A. LÝ THUYẾT CẦN NẮM VỮNG
1. Định nghĩa và cách giải bất phương trình bậc hai
+ Bất phương trình bậc hai (ẩn $x$) là bất phương trình có một trong các dạng $f\left( x \right)>0$, $f(x)<0$, $f(x)\ge 0$, $f(x)\le 0$ trong đó $f(x)$ là một tam thức bậc hai.
+ Để giải bất phương trình bậc hai, ta áp dụng định lí về dấu của tam thức bậc hai.
2. Ứng dụng giải toán: Giải bất phương trình tích, thương chứa các tam thức bậc hai bằng cách lập bảng xét dấu.
B. CÁC DẠNG TOÁN BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI
Dạng toán 1. Giải bất phương trình bậc hai.
Ví dụ 1. Giải các bất phương trình sau:
a) $-3{{x}^{2}}+2x+1<0.$
b) ${{x}^{2}}+x-12<0.$
c) $5{{x}^{2}}-6\sqrt{5}x+9>0.$
d) $-36{{x}^{2}}+12x-1\ge 0.$
a) Tam thức $f(x)=-3{{x}^{2}}+2x+1$ có $a=-3<0$ và có hai nghiệm ${{x}_{1}}=-\frac{1}{3}$, ${{x}_{2}}=1.$
($f(x)$ cùng dấu với hệ số $a$).
Suy ra $-3{{x}^{2}}+2x+1<0$ $\Leftrightarrow x<-\frac{1}{3}$ hoặc $x>1.$
Vậy tập nghiệm của bất phương trình: $S=(-\infty ;-\frac{1}{3})\cup (1;+\infty ).$
b) Tam thức $f\left( x \right)={{x}^{2}}+x-12$ có $a=1>0$ và có hai nghiệm ${{x}_{1}}=-4$, ${{x}_{2}}=3.$
($f(x)$ trái dấu với hệ số $a$).
Suy ra ${{x}^{2}}+x-12<0$ $\Leftrightarrow -4<x<3.$
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là $\text{S}=\left( -4;3 \right).$
c) Tam thức $f\left( x \right)=5{{x}^{2}}-6\sqrt{5}x+9$ có $a=5>0$ và $\Delta =0.$
($f(x)$ cùng dấu với hệ số $a$).
Suy ra $5{{x}^{2}}-6\sqrt{5}x+9>0$ $\Leftrightarrow x\ne \frac{3\sqrt{5}}{5}.$
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là $\text{S}=\mathbb{R}\backslash \left\{ \frac{3\sqrt{5}}{5} \right\}.$
d) Tam thức $f\left( x \right)=-36{{x}^{2}}+12x-1$ có $a=-36<0$ và $\Delta =0.$
$f\left( x \right)$ âm với $\forall x\ne \frac{1}{6}$ và $f\left( \frac{1}{6} \right)=0.$
Suy ra $-36{{x}^{2}}+12x-1\ge 0$ $\Leftrightarrow x=\frac{1}{6}.$
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là $\text{S}=\left\{ \frac{1}{6} \right\}.$
Ví dụ 2. Tìm $m$ để phương trình sau có nghiệm:
a) ${{x}^{2}}-mx+m+3=0.$
b) $(1+m){{x}^{2}}-2mx+2m=0.$
a) Phương trình có nghiệm khi và chỉ khi $\Delta \ge 0$ $\Leftrightarrow {{m}^{2}}-4\left( m+3 \right)\ge 0$ $\Leftrightarrow {{m}^{2}}-4m-12\ge 0$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}
m\ge 6 \\
m\le -2 \\
\end{matrix} \right.$
Vậy với $m\in (-\infty ;-2]\cup [6;+\infty )$ thì phương trình có nghiệm.
b)
+ Với $m=-1$ phương trình trở thành $2x-2=0$ $\Leftrightarrow x=1$ suy ra $m=-1$ thỏa mãn yêu cầu bài toán.
+ Với $m\ne -1$ phương trình có nghiệm khi và chỉ khi $\Delta’ \ge 0$ $\Leftrightarrow {{m}^{2}}-2m\left( 1+m \right)\ge 0$ $\Leftrightarrow {{m}^{2}}+2m\le 0$ $\Leftrightarrow -2\le m\le 0.$
Vậy với $-2\le m\le 0$ thì phương trình có nghiệm.
