Ví dụ 4: Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông có cạnh $a.$ Mặt bên $SAB$ là tam giác đều nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy $(ABCD).$
1. Chứng minh rằng chân đường cao khối chóp trùng với trung điểm cạnh $AB.$
2. Tính thể tích khối chóp $S.ABCD.$
1. Gọi $H$ là trung điểm của $AB.$
$\Delta SAB$ đều $ \Rightarrow SH \bot AB.$
Mà $(SAB) \bot (ABCD) \Rightarrow SH \bot (ABCD).$
Do đó $H$ là chân đường cao của khối chóp.
2. Ta có tam giác $SAB$ đều nên $SH = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}.$
Suy ra $V = \frac{1}{3}{S_{ABCD}}.SH = \frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{6}.$
Ví dụ 5: Cho tứ diện $ABCD$ có $ABC$ là tam giác đều, $BCD$ là tam giác vuông cân tại $D$, $(ABC) ⊥ (BCD)$ và $AD$ hợp với $(BCD)$ một góc $60°$. Tính thể tích tứ diện $ABCD.$
Gọi $H$ là trung điểm của $BC.$
Ta có tam giác $ABC$ đều nên $AH \bot BC.$
Mà $(ABC) ⊥ (BCD)$ nên $AH \bot (BCD).$
Ta có $ΔAHD$ vuông tại $H$ nên $AH = AD.tan{60^o} = a\sqrt 3 $ và $HD = AD.cot{60^o} = \frac{{a\sqrt 3 }}{3}.$
$\Delta BCD$ vuông tại $D$ nên $BC = 2HD = \frac{{2a\sqrt 3 }}{3}.$
Vậy $V = \frac{1}{3}{S_{BCD}}.AH$ $ = \frac{1}{3}.\frac{1}{2}BC.HD.AH = \frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{9}.$
Ví dụ 6: Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình chữ nhật, tam giác $SAB$ là tam giác đều cạnh $a$ và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Mặt phẳng $(SAC)$ và $(SCD)$ tạo với đáy lần lượt các góc ${60^0}$ và ${30^0}.$ Tính thể tích khối chóp $S.ABCD.$
Gọi $H$ là trung điểm của $AB$ $\Rightarrow SH \bot AB.$
Mà $(SAB) \bot (ABCD)$ $ \Rightarrow SH \bot (ABCD)$ $ \Rightarrow {V_{S.ABCD}} = \frac{1}{3}SH.{S_{ABCD}}.$
Vẽ $HK \bot AC$ $ \Rightarrow AC \bot (SHK)$ $ \Rightarrow \widehat {SKH}$ là góc giữa hai mặt phẳng $(SAC)$ và mặt đáy nên $\widehat {SKH} = {60^0}.$
Vẽ $HE \bot CD$ $ \Rightarrow CD \bot (SHE)$ $ \Rightarrow \widehat {SEH}$ là góc giữa hai mặt phẳng $\left( {SCD} \right)$ và mặt đáy nên $\widehat {SEH} = {30^0}.$
Đặt $AB = x$, trong tam giác $SHE$ ta có: $SH = HE.\tan {30^0} = \frac{{x\sqrt 3 }}{3}$ $(1).$
Ta có $\Delta AKH \sim \Delta ABC$ $ \Rightarrow \frac{{KH}}{{BC}} = \frac{{AH}}{{AC}}$ $ \Rightarrow KH = \frac{{ax}}{{2\sqrt {{a^2} + {x^2}} }}.$
Trong tam giác $SHK$ ta có: $SH = HK\tan {60^0}$ $ = \frac{{ax\sqrt 3 }}{{2\sqrt {{a^2} + {x^2}} }}$ $(2).$
Từ $(1)$ và $(2)$, suy ra: $\frac{{x\sqrt 3 }}{3} = \frac{{ax\sqrt 3 }}{{2\sqrt {{a^2} + {x^2}} }}$ $ \Leftrightarrow \sqrt {{x^2} + {a^2}} = \frac{{3a}}{2}$ $ \Rightarrow x = \frac{{a\sqrt 5 }}{2}.$
Vậy thể tích khối chóp $S.ABCD$ là: $V = \frac{1}{3}SH.AB.AD$ $ = \frac{1}{3}.\frac{{x\sqrt 3 }}{3}.a.x = \frac{{5{a^3}\sqrt 3 }}{{36}}.$
