Ta có thể lựa chọn một trong hai cách sau:
Cách 1: Vì điều kiện: $\frac{{x – a}}{{x + a}} \ge 0$ $ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x \ge a}\\
{x < – a}
\end{array}} \right.$ nên ta xét hai trường hợp:
Trường hợp 1: Với $x \ge a$ thì:
$\int f (x)dx$ $ = \int {\sqrt {\frac{{x – a}}{{x + a}}} } dx$ $ = \int {\frac{{(x – a)dx}}{{\sqrt {{x^2} – {a^2}} }}} $ $ = \int {\frac{{2xdx}}{{2\sqrt {{x^2} – {a^2}} }}} – a\int {\frac{{dx}}{{\sqrt {{x^2} – {a^2}} }}} $ $ = \sqrt {{x^2} – {a^2}} $ $ – \ln \left| {x + \sqrt {{x^2} – {a^2}} } \right| + C.$
Trường hợp 2: Với $x < – a$ thì:
$\int f (x)dx$ $ = \int {\sqrt {\frac{{x – a}}{{x + a}}} } dx$ $ = – \int {\frac{{(x – a)dx}}{{\sqrt {{x^2} – {a^2}} }}} $ $ = – \int {\frac{{2xdx}}{{2\sqrt {{x^2} – {a^2}} }}} $ $ + a\int {\frac{{dx}}{{\sqrt {{x^2} – {a^2}} }}} $ $ = – \sqrt {{x^2} – {a^2}} $ $ + \ln \left| {x + \sqrt {{x^2} – {a^2}} } \right| + C.$
Cách 2: Đặt: $t = \sqrt {\frac{{x – a}}{{x + a}}} $ $ \Rightarrow {t^2} = \frac{{x – a}}{{x + a}}$ $ \Rightarrow x = \frac{{a\left( {1 + {t^2}} \right)}}{{1 – {t^2}}}$ $ \Rightarrow dx = \frac{{4atdt}}{{{{\left( {1 – {t^2}} \right)}^2}}}.$
Khi đó: $\int f (x)dx$ $ = \int {\sqrt {\frac{{x – a}}{{x + a}}} } dx$ $ = \int {\frac{{4a{t^2}dt}}{{{{\left( {1 – {t^2}} \right)}^2}}}} $ $ = 4a\int {\frac{{\left[ {\left( {{t^2} – 1} \right) + 1} \right]dt}}{{{{\left( {{t^2} – 1} \right)}^2}}}} $ $ = 4a\left[ {\underbrace {\int {\frac{{dt}}{{{t^2} – 1}}} }_{{I_1}} + \underbrace {\int {\frac{{dt}}{{{{\left( {{t^2} – 1} \right)}^2}}}} }_{{1_2}}} \right].$
Các nguyên hàm $I_1$ và $I_2$ chúng ta đã biết cách giải.
Ví dụ: Tìm nguyên hàm của hàm số $f(x) = \sqrt {\frac{{x – 1}}{{x + 1}}} .$
Vì điều kiện $\frac{{x – 1}}{{x + 1}} \ge 0$ $ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x \ge 1}\\
{x < – 1}
\end{array}} \right.$, ta xét hai trường hợp:
Trường hợp 1: Với $x \ge 1$ thì:
$\int f (x)dx$ $ = \int {\sqrt {\frac{{x – 1}}{{x + 1}}} } dx$ $ = \int {\frac{{(x – 1)dx}}{{\sqrt {{x^2} – 1} }}} $ $ = \int {\frac{{2xdx}}{{2\sqrt {{x^2} – 1} }}} – \int {\frac{{dx}}{{\sqrt {{x^2} – 1} }}} $ $ = \sqrt {{x^2} – 1} $ $ – \ln \left| {x + \sqrt {{x^2} – 1} } \right| + C.$
Trường hợp 2: Với $x < – 1$ thì:
$\int f (x)dx$ $ = \int {\sqrt {\frac{{x – 1}}{{x + 1}}} } dx$ $ = – \int {\frac{{(x – 1)dx}}{{\sqrt {{x^2} – 1} }}} $ $ = – \int {\frac{{2xdx}}{{2\sqrt {{x^2} – 1} }}} + \int {\frac{{dx}}{{\sqrt {{x^2} – 1} }}} $ $ = – \sqrt {{x^2} – 1} $ $ + \ln \left| {x + \sqrt {{x^2} – 1} } \right| + C.$