Ví dụ 3. Tìm $m$ để mọi $x\in \left[ -1;1 \right]$ đều là nghiệm của bất phương trình $3{{x}^{2}}-2\left( m+5 \right)x-{{m}^{2}}+2m+8\le 0.$
Ta có $3{{x}^{2}}-2\left( m+5 \right)x-{{m}^{2}}+2m+8=0$ $\Leftrightarrow x=m+2$ hoặc $x=\frac{4-m}{3}.$
+ Với $m+2>\frac{4-m}{3}$ $\Leftrightarrow 3m+6>4-m$ $\Leftrightarrow m>-\frac{1}{2}$, ta có:
Bất phương trình $\Leftrightarrow \frac{4-m}{3}\le x\le m+2.$
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là $\left[ \frac{4-m}{3};m+2 \right].$
Suy ra mọi $x\in \left[ -1;1 \right]$ đều là nghiệm của bất phương trình khi và chỉ khi $\left[ -1;1 \right]\subset \left[ \frac{4-m}{3};m+2 \right]$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
-1\ge \frac{4-m}{3} \\
1\le m+2 \\
\end{matrix} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
m\ge 7 \\
m\ge -1 \\
\end{matrix} \right.$ $\Leftrightarrow m\ge 7.$
Kết hợp với điều kiện $m>-\frac{1}{2}$ ta có $m\ge 7$ thỏa mãn yêu cầu bài toán.
+ Với $m+2<\frac{4-m}{3}$ $\Leftrightarrow m<-\frac{1}{2}$, ta có:
Bất phương trình $\Leftrightarrow m+2\le x\le \frac{4-m}{3}.$
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là $\left[ m+2;\frac{4-m}{3} \right].$
Suy ra mọi $x\in \left[ -1;1 \right]$ đều là nghiệm của bất phương trình khi và chỉ khi $\left[ -1;1 \right]\subset \left[ m+2;\frac{4-m}{3} \right]$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
-1\ge m+2 \\
1\le \frac{4-m}{3} \\
\end{matrix} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
m\le -3 \\
m\le 1 \\
\end{matrix} \right.$ $\Leftrightarrow m\le -3.$
Kết hợp với điều kiện $m<-\frac{1}{2}$ ta có $m\le -3$ thỏa mãn yêu cầu bài toán.
+ Với $m=-\frac{1}{2}$ ta có bất phương trình $\Leftrightarrow x=\frac{3}{2}$ nên $m=-\frac{1}{2}$ không thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Vậy $m\in (-\infty ;-3]\cup [7;+\infty )$ là giá trị cần tìm.
Ví dụ 4. Giải và biện luận bất phương trình $(m+1){{x}^{2}}-2(2m-1)x-4m+2<0.$
Với $m=-1$, bất phương trình trở thành $6x+6<0$ $\Leftrightarrow x<-1.$
Với $m\ne -1$ ta có $g(x)=(m+1){{x}^{2}}-2(2m-1)x-4m+2$ là tam thức bậc hai có: $a=m+1$ $\Delta’=8{{m}^{2}}-2m-1.$
Bảng xét dấu:
+ Xét $-\frac{1}{4}\le m\le \frac{1}{2}$ $\Rightarrow \left\{ \begin{align}
& a>0 \\
& \Delta’\le 0 \\
\end{align} \right.$ $\Rightarrow g(x)\ge 0$, $\forall x\in R$ $\Rightarrow$ bất phương trình vô nghiệm.
+ Xét $\left[ \begin{align}
& m>\frac{1}{2} \\
& -1<m<-\frac{1}{4} \\
\end{align} \right.$ $\Rightarrow \left\{ \begin{align}
& a>0 \\
& \Delta’>0 \\
\end{align} \right.$ $\Rightarrow $ $S=({{x}_{1}};{{x}_{2}})$, với: ${{x}_{1}}=\frac{2m-1-\sqrt{(2m-1)(m+1)}}{m+1}$, ${{x}_{2}}=\frac{2m-1+\sqrt{(2m-1)(m+1)}}{m+1}.$
+ Xét $m<-1$ $\Rightarrow \left\{ \begin{align}
& a<0 \\
& \Delta’>0 \\
\end{align} \right.$ $\Rightarrow $ $S=(-\infty ;{{x}_{1}})\cup ({{x}_{2}};+\infty ).$
Kết luận:
$m=-1$ bất phương trình có tập nghiệm là $\text{S}=\left( -\infty ;-1 \right).$
$-\frac{1}{4}\le m\le \frac{1}{2}$ bất phương trình có tập nghiệm là $\text{S}=\varnothing .$
$\left[ \begin{align}
& m>\frac{1}{2} \\
& -1<m<-\frac{1}{4} \\
\end{align} \right.$ bất phương trình có tập nghiệm là $S=({{x}_{1}};{{x}_{2}}).$
$m<-1$ bất phương trình có tập nghiệm là $S=(-\infty ;{{x}_{1}})\cup ({{x}_{2}};+\infty ).$
1. Định nghĩa và cách giải bất phương trình bậc hai
+ Bất phương trình bậc hai (ẩn $x$) là bất phương trình có một trong các dạng $f\left( x \right)>0$, $f(x)<0$, $f(x)\ge 0$, $f(x)\le 0$ trong đó $f(x)$ là một tam thức bậc hai.
