Chuyên đề logarit

[Tăng Giáp]

I. KHÁI NIỆM LOGARIT
1. Định nghĩa
Cho a, b > 0, a ≠ 1 thì ${\log _a}b = \alpha \Leftrightarrow {a^\alpha } = b$
Chú ý: không có logarit của số âm và số 0.

VD1: Tính:
a) ${\log _2}8$
b) ${\log _{\frac{1}{3}}}9$
c) ${\log _{\frac{1}{2}}}4$
d) ${\log _3}\frac{1}{{27}}$

Lời giải​

a) ${\log _2}8$ = 3 vì ${2^3} = 8$
b) ${\log _{\frac{1}{3}}}9$ = –2 vì ${\left( {\frac{1}{3}} \right)^{ - 2}} = 9$
c) ${\log _{\frac{1}{2}}}4$ = –2 vì ${\left( {\frac{1}{2}} \right)^{ - 2}} = 4$
d) ${\log _3}\frac{1}{{27}}$ = –3 vì ${3^{ - 3}} = \frac{1}{{27}}$

2. Tính chất
Cho a, b > 0, a ≠ 1.
$\begin{array}{l}
{\log _a}1 = 0; & \\
{\log _a}a = 1\\
{a^{{{\log }_a}b}} = b; & \\
{\log _a}({a^\alpha }) = \alpha
\end{array}$

VD2: Tính:
a) ${3^{2{{\log }_3}5}}$
b) ${\log _{\frac{1}{2}}}8$
c) ${4^{{{\log }_2}\frac{1}{7}}}$
d) ${\left( {\frac{1}{{25}}} \right)^{{{\log }_5}\frac{1}{3}}}$

Lời giải​

a) ${3^{2{{\log }_3}5}} = {\left( {{3^{{{\log }_3}5}}} \right)^2} = {5^2}$
b) ${\log _{\frac{1}{2}}}8 = {\log _{\frac{1}{2}}}{\left( {\frac{1}{2}} \right)^{ - 3}} = - 3$
c) ${4^{{{\log }_2}\frac{1}{7}}} = {\left( {{2^{{{\log }_2}\frac{1}{7}}}} \right)^2} = {\left( {\frac{1}{7}} \right)^2}$
d) ${\left( {\frac{1}{{25}}} \right)^{{{\log }_5}\frac{1}{3}}} = {\left( {{5^{{{\log }_5}\frac{1}{3}}}} \right)^{ - 2}} = {\left( {\frac{1}{3}} \right)^{ - 2}}$

II. QUI TẮC TÍNH LOGARIT
1. Logarit của 1 tích
Cho a, b1, b2 > 0, a ≠ 1.
${\log _a}({b_1}{b_2}) = {\log _a}{b_1} + {\log _a}{b_2}$
Chú ý: Định lí trên có thể mở rộng cho tích của n số dương:
${\log _a}({b_1}...{b_n}) = {\log _a}{b_1} + ... + {\log _a}{b_n}$

VD3: Tính:
a) ${\log _6}9 + {\log _6}4$
b) ${\log _{\frac{1}{2}}}2 + 2{\log _{\frac{1}{2}}}\frac{1}{3} + {\log _{\frac{1}{2}}}\frac{3}{8}$
c) ${\log _{\frac{1}{3}}}5 + {\log _{\frac{1}{3}}}\frac{9}{5} + {\log _{\frac{1}{3}}}3$
d) ${\log _5}75 + {\log _5}\frac{5}{3}$

Lời giải​

a) = ${\log _6}36 = 2$
b) $2{\log _{\frac{1}{2}}}\frac{1}{3} = {\log _{\frac{1}{2}}}\frac{1}{3} + {\log _{\frac{1}{2}}}\frac{1}{3}$
c) = ${\log _{\frac{1}{3}}}27 = - 3$
d) = ${\log _5}125 = 3$

2. Logarit của 1 thương
Cho a, b1, b2 > 0, a ≠ 1.
${\log _a}\frac{{{b_1}}}{{{b_2}}} = {\log _a}{b_1} - {\log _a}{b_2}$
Đặc biệt: ${\log _a}\frac{1}{b} = - {\log _a}b$

VD1: Tính:
a) ${\log _2}120 - {\log _2}15$
b) ${\log _3}16 - {\log _3}144$
c) ${\log _7}30 - {\log _7}210$