Cách 1: Vì điều kiện: $\frac{{x – a}}{{x + a}} \ge 0$ $ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x \ge a}\\
{x < – a}
\end{array}} \right.$ nên ta xét hai trường hợp:
Trường hợp 1: Với $x \ge a$ thì:
$\int f (x)dx$ $ = \int {\sqrt {\frac{{x – a}}{{x + a}}} } dx$ $ = \int {\frac{{(x – a)dx}}{{\sqrt {{x^2} – {a^2}} }}} $ $ = \int {\frac{{2xdx}}{{2\sqrt {{x^2} – {a^2}} }}} – a\int {\frac{{dx}}{{\sqrt {{x^2} – {a^2}} }}} $ $ = \sqrt {{x^2} – {a^2}} $ $ – \ln \left| {x + \sqrt {{x^2} – {a^2}} } \right| + C.$
Trường hợp 2: Với $x < – a$ thì:
$\int f (x)dx$ $ = \int {\sqrt {\frac{{x – a}}{{x + a}}} } dx$ $ = – \int {\frac{{(x – a)dx}}{{\sqrt {{x^2} – {a^2}} }}} $ $ = – \int {\frac{{2xdx}}{{2\sqrt {{x^2} – {a^2}} }}} $ $ + a\int {\frac{{dx}}{{\sqrt {{x^2} – {a^2}} }}} $ $ = – \sqrt {{x^2} – {a^2}} $ $ + \ln \left| {x + \sqrt {{x^2} – {a^2}} } \right| + C.$
Cách 2: Đặt: $t = \sqrt {\frac{{x – a}}{{x + a}}} $ $ \Rightarrow {t^2} = \frac{{x – a}}{{x + a}}$ $ \Rightarrow x = \frac{{a\left( {1 + {t^2}} \right)}}{{1 – {t^2}}}$ $ \Rightarrow dx = \frac{{4atdt}}{{{{\left( {1 – {t^2}} \right)}^2}}}.$
Khi đó: $\int f (x)dx$ $ = \int {\sqrt {\frac{{x – a}}{{x + a}}} } dx$ $ = \int {\frac{{4a{t^2}dt}}{{{{\left( {1 – {t^2}} \right)}^2}}}} $ $ = 4a\int {\frac{{\left[ {\left( {{t^2} – 1} \right) + 1} \right]dt}}{{{{\left( {{t^2} – 1} \right)}^2}}}} $ $ = 4a\left[ {\underbrace {\int {\frac{{dt}}{{{t^2} – 1}}} }_{{I_1}} + \underbrace {\int {\frac{{dt}}{{{{\left( {{t^2} – 1} \right)}^2}}}} }_{{1_2}}} \right].$
Các nguyên hàm $I_1$ và $I_2$ chúng ta đã biết cách giải.
Ví dụ: Tìm nguyên hàm của hàm số $f(x) = \sqrt {\frac{{x – 1}}{{x + 1}}} .$
Vì điều kiện $\frac{{x – 1}}{{x + 1}} \ge 0$ $ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x \ge 1}\\
{x < – 1}
\end{array}} \right.$, ta xét hai trường hợp:
Trường hợp 1: Với $x \ge 1$ thì:
$\int f (x)dx$ $ = \int {\sqrt {\frac{{x – 1}}{{x + 1}}} } dx$ $ = \int {\frac{{(x – 1)dx}}{{\sqrt {{x^2} – 1} }}} $ $ = \int {\frac{{2xdx}}{{2\sqrt {{x^2} – 1} }}} – \int {\frac{{dx}}{{\sqrt {{x^2} – 1} }}} $ $ = \sqrt {{x^2} – 1} $ $ – \ln \left| {x + \sqrt {{x^2} – 1} } \right| + C.$
Trường hợp 2: Với $x < – 1$ thì:
$\int f (x)dx$ $ = \int {\sqrt {\frac{{x – 1}}{{x + 1}}} } dx$ $ = – \int {\frac{{(x – 1)dx}}{{\sqrt {{x^2} – 1} }}} $ $ = – \int {\frac{{2xdx}}{{2\sqrt {{x^2} – 1} }}} + \int {\frac{{dx}}{{\sqrt {{x^2} – 1} }}} $ $ = – \sqrt {{x^2} – 1} $ $ + \ln \left| {x + \sqrt {{x^2} – 1} } \right| + C.$
