I. PHƯƠNG PHÁP
$y = \frac{{a{x^2} + bx + c}}{{a'x + b'}}\,\,\left( {a \ne 0,b \ne 0} \right)$
Bước 1: Tìm tập xác định của hàm số
Bước 2: Khảo sát sự biến thiên của hàm số
a) Tìm tiệm cận đứng và tiệm cận xiên
b) Lập bảng biến thiên
• Lấy đạo hàm y’
• Giải phương trình y’ = 0
• Lập bảng biến thiên.
• Chỉ ra khoảng đồng biến và nghịch biến.
• Chỉ ra các điểm cực trị.
Bước 3:Vẽ đồ thị cần thực hiện theo thứ tự gợi ý sau:
• Vẽ hệ trục tọa độ Oxy và xác định giao điểm với Ox,Oy.
• Vẽ 2 đường tiệm cận đứng và ngang.
• Nhận xét hàm số có bao nhiêu dạng đồ thị và áp dụng dạng đồ thị phù hợp cho bài toán của mình (tham khảo các dạng đồ thị ở sau mỗi dạng hàm số)
II. VẬN DỤNG
Ví dụ: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số $y = \frac{{{x^2} + 2x + 2}}{{x + 1}}$
1. Hàm số có tập xác định là R\{-1}
2. Sự biến thiên của hàm số
a) Giới hạn tại vô cực, giới hạn vô cực và các đường tiệm cận
Ta viết hàm số đã cho dưới dạng:
$y = x + 1 + \frac{1}{{x + 1}}$
Ta có: $\mathop {\lim \left( y \right)}\limits_{x \to - \infty } = - \infty ;\,\mathop {\lim \left( y \right)}\limits_{x \to + \infty } = + \infty $
Vì $\mathop {\lim \left( y \right)}\limits_{x \to {{\left( { - 1} \right)}^ - }} = - \infty ;\,\mathop {\lim \left( y \right)}\limits_{x \to {{\left( { - 1} \right)}^ + }} = + \infty $
nên đường thẳng x = -1 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho (x →(- 1)-, x →(- 1)+)
Vì $\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left[ {y - \left( {x + 1} \right)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left[ {\frac{1}{{x + 1}}} \right] = 0$ và
$\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left[ {y - \left( {x + 1} \right)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left[ {\frac{1}{{x + 1}}} \right] = 0$
nên đường thẳng y = x+1 là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số đã cho (khi (x → + ∞, x → - ∞)
b) Bảng biến thiên
$y' = \frac{{{x^2} + 2x}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} = 0 \to \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = - 2\end{array} \right.$
Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng ( - ∞; - 2) , nghịch biến trên mỗi khoảng (-2;-1) và (-1;0).
Hàm số đạt cực đại tại điểm x = -2 với giá trị cực đại y(-2)= -2 và đạt giá trị cực tiểu tại điểm x = 0 với giá trị cực tiểu y(0)=2.
3. Đồ thị
Đồ thị cắt trục tung tại điểm (0;2)
Nhận xét: Đồ thị nhận giao điểm I (-1;0) của hai đường tiệm cận làm tâm đối xứng.
$y = \frac{{a{x^2} + bx + c}}{{a'x + b'}}\,\,\left( {a \ne 0,b \ne 0} \right)$
Bước 1: Tìm tập xác định của hàm số
Bước 2: Khảo sát sự biến thiên của hàm số
a) Tìm tiệm cận đứng và tiệm cận xiên
b) Lập bảng biến thiên
• Lấy đạo hàm y’
• Giải phương trình y’ = 0
• Lập bảng biến thiên.
• Chỉ ra khoảng đồng biến và nghịch biến.
• Chỉ ra các điểm cực trị.
Bước 3:Vẽ đồ thị cần thực hiện theo thứ tự gợi ý sau:
• Vẽ hệ trục tọa độ Oxy và xác định giao điểm với Ox,Oy.
• Vẽ 2 đường tiệm cận đứng và ngang.
• Nhận xét hàm số có bao nhiêu dạng đồ thị và áp dụng dạng đồ thị phù hợp cho bài toán của mình (tham khảo các dạng đồ thị ở sau mỗi dạng hàm số)
II. VẬN DỤNG
Ví dụ: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số $y = \frac{{{x^2} + 2x + 2}}{{x + 1}}$
Giải
1. Hàm số có tập xác định là R\{-1}
2. Sự biến thiên của hàm số
a) Giới hạn tại vô cực, giới hạn vô cực và các đường tiệm cận
Ta viết hàm số đã cho dưới dạng:
$y = x + 1 + \frac{1}{{x + 1}}$
Ta có: $\mathop {\lim \left( y \right)}\limits_{x \to - \infty } = - \infty ;\,\mathop {\lim \left( y \right)}\limits_{x \to + \infty } = + \infty $
Vì $\mathop {\lim \left( y \right)}\limits_{x \to {{\left( { - 1} \right)}^ - }} = - \infty ;\,\mathop {\lim \left( y \right)}\limits_{x \to {{\left( { - 1} \right)}^ + }} = + \infty $
nên đường thẳng x = -1 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho (x →(- 1)-, x →(- 1)+)
Vì $\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left[ {y - \left( {x + 1} \right)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left[ {\frac{1}{{x + 1}}} \right] = 0$ và
$\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left[ {y - \left( {x + 1} \right)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left[ {\frac{1}{{x + 1}}} \right] = 0$
nên đường thẳng y = x+1 là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số đã cho (khi (x → + ∞, x → - ∞)
b) Bảng biến thiên
$y' = \frac{{{x^2} + 2x}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} = 0 \to \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = - 2\end{array} \right.$
Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng ( - ∞; - 2) , nghịch biến trên mỗi khoảng (-2;-1) và (-1;0).
Hàm số đạt cực đại tại điểm x = -2 với giá trị cực đại y(-2)= -2 và đạt giá trị cực tiểu tại điểm x = 0 với giá trị cực tiểu y(0)=2.
3. Đồ thị
Đồ thị cắt trục tung tại điểm (0;2)
Nhận xét: Đồ thị nhận giao điểm I (-1;0) của hai đường tiệm cận làm tâm đối xứng.
Chỉnh sửa cuối:
