}{\omega } = \frac{{2\pi }}{{20\pi }} = 0,1s$và bước sóng $\lambda = v.T = 30.0,1 = 3cm \to - \frac{8}{3} \le k \le \frac{8}{3} \to k = 0, \pm 1, \pm 2$
• Vậy có 5 điểm dao động với biên độ cực đại

Chọn A

Ví dụ 2:
Ở bề mặt một chất lỏng có hai nguồn phát sóng kết hợp ${S_1}$ và ${S_2}$ cách nhau 20cm. Hai nguồn này dao động theo phương thẳng đứng có phương trình lần lượt là ${u_1}$ = 5cos40πt (mm) và ${u_1}$ = 5cos(40πt + π) (mm). Tốc độ truyền sóng trên mặt chất lỏng là 80 cm/s. Số điểm dao động với biên độ cực đại trên đoạn thẳng ${S_1}{S_2}$ là
A. 11
B. 9
C. 10
D. 8

Lời giải​

Theo đề: $\Delta \varphi = {\varphi _2} - {\varphi _1} = \pi $ suy ra hai nguồn dao động ngược pha.
Áp dụng công thức: $\frac{{ - {S_1}{S_2}}}{\lambda } \le k \le \frac{{{S_1}{S_2}}}{\lambda } \to \frac{{ - {S_1}{S_2}}}{{\frac{{2\pi }}{\omega }.v}} \le k \le \frac{{{S_1}{S_2}}}{{\frac{{2\pi }}{\omega }.v}} \to - 5,5 \le k \le 4,5$
Chọn C

Ví dụ 3:
Hai nguồn phát sóng điểm O1O2 cách nhau 12cm dao động cùng biên độ là 5mm, cùng tần số 5Hz nhưng ngược pha, tạo ra một hệ vân giao thoa trên mặt nước. Tốc độ truyền sóng trên mặt nước là 0,8m/s. Số các điểm có biên độ 5mm trên đường nối hai nguồn là
A. 10
B. 6
C. 12
D. 5

Lời giải​

• Bước sóng: $\lambda = \frac{v}{f} = \frac{{80}}{{20}} = 4cm$
  
• Mặt khác: ${{\rm{O}}_{\rm{1}}}{{\rm{O}}_{\rm{2}}} = 12cm = 6.2 = 6.\frac{\lambda }{2}$
  
• Như vậy đoạn MN có khoảng cách đúng bằng 6 khoảng cách giữa hai điểm cực tiểu liên tiếp. Trong mỗi khoảng cách chứa hai điểm dao động với biên độ $0 < A < {A_{\max }}.$ Suy ra số điểm dao động với biên độ $0 < 5 < {A_{\max }}.$ trong đoạn MN là 12.

Chọn C