+ Để giải bất phương trình bậc hai, ta áp dụng định lí về dấu của tam thức bậc hai.
2. Ứng dụng giải toán: Giải bất phương trình tích, thương chứa các tam thức bậc hai bằng cách lập bảng xét dấu.
B. CÁC DẠNG TOÁN BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI
Dạng toán 1. Giải bất phương trình bậc hai.
Ví dụ 1. Giải các bất phương trình sau:
a) $-3{{x}^{2}}+2x+1<0.$
b) ${{x}^{2}}+x-12<0.$
c) $5{{x}^{2}}-6\sqrt{5}x+9>0.$
d) $-36{{x}^{2}}+12x-1\ge 0.$
a) Tam thức $f(x)=-3{{x}^{2}}+2x+1$ có $a=-3<0$ và có hai nghiệm ${{x}_{1}}=-\frac{1}{3}$, ${{x}_{2}}=1.$
($f(x)$ cùng dấu với hệ số $a$).
Suy ra $-3{{x}^{2}}+2x+1<0$ $\Leftrightarrow x<-\frac{1}{3}$ hoặc $x>1.$
Vậy tập nghiệm của bất phương trình: $S=(-\infty ;-\frac{1}{3})\cup (1;+\infty ).$
b) Tam thức $f\left( x \right)={{x}^{2}}+x-12$ có $a=1>0$ và có hai nghiệm ${{x}_{1}}=-4$, ${{x}_{2}}=3.$
($f(x)$ trái dấu với hệ số $a$).
Suy ra ${{x}^{2}}+x-12<0$ $\Leftrightarrow -4<x<3.$
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là $\text{S}=\left( -4;3 \right).$
c) Tam thức $f\left( x \right)=5{{x}^{2}}-6\sqrt{5}x+9$ có $a=5>0$ và $\Delta =0.$
($f(x)$ cùng dấu với hệ số $a$).
Suy ra $5{{x}^{2}}-6\sqrt{5}x+9>0$ $\Leftrightarrow x\ne \frac{3\sqrt{5}}{5}.$
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là $\text{S}=\mathbb{R}\backslash \left\{ \frac{3\sqrt{5}}{5} \right\}.$
d) Tam thức $f\left( x \right)=-36{{x}^{2}}+12x-1$ có $a=-36<0$ và $\Delta =0.$
$f\left( x \right)$ âm với $\forall x\ne \frac{1}{6}$ và $f\left( \frac{1}{6} \right)=0.$
Suy ra $-36{{x}^{2}}+12x-1\ge 0$ $\Leftrightarrow x=\frac{1}{6}.$
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là $\text{S}=\left\{ \frac{1}{6} \right\}.$
Ví dụ 2. Tìm $m$ để phương trình sau có nghiệm:
a) ${{x}^{2}}-mx+m+3=0.$
b) $(1+m){{x}^{2}}-2mx+2m=0.$
a) Phương trình có nghiệm khi và chỉ khi $\Delta \ge 0$ $\Leftrightarrow {{m}^{2}}-4\left( m+3 \right)\ge 0$ $\Leftrightarrow {{m}^{2}}-4m-12\ge 0$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}
m\ge 6 \\
m\le -2 \\
\end{matrix} \right.$
Vậy với $m\in (-\infty ;-2]\cup [6;+\infty )$ thì phương trình có nghiệm.
b)
+ Với $m=-1$ phương trình trở thành $2x-2=0$ $\Leftrightarrow x=1$ suy ra $m=-1$ thỏa mãn yêu cầu bài toán.
+ Với $m\ne -1$ phương trình có nghiệm khi và chỉ khi $\Delta’ \ge 0$ $\Leftrightarrow {{m}^{2}}-2m\left( 1+m \right)\ge 0$ $\Leftrightarrow {{m}^{2}}+2m\le 0$ $\Leftrightarrow -2\le m\le 0.$
Vậy với $-2\le m\le 0$ thì phương trình có nghiệm.
