Trong các đề thi đại học những năm gần đây, ta hay gặp những Bài toán về bất phương trình, nhất là các bất phương trình chứa căn. Nhằm giúp các bạn luyện thi đại học đạt kết quả tốt, bài viết này chúng tôi xin giới thiệu một số dạng Bài và kỹ năng giải.
A. PHƯƠNG PHÁP BIẾN ĐỔI TƯƠNG ĐƯƠNG.
* Hai bất phương trình được gọi tương đương khi chúng có cùng tập nghiệm.
* Một số phép biến đổi tương đương:
1. Phép lũy thừa hai vế:
a) $\sqrt[{2k + 1}]{{f(x)}} > \sqrt[{2k + 1}]{{g(x)}} \Leftrightarrow f(x) > g(x)$.
b) $\sqrt[{2k}]{{f(x)}} > \sqrt[{2k}]{{g(x)}} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}g(x) \ge 0\\f(x) > g(x)\end{array} \right.$.
*) $\sqrt A > B \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}B \ge 0\\A > {B^2}\end{array} \right.$ hoặc $\left\{ \begin{array}{l}B < 0\\A \ge 0\end{array} \right.$.
*) $\sqrt A < B \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}B > 0\\A \ge 0\\A < {B^2}\end{array} \right.$.
*) $\sqrt A < \sqrt B \Leftrightarrow 0 \le A < B$.
( Đối với các trường hợp còn lại với dấu ≥, ≤,< các bạn có thể tự suy luận ).
2. Lưu ý:
Đặc biệt chú ý tới điều kiện của Bài toán. Nếu điều kiện đơn giản có thể kết hợp vào bất phương trình, còn điều kiện phức tạp nên để riêng.
3. Ví dụ:
Bài 1: Giải các bất phương trình sau:
a) $\sqrt {x - 3} < 2x – 1$;
b) $\sqrt {{x^2} - x + 1} \le x + 3$
c) $\sqrt {3x - 2} > 4x – 3$;
d) $\sqrt {3{x^2} + x - 4} \ge x + 1$
a) $\sqrt {x - 3} < 2x - 1 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2x - 1 > 0\\x - 3 \ge 0\\x - 3 < {\left( {2x - 1} \right)^2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > \frac{1}{2}\\x \ge 3\\4{x^2} - 5x + 4 > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow x \ge 3$.
Vậy bất phương trình có tập nghiệm là: [3; + ∞).
b) $\sqrt {{x^2} - x + 1} \le x + 3 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x^2} - x + 1 \ge 0\\x + 3 \ge 0\\{x^2} - x + 1 \le {\left( {x + 3} \right)^2}\end{array} \right. \Leftrightarrow x \ge - \frac{8}{7}$.
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là: [- 8/7; + ∞).
Hai Bài tập còn lại các bạn tự giải.
Bài 2: Giải bất phương trình: $\sqrt {x + 4} - \sqrt {1 - x} \le \sqrt {1 - 2x} $ (1).
* Vậy tập nghiệm: [- 4;0].
II. Kỹ thuật chia điều kiện.
1. Kỹ thuật:
Nếu Bài toán có điều kiện là x ∈ D mà D = D$_1$ ∪ D$_2$ ∪ D$_3$ ∪ ….∪ D$_n$ ta có thể chia Bài toán theo n trường hợp của điều kiện:
Cần phải xác định giao, hợp trên các tập con của R thành thạo.
3. Ví dụ:
Bài 1: Giải BPT: $\frac{{\sqrt { - 3{x^2} + x + 4} + 2}}{x} < 2$ (1)
* Với 0 < x ≤ 4/3 (i)
* ta có
$\begin{array}{l}\left( 1 \right) \Leftrightarrow \sqrt { - 3{x^2} + x + 4} < 2x - 2 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2x - 2 \ge 0\\ - 3{x^2} + x + 4 < {\left( {2x - 2} \right)^2}\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 1\\7{x^2} - 9x > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow x > \frac{9}{7}\left( {ii} \right)\end{array}$
Kết hợp (i) và (ii) ta có tập nghiệm là T$_1$ = (9/7; 4/3].