Lời giải​

a) = ${\log _2}8 = 3$
b) = ${\log _3}\frac{1}{9} = - 2$
c) ${\log _7}\frac{1}{7} = - 1$

3. Logarit của 1 luỹ thừa
Cho a, b > 0; a ≠ 1; α tuỳ ý: ${\log _a}{b^\alpha } = \alpha {\log _a}b$
Đặc biệt: ${\log _a}\sqrt[n]{b} = \frac{1}{n}{\log _a}b$

VD2: Tính:
a) ${\log _2}{4^{\frac{1}{7}}} = {\log _2}{2^{\frac{2}{7}}} = \frac{2}{7}$
b) ${\log _5}\sqrt 3 - \frac{1}{5}{\log _5}15 = {\log _5}{5^{ - \frac{1}{2}}} = - \frac{1}{2}$

III. ĐỔI CƠ SỐ
Cho a, b, c > 0; a, c ≠ 1.
${\log _a}b = \frac{{{{\log }_c}b}}{{{{\log }_c}a}}$
Đặc biệt:
${\log _a}b = \frac{1}{{{{\log }_b}a}}$ (b ≠ 1)
${\log _{{a^\alpha }}}b = \frac{1}{\alpha }{\log _a}b$ (α ≠ 0)

IV. LOGARIT THẬP PHÂN, LOGARIT TỰ NHIÊN
1. Logarit thập phân
$\lg b = \log b = {\log _{10}}b$
2. Logarit tự nhiên
$\ln b = {\log _e}b$
Chú ý: Muốn tính ${\log _a}b$ với a ≠ 10 và a ≠ e, bằng MTBT, ta có thể sử dụng công thức đổi cơ số.

 

[Tăng Giáp]

V. VÍ DỤ MINH HỌA
Câu 1:
Cho \(a;b > 0;ab \ne 1\) và thỏa mãn \({\log _{ab}}a = 2\). Tính giá trị của \({\log _{ab}}\sqrt {\frac{a}{b}}\).
A. \({\log _{ab}}\sqrt {\frac{a}{b}}=\frac{3}{2}\)
B. \({\log _{ab}}\sqrt {\frac{a}{b}}=\frac{3}{4}\)
C. \({\log _{ab}}\sqrt {\frac{a}{b}}=3\)
D. \({\log _{ab}}\sqrt {\frac{a}{b}}=1\)
Hướng dẫn

Spoiler

Bài này yêu cầu nhớ các công thức biến đổi của hàm logarit:
\({\log _{ab}}\sqrt {\frac{a}{b}} = \frac{1}{2}{\log _{ab}}\frac{a}{b} = \frac{1}{2}{\log _{ab}}\frac{{{a^2}}}{{ab}}\)
\(= \frac{1}{2}.\left( {{{\log }_{ab}}{a^2} - {{\log }_{ab}}ab} \right) = \frac{1}{2}.\left( {2{{\log }_{ab}}a - 1} \right)\)
Do đó, \({\log _{ab}}a = 2\) thì ta có:
\({\log _{ab}}\sqrt {\frac{a}{b}} = \frac{1}{2}.\left( {2.2 - 1} \right) = \frac{3}{2}\)
Vậy đáp án đúng là A.

Câu 2:
Cho \(A = {\log _{\sqrt 2 }}\sqrt 6 + {\log _4}81 - {\log _2}27 + {81^{\frac{1}{{{{\log }_5}3}}}}\). Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?
A. \({\log _A}\left( {626} \right) = 2\)
B. \({616^{{{\log }_A}9}} = 3\)
C. \(A = 313\)
D. \({\log _2}A = 1 + {\log _2}313\)
Hướng dẫn

Spoiler

\(A = {\log _{\sqrt 2 }}\sqrt 6 + {\log _4}81 - {\log _2}27 + {81^{\frac{1}{{{{\log }_5}3}}}} = {\log _2}6 + {\log _2}9 - {\log _2}27 + {\left( {{3^{{{\log }_3}5}}} \right)^4}\)
\(= {\log _2}\frac{{6.9}}{{27}} + {5^4} = 1 + 625 = 626\)
\(\Rightarrow {\log _2}626 = {\log _2}\left( {2.313} \right) = 1 + {\log _2}313\)
Vậy D là đáp án đúng.

