Dạng 10: (Phương pháp đổi biến) Tìm nguyên hàm của hàm số: $I = \int R \left( {x,\sqrt {(x – a)(b – x)} } \right)dx.$
Ta thực hiện theo các bước sau:
Bước 1: Đặt $x = a + (b – a){\sin ^2}t.$
Bước 2: Bài toán được chuyển về $I = \int S (\sin t,\cos t)dt.$
Ví dụ: Tìm nguyên hàm của hàm số: $f(x) = \frac{1}{{\sqrt {{{[(x – a)(b – x)]}^3}} }}$ với $a < b.$
Đặt $x = a + (b – a){\sin ^2}t$, với $0 \le t \le \frac{\pi }{2}$ suy ra: $dx = 2(b – a) \sin t \cos tdt$ $ = (b – a)\sin 2tdt$, $\frac{{dx}}{{\sqrt {{{[(x – a)(b – x)]}^3}} }}$ $ = \frac{{(b – a)\sin 2tdt}}{{\sqrt {{{\left[ {(b – a){{\sin }^2}t(b – a){{\cos }^2}t} \right]}^3}} }}$ $ = \frac{{(b – a)\sin 2tdt}}{{{{(b – a)}^3}{{\sin }^3}2t}}$ $ = \frac{1}{{{{(b – a)}^2}}} \cdot \frac{{dt}}{{{{\sin }^2}2t}}.$
Khi đó: $\int f (x)dx$ $ = \frac{1}{{{{(b – a)}^2}}}\int {\frac{{dt}}{{{{\sin }^2}2t}}} $ $ = – \frac{{\cot 2t}}{{2{{(b – a)}^2}}} + C$ $ = – \frac{{a + b – 2x}}{{2\sqrt {(x – a)(b – x)} }} + C.$
Ta thực hiện theo các bước sau:
Bước 1: Đặt $x = a + (b – a){\sin ^2}t.$
Bước 2: Bài toán được chuyển về $I = \int S (\sin t,\cos t)dt.$
Ví dụ: Tìm nguyên hàm của hàm số: $f(x) = \frac{1}{{\sqrt {{{[(x – a)(b – x)]}^3}} }}$ với $a < b.$
Đặt $x = a + (b – a){\sin ^2}t$, với $0 \le t \le \frac{\pi }{2}$ suy ra: $dx = 2(b – a) \sin t \cos tdt$ $ = (b – a)\sin 2tdt$, $\frac{{dx}}{{\sqrt {{{[(x – a)(b – x)]}^3}} }}$ $ = \frac{{(b – a)\sin 2tdt}}{{\sqrt {{{\left[ {(b – a){{\sin }^2}t(b – a){{\cos }^2}t} \right]}^3}} }}$ $ = \frac{{(b – a)\sin 2tdt}}{{{{(b – a)}^3}{{\sin }^3}2t}}$ $ = \frac{1}{{{{(b – a)}^2}}} \cdot \frac{{dt}}{{{{\sin }^2}2t}}.$
Khi đó: $\int f (x)dx$ $ = \frac{1}{{{{(b – a)}^2}}}\int {\frac{{dt}}{{{{\sin }^2}2t}}} $ $ = – \frac{{\cot 2t}}{{2{{(b – a)}^2}}} + C$ $ = – \frac{{a + b – 2x}}{{2\sqrt {(x – a)(b – x)} }} + C.$