* Với – 1 ≤ x < 0 thì (1) luôn đúng. Tập nghiệm trong trường hợp này là T$_2$ = [-1 ;0).
Vậy tập nghiệm của (1) là T = T$_1$ ∪ T$_2$ = (9/7; 4/3] ∪ [-1 ;0).
II. Kỹ thuật khai căn.
1) Đưa biểu thức ra ngoài căn thức
* $\sqrt {{A^2}} = \left| A \right| = \left\{ \begin{array}{l}A(A \ge 0)\\ - A(A < 0)\end{array} \right.$ .
* $\sqrt {\frac{{{A^2}y}}{{{E^2}x}}} = \left| {\frac{A}{E}} \right|\sqrt {\frac{y}{x}} (E,x \ne 0)$.
* $\sqrt[{2n}]{{{A^{2n}}}} = \left| A \right|$
* $\sqrt[{2n + 1}]{{{A^{2n + 1}}}} = A$
2) Lưu ý:
Biến đổi các biểu thức trong căn thức thành hằng đẳng thức.
3) Ví dụ :
Giải bất phương trình: $\sqrt {x + 2\sqrt {x - 1} } + \sqrt {x - 2\sqrt {x - 1} } > \frac{3}{2}$ (1)
* Với $\sqrt {x - 1} - 1 \ge 0 \Leftrightarrow x - 1 \ge 1 \Leftrightarrow x \ge 2$ luôn thỏa mãn bất phương trình (2).
Vậy trong trường hợp này tập ngiệm là T$_1$ = [2 ;+ ∞).
* Với $\sqrt {x - 1} - 1 < 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 1\\x - 1 < 1\end{array} \right. \Leftrightarrow 1 \le x < 2$ bất phương trình (2) trở thành:
$\sqrt {x - 1} + 1 + 1 - \sqrt {x - 1} > \frac{3}{2} \Leftrightarrow 2 > \frac{3}{2}$ (luôn đúng).
Vậy tập nghiệm của (1) trong trường hợp này là T$_2$=[1 ;2).
KL: Tập nghiệm của (1) là T = T$_1$ ∪ T$_2$ = [1; + ∞).
* Chú ý: Bài này ta có thể giải bằng phương pháp bình phương hai vế.
IV. Kỹ thuật phân tích thành nhân tử đưa về bất phương trình tích.
1. Bất phương trình tích:
Trên điều kiện của bất phương trình ta có :
*$f(x)g(x) > 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}f(x) > 0\\g(x) > 0\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}f(x) < 0\\g(x) < 0\end{array} \right.\end{array} \right.$
* $f(x)g(x) \ge 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}f(x) = 0\\\left\{ \begin{array}{l}f(x) > 0\\g(x) \ge 0\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}f(x) < 0\\g(x) \le 0\end{array} \right.\end{array} \right.$
Các trường hợp còn lại, các bạn tự suy luận.
2. Lưu ý:
Đây là kỹ thuật giải đòi hỏi có tư duy cao, kỹ năng phân tích thành nhân tử thành thạo, cần phải nhìn ra nhân tử chung nhanh.