Câu 3:
Cho \({\log _3}15 = a,{\log _3}10 = b\). Tính giá trị của biểu thức \(P = {\log _3}50\) theo a và b.
A. \(P = a + b - 1\)
B. \(P = a - b - 1\)
C. \(P = 2a + b - 1\)
D. \(P = a + 2b - 1\)
Hướng dẫn

Spoiler

\({\log _3}50 = {\log _3}\frac{{150}}{3} = {\log _3}15 + {\log _3}10 - 1 = a + b - 1\)

Câu 4:
Cho biểu thức \(Q = {\log _a}\left( {a\sqrt b } \right) - {\log _{\sqrt a }}\left( {a.\sqrt[4]{b}} \right) + {\log _{\sqrt[3]{b}}}\left( b \right)\), biết rằng a, b là các số thực dương khác 1.
Chọn nhận định đúng.
A. \({2^Q} = {\log _Q}16\)
B. \({2^Q} > {\log _{\frac{1}{Q}}}\frac{1}{{16}}\)
C. \({2^Q} < {\log _Q}15\)
D. \(Q = 4\)
Hướng dẫn

Spoiler

Ta có: \(Q = {\log _a}\left( {a\sqrt b } \right) - 2{\log _a}\left( {a.\sqrt[4]{b}} \right) + 3{\log _b}\left( b \right)\)
\(= {\log _a}\left( {a\sqrt b } \right) - {\log _a}\left( {{a^2}.\sqrt b } \right) + 3 = {\log _a}\left( {\frac{{a\sqrt b }}{{{a^2}\sqrt b }}} \right) + 3\)
\(= {\log _a}\left( {\frac{1}{a}} \right) + 3 = - 1 + 3 = 2\)

Câu 5:
Cho \(a > 0\) và \(a \ne 1\). Tính giá trị của \({\log _{{a^3}}}a\).
A. \({\log _{{a^3}}}a = 3\)
B. \({\log _{{a^3}}}a = \frac{1}{3}\)
C. \({\log _{{a^3}}}a = - 3\)
D. \({\log _{{a^3}}}a = \frac{{ - 1}}{3}\)
Hướng dẫn

Spoiler

\({\log _{{a^3}}}a = \frac{1}{3}{\log _a}a = \frac{1}{3}\)

Câu 6
Đặt \({\log _2}6 = a\) và \({\log _2}7 = b\). Hãy biểu diễn \({\log _3}7\) theo a và b.
A. \({\log _3}7 = \frac{b}{{a - 1}}\)
B. \({\log _3}7 = \frac{a}{{b - 1}}\)
C. \({\log _3}7 = \frac{b}{{1 - a}}\)
D. \({\log _3}7 = \frac{a}{{1 - b}}\)
Hướng dẫn

Spoiler

Với dạng bài biểu diễn một logarit theo 2 logarit đã cho thì bước đầu tiên là chuyển logarit cơ số cần tìm về cơ số ban đầu, rồi phân tách như sau:
Ta có:
\({\log _3}7 = \frac{{{{\log }_2}7}}{{{{\log }_2}3}} = \frac{b}{{{{\log }_2}6 - {{\log }_2}2}} = \frac{b}{{a - 1}}\)
Vậy đáp án là A.

Câu 7
Giả sử các số logarit đều có nghĩa, điều nào sau đây đúng?
A. \({\log _a}b = {\log _a}c \Leftrightarrow b = c\)
B. \({\log _a}b > {\log _a}c \Leftrightarrow b > c\)
C. \({\log _a}b = {\log _a}c \Leftrightarrow b < c\)
D. Cả ba phương án trên đều sai
Hướng dẫn

Spoiler

Đáp án A đúng.
B và C sai do thiếu điều kiện của cơ số a.
A đúng nên D sai.