Ví dụ 3. Tìm $m$ để mọi $x\in \left[ -1;1 \right]$ đều là nghiệm của bất phương trình $3{{x}^{2}}-2\left( m+5 \right)x-{{m}^{2}}+2m+8\le 0.$
Ta có $3{{x}^{2}}-2\left( m+5 \right)x-{{m}^{2}}+2m+8=0$ $\Leftrightarrow x=m+2$ hoặc $x=\frac{4-m}{3}.$
+ Với $m+2>\frac{4-m}{3}$ $\Leftrightarrow 3m+6>4-m$ $\Leftrightarrow m>-\frac{1}{2}$, ta có:
Bất phương trình $\Leftrightarrow \frac{4-m}{3}\le x\le m+2.$
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là $\left[ \frac{4-m}{3};m+2 \right].$
Suy ra mọi $x\in \left[ -1;1 \right]$ đều là nghiệm của bất phương trình khi và chỉ khi $\left[ -1;1 \right]\subset \left[ \frac{4-m}{3};m+2 \right]$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
-1\ge \frac{4-m}{3} \\
1\le m+2 \\
\end{matrix} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
m\ge 7 \\
m\ge -1 \\
\end{matrix} \right.$ $\Leftrightarrow m\ge 7.$
Kết hợp với điều kiện $m>-\frac{1}{2}$ ta có $m\ge 7$ thỏa mãn yêu cầu bài toán.
+ Với $m+2<\frac{4-m}{3}$ $\Leftrightarrow m<-\frac{1}{2}$, ta có:
Bất phương trình $\Leftrightarrow m+2\le x\le \frac{4-m}{3}.$
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là $\left[ m+2;\frac{4-m}{3} \right].$
Suy ra mọi $x\in \left[ -1;1 \right]$ đều là nghiệm của bất phương trình khi và chỉ khi $\left[ -1;1 \right]\subset \left[ m+2;\frac{4-m}{3} \right]$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
-1\ge m+2 \\
1\le \frac{4-m}{3} \\
\end{matrix} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
m\le -3 \\
m\le 1 \\
\end{matrix} \right.$ $\Leftrightarrow m\le -3.$
Kết hợp với điều kiện $m<-\frac{1}{2}$ ta có $m\le -3$ thỏa mãn yêu cầu bài toán.
+ Với $m=-\frac{1}{2}$ ta có bất phương trình $\Leftrightarrow x=\frac{3}{2}$ nên $m=-\frac{1}{2}$ không thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Vậy $m\in (-\infty ;-3]\cup [7;+\infty )$ là giá trị cần tìm.
Ví dụ 4. Giải và biện luận bất phương trình $(m+1){{x}^{2}}-2(2m-1)x-4m+2<0.$
Với $m=-1$, bất phương trình trở thành $6x+6<0$ $\Leftrightarrow x<-1.$
Với $m\ne -1$ ta có $g(x)=(m+1){{x}^{2}}-2(2m-1)x-4m+2$ là tam thức bậc hai có: $a=m+1$ $\Delta’=8{{m}^{2}}-2m-1.$
Bảng xét dấu:
+ Xét $-\frac{1}{4}\le m\le \frac{1}{2}$ $\Rightarrow \left\{ \begin{align}
& a>0 \\
& \Delta’\le 0 \\
\end{align} \right.$ $\Rightarrow g(x)\ge 0$, $\forall x\in R$ $\Rightarrow$ bất phương trình vô nghiệm.
+ Xét $\left[ \begin{align}
& m>\frac{1}{2} \\
& -1<m<-\frac{1}{4} \\
\end{align} \right.$ $\Rightarrow \left\{ \begin{align}
& a>0 \\
& \Delta’>0 \\
\end{align} \right.$ $\Rightarrow $ $S=({{x}_{1}};{{x}_{2}})$, với: ${{x}_{1}}=\frac{2m-1-\sqrt{(2m-1)(m+1)}}{m+1}$, ${{x}_{2}}=\frac{2m-1+\sqrt{(2m-1)(m+1)}}{m+1}.$
+ Xét $m<-1$ $\Rightarrow \left\{ \begin{align}
& a<0 \\
& \Delta’>0 \\
\end{align} \right.$ $\Rightarrow $ $S=(-\infty ;{{x}_{1}})\cup ({{x}_{2}};+\infty ).$
Kết luận:
$m=-1$ bất phương trình có tập nghiệm là $\text{S}=\left( -\infty ;-1 \right).$
$-\frac{1}{4}\le m\le \frac{1}{2}$ bất phương trình có tập nghiệm là $\text{S}=\varnothing .$
$\left[ \begin{align}
& m>\frac{1}{2} \\
& -1<m<-\frac{1}{4} \\
\end{align} \right.$ bất phương trình có tập nghiệm là $S=({{x}_{1}};{{x}_{2}}).$
$m<-1$ bất phương trình có tập nghiệm là $S=(-\infty ;{{x}_{1}})\cup ({{x}_{2}};+\infty ).$