3. Ví dụ :
Giải bất phương trình: $\sqrt {x - 1} \left( {3{x^2} - x + 1} \right) - 3{x^3} - 1 \ge 0$ (1)
$\begin{array}{l}
\left( 1 \right) \to x - 1 + 3{x^2}\sqrt {x - 1} + \sqrt {x - 1} - x\sqrt {x - 1} - 3{x^3} - x \ge 0\\
\Leftrightarrow \sqrt {x - 1} \left( {\sqrt {x - 1} + 3{x^2} + 1} \right) - x\left( {\sqrt {x - 1} + 3{x^2} + 1} \right) \ge 0\\
\Leftrightarrow \left( {\sqrt {x - 1} - x} \right)\left( {\sqrt {x - 1} + 3{x^2} + 1} \right) \ge 0\\
\Leftrightarrow \left( {\sqrt {x - 1} - x} \right) \ge 0\,\,\,\left( {do\,\,\sqrt {x - 1} + 3{x^2} + 1 > 0\,\,khi\,x \ge 1} \right)\\
\Leftrightarrow \sqrt {x - 1} \ge x \Leftrightarrow x - 1 \ge {x^2} \Leftrightarrow {x^2} - x + 1 \le 0\left( {vo\,nghiem} \right)
\end{array}$
Vậy bất phương trình đã cho vô nghiệm.
V. Kỹ thuật nhân chia liên hợp
1. Biểu thức nhân chia liên hợp:
* $\sqrt A \pm \sqrt B = \frac{{A - B}}{{\sqrt A \mp \sqrt B }}(A \ne B)$.
* $\frac{1}{{\sqrt A \pm \sqrt B }} = \frac{{\sqrt A \mp \sqrt B }}{{A - B}}(A \ne B)$.
2. Lưu ý:
+) Nên nhẩm với một số nghiệm nguyên đơn giản.
+) Chú ý tới các biểu thức nhân chia liên hợp.
3. Ví dụ:
Giải bất phương trình: $\sqrt {{x^2} + 15} < 3x - 2 + \sqrt {{x^2} + 8} $ (1)
$\begin{array}{l}
\left( 1 \right) \Leftrightarrow \sqrt {{x^2} + 15} - \sqrt {{x^2} + 8} < 3x - 2\\
\Leftrightarrow \frac{{{x^2} + 15 - {x^2} - 8}}{{\sqrt {{x^2} + 15} + \sqrt {{x^2} + 8} }} < 3x - 2 \Leftrightarrow \frac{7}{{\sqrt {{x^2} + 15} + \sqrt {{x^2} - 8} }} < 3x - 2\left( 2 \right)
\end{array}$
Từ (2) ta có $3x - 2 > 0 \Leftrightarrow x > \frac{2}{3}$.
* Mặt khác:
$\begin{array}{l}\left( 1 \right) \Leftrightarrow \sqrt {{x^2} + 15} - 4 < 3x - 3 + \sqrt {{x^2} + 8} - 3\\ \Leftrightarrow \frac{{{x^2} - 1}}{{\sqrt {{x^2} + 15} + 4}} < 3(x - 1) + \frac{{{x^2} - 1}}{{\sqrt {{x^2} + 8} + 3}}\\ \Leftrightarrow \left( {x - 1} \right)\left( {\frac{{x + 1}}{{\sqrt {{x^2} + 15} + 4}} - 3 - \frac{{x + 1}}{{\sqrt {{x^2} + 8} + 3}}} \right) < 0\left( 3 \right)\end{array}$
* Lại có : Vì x > 2/3 nên
$\begin{array}{l}\sqrt {{x^2} + 15} + 4 > \sqrt {{x^2} + 8} + 3 \Leftrightarrow \frac{{x + 1}}{{\sqrt {{x^2} + 15} + 4}} < \frac{{x + 1}}{{\sqrt {{x^2} + 8} + 3}}\\ \Rightarrow \frac{{x + 1}}{{\sqrt {{x^2} + 15} + 4}} - \frac{{x + 1}}{{\sqrt {{x^2} + 8} + 3}} - 3 < 0\end{array}$
.
Vậy (3) ⇔ x – 1 > 0 ⇔ x > 1.
KL : bất phương trình(1) có tập nghiệm là T=(1 ; + ∞).
* Chú ý: Trong Bài toán này, việc thêm bớt, nhóm các số hạng với nhau để xuất hiện nhân tử chung xuất phát từ việc nhẩm được khi x=1 thì hai vể của bất phương trìnhbằng nhau.