Câu8
Đặt \(a = {\log _{15}}3\). Hãy biểu diễn \({\log _{25}}15\) theo a.
A. \({\log _{25}}15 = \frac{3}{{5\left( {1 - a} \right)}}\)
B. \({\log _{25}}15 = \frac{5}{{3\left( {1 - a} \right)}}\)
C. \({\log _{25}}15 = \frac{1}{{2\left( {1 - a} \right)}}\)
D. \({\log _{25}}15 = \frac{1}{{5\left( {1 - a} \right)}}\)
Hướng dẫn

Spoiler

Ta có \(a = {\log _{15}}3\). Do vậy ta cần biến đổi \({\log _{25}}15\) về \({\log _{15}}3\)
Ta có \({\log _{25}}15 = \frac{{{{\log }_{15}}15}}{{{{\log }_{15}}25}} = \frac{1}{{{{\log }_{15}}25}}\)
\(= \frac{1}{{{{\log }_{15}}{5^2}}} = \frac{1}{{2\left( {{{\log }_{15}}5} \right)}} = \frac{1}{{2\left( {{{\log }_{15}}15 - {{\log }_{15}}3} \right)}}\)
\(= \frac{1}{{2\left( {1 - a} \right)}}\).
Đáp án C.

Câu 9
Một học sinh giải bài toán: “Biết \({\log _{27}}5 = a;{\log _8}7 = b;{\log _2}3 = c\) . Tính \({\log _6}35\) lần lượt như sau:
I. Ta có \(a = {\log _{27}}5 = {\log _{{3^3}}}5 = \frac{1}{3}{\log _3}5.\) Suy ra \({\log _3}5 = 3a\) nên \({\log _2}5 = {\log _2}3.{\log _3}5 = 3ac\)
II. Tương tự \(b = {\log _8}7 = {\log _{{2^3}}}7 = \frac{1}{3}{\log _2}7 \Rightarrow {\log _2}7 = 3b\)
III. Từ đó: \({\log _6}35 = {\log _6}2.{\log _2}\left( {5.7} \right) = \frac{1}{{{{\log }_2}6}}\left( {{{\log }_2}5 + {{\log }_2}7} \right)\)\(= \frac{{3ac + 3b}}{{{{\log }_2}2 + {{\log }_2}3}} = \frac{{3ac + 3b}}{{1 + c}}\)
Kết luận nào sau đây là đúng?
A. Lời giải trên sai từ giai đoạn I.
B. Lời giải trên sai từ giai đoạn II.
C. Lời giải trên sau từ giai đoạn III.
D. Lời giải trên đúng.
Hướng dẫn

Spoiler

Xét giai đoạn thứ nhất: Đây là một giai đoạn đúng.
Ta có \({\log _3}5 = \frac{{{{\log }_2}5}}{{{{\log }_2}3}} \Leftrightarrow {\log _2}5 = {\log _3}5.{\log _2}3\)
Tương tự với giai đoạn II và giai đoạn III đều đúng.
Vậy đáp án cuối cùng là D.

Câu 10
Cho a, b là độ dài hai cạnh góc vuông, c là độ dài cạnh huyền của một tam giác vuông, trong đó \(c - b \ne 1\) và \(c + b \ne 1\). Kết luận nào sau đây là đúng?
A. \({\log _{c + b}}a + {\log _{c - b}}a = 2{\log _{c + b}}a.{\log _{c - b}}a\)
B. \({\log _{c + b}}a + {\log _{c - b}}a = - 2{\log _{c + b}}a.{\log _{c - b}}a\)
C. \({\log _{c + b}}a + {\log _{c - b}}a = {\log _{c + b}}a.{\log _{c - b}}a\)
D. \({\log _{c + b}}a + {\log _{c - b}}a = - {\log _{c + b}}a.{\log _{c - b}}a\)
Hướng dẫn

Spoiler

Tam giác vuông nên: \({a^2} + {b^2} = {c^2}\)
\({a^2} = {c^2} - {b^2} = \left( {c - b} \right)\left( {c + b} \right).{\rm{ }}\left( * \right)\)
Ta có: \({\log _{c + b}}a + {\log _{c - b}}a = \frac{1}{{{{\log }_a}\left( {c + b} \right)}} + \frac{1}{{{{\log }_a}\left( {c - b} \right)}}\)
\(= \frac{{{{\log }_a}\left( {c - b} \right) + {{\log }_a}\left( {c + b} \right)}}{{{{\log }_a}\left( {c + b} \right).{{\log }_a}\left( {c - b} \right)}}\)\(= \frac{{{{\log }_a}\left( {\left( {c - b} \right)\left( {c + b} \right)} \right)}}{{{{\log }_a}\left( {c + b} \right).{{\log }_a}\left( {c - b} \right)}}\)
\(= {\log _a}\left( {{a^2}} \right).{\log _{c + b}}a.{\log _{c - b}}a\)\(= 2{\log _{c + b}}a.{\log _{c - b}}a\)
(Áp dụng công thức \({\log _\alpha }\beta = \frac{1}{{{{\log }_\beta }\alpha }}\) )
Vậy đáp án đúng là đáp án A

Câu 11
Cho các số thực dương a, b thỏa mãn \({\log _9}a = {\log _{12}}b = {\log _{16}}\left( {a + b} \right)\). Tính tỉ số \(T = \frac{a}{b}.\)
A. \(T = \frac{4}{3}\)
B. \(T = \frac{{1 + \sqrt 3 }}{2}\)
C. \(T = \frac{{1 + \sqrt 5 }}{2}\)
D. \(T = \frac{8}{5}\)
Hướng dẫn

Spoiler

Đặt \(k = {\log _9}a = {\log _{12}}b = {\log _{16}}\left( {a + b} \right)\)
\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = {9^k}\\b = {12^k}\\a + b = {16^k}\end{array} \right. \Rightarrow {9^k} + {12^k} = {16^k} \Rightarrow \frac{{{9^k}}}{{{{16}^k}}} + \frac{{{3^k}}}{{{4^k}}} = 1\)
Đặt \(t = \frac{{{3^k}}}{{{4^k}}} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{t^2} + t - 1 = 0\\t > 0\end{array} \right. \Rightarrow t = \frac{{ - 1 + \sqrt 5 }}{2}\)
\( \Rightarrow T = \frac{b}{a} = \frac{{{4^k}}}{{{3^k}}} = \frac{1}{t} = \frac{{\sqrt 5 + 1}}{2}.\)

Câu 12
Cường độ một trận động đất được xác định bởi công thức \(M = \log A - \log {A_0}\) độ Richter, với A là biên độ rung chấn tối đa và A0 là một biên độ chuẩn (hằng số). Đầu thế kỷ 20, một trận động đất ở San Francisco có cường độ đo được 8 độ Richter. Trong cùng năm đó, trận động đất khác ở Nhật Bản có cường độ đo được 6 độ Richer. Hỏi trận động đất ở San Francisco có biên độ gấp bao nhiêu lần biên độ trận động đất ở Nhật bản?
A. 1000 lần
B. 10 lần
C. 2 lần
D. 100 lần
Hướng dẫn

Spoiler

Ta có \(M = \log \frac{{{A_1}}}{{{A_0}}} \Rightarrow \frac{{{A_1}}}{{{A_0}}} = {10^8}\)
Tương tự \(\frac{{{A_2}}}{{{A_0}}} = {10^6} \Rightarrow \frac{{{A_1}}}{{{A_2}}} = \frac{{{{10}^8}}}{{{{10}^6}}} = 100\)

Câu 13
Đặt \(\log 4 = a\), biểu diễn \(\log 4000\,\) theo a.
A. \(\log 4000\, = 3 + a\)
B. \(\log 4000\, = 4 + a\)
C. \(\log 4000\, = 3 + 2a\)
D. \(\log 4000\, = 4 + 2a\)
Hướng dẫn

Spoiler

Ta có: \(\log 4000 = \log 4.\log 1000 = \log 4 + \log {10^3} = \log 4 + 3 = a + 3\)

Câu 14
Rút gọn biểu thức \(A = {\log _a}\frac{{{a^2}.\sqrt[3]{{{a^2}}}.a.\sqrt[5]{{{a^4}}}}}{{\sqrt[3]{a}}}\) với \(a > 0;\,\,a \ne 1\).
A. \(A = \frac{{62}}{5}\)
B. \(A = \frac{{16}}{5}\)
C. \(A = \frac{{22}}{5}\)
D. \(A = \frac{{67}}{5}\)
Hướng dẫn

Spoiler

\(A = {\log _a}\frac{{{a^2}.\sqrt[3]{{{a^2}}}.a.\sqrt[5]{{{a^4}}}}}{{\sqrt[3]{a}}} = {\log _a}{a^{2 + \frac{2}{3} + 1 + \frac{4}{5} - \frac{1}{3}}} = {\log _a}{a^{\frac{{62}}{{15}}}} = \frac{{62}}{5}.\)