Thường dùng cách giải tương tự cho Bài toán : $\sqrt {{x^2} + {a^2}} < cx - d + \sqrt {{x^2} + {b^2}} $.
Bài tập tương tự : Giải bất phương trình: $\sqrt {3x + 1} - \sqrt {6 - x} + 3{x^2} - 14x - 8 \le 0$
(Dựa vào ĐH_B_2010).
VI. Một số Bài tập tự luyện : Giải các bất phương trìnhsau:
1, $\sqrt {x + 4\sqrt {x - 4} } + \sqrt {x - 4\sqrt {x - 4} } \ge \frac{{x + 3}}{2}$.
2, $\frac{{{x^2}}}{{\sqrt {3x - 2} }} - \sqrt {3x - 2} < 1 – x$.
3, $\sqrt {x + \sqrt {2x - 1} } + \sqrt {x - \sqrt {2x - 1} } > \sqrt 2 $.
4, $\sqrt {3x + 4} - \sqrt {2x + 1} \le \sqrt {3 + x}$.
5, $(4x - 1)\sqrt {{x^2} + 1} > 2{x^2} + 2x + 1$.
6, $\left( {{x^2} - 3x} \right)\sqrt {2{x^2} - 3x - 2} \ge 0$ (ĐH_D_2002 )
7, $\frac{{\sqrt {{x^2} - 16} }}{{\sqrt {x - 3} }} + \sqrt {x - 3} > \frac{5}{{\sqrt {x - 3} }}$.
8, $\frac{1}{{\sqrt {2{x^2} + 3x - 5} }} > \frac{1}{{2x - 1}}$.
9, $\frac{{1 - \sqrt {1 - 4{x^2}} }}{x} < 3$.
10, $\sqrt {{x^2} - 8x + 15} + \sqrt {{x^2} - 2x + 15} \le \sqrt {4{x^2} - 18x + 18} $.
11, $\frac{{2{x^2}}}{{{{\left( {3 - \sqrt {9 + 2x} } \right)}^2}}} < x + 21$.
12, $4{\left( {x + 1} \right)^2} < \left( {2x + 10} \right){\left( {1 - \sqrt {3 + 2x} } \right)^2}$.
13, $\sqrt {x + \frac{1}{{{x^2}}}} + \sqrt {x - \frac{1}{{{x^2}}}} \ge \frac{2}{x}$
14, $\sqrt {{x^4} + {x^2} + 1} + \sqrt {x\left( {{x^2} - x + 1} \right)} \le \sqrt {\frac{{{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^3}}}{x}} $.
A. PHƯƠNG PHÁP BIẾN ĐỔI TƯƠNG ĐƯƠNG.
* Hai bất phương trình được gọi tương đương khi chúng có cùng tập nghiệm.
* Một số phép biến đổi tương đương:
- Cộng (trừ) hai vế của bất phương trình với cùng một biểu thức mà không làm thay đổi điều kiện của bất phương trình.
- Nhân (chia) hai vế của bất phương trình với cùng một biểu thức ( luôn dương hoặc âm) mà không làm thay đổi điều kiện của bất phương trình.
- Lũy thừa bậc lẻ hai vế, khai căn bậc lẻ hai vế của một bất phương trình.
- Lũy thừa bậc chẵn hai vế, khai căn bậc chẵn hai vế khi hai vế của bất phương trình cùng dương.
- Nghịch đảo hai vế của bất phương trình khi hai vế cùng dương ta phải đổi chiều.
1. Phép lũy thừa hai vế:
a) $\sqrt[{2k + 1}]{{f(x)}} > \sqrt[{2k + 1}]{{g(x)}} \Leftrightarrow f(x) > g(x)$.
b) $\sqrt[{2k}]{{f(x)}} > \sqrt[{2k}]{{g(x)}} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}g(x) \ge 0\\f(x) > g(x)\end{array} \right.$.
*) $\sqrt A > B \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}B \ge 0\\A > {B^2}\end{array} \right.$ hoặc $\left\{ \begin{array}{l}B < 0\\A \ge 0\end{array} \right.$.
*) $\sqrt A < B \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}B > 0\\A \ge 0\\A < {B^2}\end{array} \right.$.
*) $\sqrt A < \sqrt B \Leftrightarrow 0 \le A < B$.
( Đối với các trường hợp còn lại với dấu ≥, ≤,< các bạn có thể tự suy luận ).
2. Lưu ý:
Đặc biệt chú ý tới điều kiện của Bài toán. Nếu điều kiện đơn giản có thể kết hợp vào bất phương trình, còn điều kiện phức tạp nên để riêng.
3. Ví dụ:
Bài 1: Giải các bất phương trình sau:
a) $\sqrt {x - 3} < 2x – 1$;
b) $\sqrt {{x^2} - x + 1} \le x + 3$
c) $\sqrt {3x - 2} > 4x – 3$;
d) $\sqrt {3{x^2} + x - 4} \ge x + 1$
Giải:
a) $\sqrt {x - 3} < 2x - 1 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2x - 1 > 0\\x - 3 \ge 0\\x - 3 < {\left( {2x - 1} \right)^2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > \frac{1}{2}\\x \ge 3\\4{x^2} - 5x + 4 > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow x \ge 3$.
Vậy bất phương trình có tập nghiệm là: [3; + ∞).
b) $\sqrt {{x^2} - x + 1} \le x + 3 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x^2} - x + 1 \ge 0\\x + 3 \ge 0\\{x^2} - x + 1 \le {\left( {x + 3} \right)^2}\end{array} \right. \Leftrightarrow x \ge - \frac{8}{7}$.
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là: [- 8/7; + ∞).
Hai Bài tập còn lại các bạn tự giải.
Bài 2: Giải bất phương trình: $\sqrt {x + 4} - \sqrt {1 - x} \le \sqrt {1 - 2x} $ (1).
Giải
* (1) $\begin{array}{l} \Leftrightarrow \sqrt {x + 4} \le \sqrt {1 - x} + \sqrt {1 - 2x} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}1 - x \ge 0\\1 - 2x \ge 0\\x + 4 \ge 0\\x + 4 \le {\left( {\sqrt {1 - x} + \sqrt {1 - 2x} } \right)^2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 4 \le x \le \frac{1}{2}\\2x + 1 \le \sqrt {2{x^2} - 3x + 1} \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 4 \le x \le \frac{1}{2}\\\left[ \begin{array}{l}2x + 1 < 0\\\left\{ \begin{array}{l}2x + 1 \ge 0\\2{x^2} - 3x + 1 \ge {\left( {2x + 1} \right)^2}\end{array} \right.\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 4 \le x \le \frac{1}{2}\\\left[ \begin{array}{l}x < - \frac{1}{2}\\\left\{ \begin{array}{l}x \ge - \frac{1}{2}\\ - \frac{7}{2} \le x \le 0\end{array} \right.\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow - 4 \le x \le 0\end{array}$* Vậy tập nghiệm: [- 4;0].
II. Kỹ thuật chia điều kiện.
1. Kỹ thuật:
Nếu Bài toán có điều kiện là x ∈ D mà D = D$_1$ ∪ D$_2$ ∪ D$_3$ ∪ ….∪ D$_n$ ta có thể chia Bài toán theo n trường hợp của điều kiện:
- Trường hợp 1: x ∈ D$_1$, giải bất phương trình ta tìm được tập nghiệm T$_1$.
- Trường hợp 2: x ∈ D$_2$, giải bất phương trình tìm được tập nghiệm T$_2$.
- Trường hợp n: x ∈ D$_n$, giải bất phương trình tìm được tập nghiệm T$_n$.
- Tập nghiệm của bất phương trình là T = T$_1$ ∪ T$_2$ ∪ T$_3$ ∪ ….∪ T$_n$ .
Cần phải xác định giao, hợp trên các tập con của R thành thạo.
3. Ví dụ:
Bài 1: Giải BPT: $\frac{{\sqrt { - 3{x^2} + x + 4} + 2}}{x} < 2$ (1)
Giải
* Điều kiện: $\left\{ \begin{array}{l}x \ne 0\\ - 1 \le x \le \frac{4}{3}\end{array} \right.$.* Với 0 < x ≤ 4/3 (i)
* ta có
$\begin{array}{l}\left( 1 \right) \Leftrightarrow \sqrt { - 3{x^2} + x + 4} < 2x - 2 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2x - 2 \ge 0\\ - 3{x^2} + x + 4 < {\left( {2x - 2} \right)^2}\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 1\\7{x^2} - 9x > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow x > \frac{9}{7}\left( {ii} \right)\end{array}$
Kết hợp (i) và (ii) ta có tập nghiệm là T$_1$ = (9/7; 4/3].
* Với – 1 ≤ x < 0 thì (1) luôn đúng. Tập nghiệm trong trường hợp này là T$_2$ = [-1 ;0).
Vậy tập nghiệm của (1) là T = T$_1$ ∪ T$_2$ = (9/7; 4/3] ∪ [-1 ;0).
II. Kỹ thuật khai căn.
1) Đưa biểu thức ra ngoài căn thức
* $\sqrt {{A^2}} = \left| A \right| = \left\{ \begin{array}{l}A(A \ge 0)\\ - A(A < 0)\end{array} \right.$ .
* $\sqrt {\frac{{{A^2}y}}{{{E^2}x}}} = \left| {\frac{A}{E}} \right|\sqrt {\frac{y}{x}} (E,x \ne 0)$.
* $\sqrt[{2n}]{{{A^{2n}}}} = \left| A \right|$
* $\sqrt[{2n + 1}]{{{A^{2n + 1}}}} = A$
2) Lưu ý:
Biến đổi các biểu thức trong căn thức thành hằng đẳng thức.
3) Ví dụ :
Giải bất phương trình: $\sqrt {x + 2\sqrt {x - 1} } + \sqrt {x - 2\sqrt {x - 1} } > \frac{3}{2}$ (1)
Giải
$\begin{array}{l}\left( 1 \right) \Leftrightarrow \sqrt {x - 1 + 2\sqrt {x - 1} + 1} + \sqrt {x - 1 - 2\sqrt {x - 1} + 1} > \frac{3}{2}\\ \Leftrightarrow \sqrt {{{\left( {\sqrt {x - 1} + 1} \right)}^2}} + \sqrt {{{\left( {\sqrt {x - 1} - 1} \right)}^2}} > \frac{3}{2}\\\left\{ \begin{array}{l}x \ge 1\\\sqrt {x - 1} + 1 + \left| {\sqrt {x - 1} - 1} \right| > \frac{3}{2}(2)\end{array} \right.\end{array}$* Với $\sqrt {x - 1} - 1 \ge 0 \Leftrightarrow x - 1 \ge 1 \Leftrightarrow x \ge 2$ luôn thỏa mãn bất phương trình (2).
Vậy trong trường hợp này tập ngiệm là T$_1$ = [2 ;+ ∞).
* Với $\sqrt {x - 1} - 1 < 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 1\\x - 1 < 1\end{array} \right. \Leftrightarrow 1 \le x < 2$ bất phương trình (2) trở thành:
$\sqrt {x - 1} + 1 + 1 - \sqrt {x - 1} > \frac{3}{2} \Leftrightarrow 2 > \frac{3}{2}$ (luôn đúng).
Vậy tập nghiệm của (1) trong trường hợp này là T$_2$=[1 ;2).
KL: Tập nghiệm của (1) là T = T$_1$ ∪ T$_2$ = [1; + ∞).
* Chú ý: Bài này ta có thể giải bằng phương pháp bình phương hai vế.
IV. Kỹ thuật phân tích thành nhân tử đưa về bất phương trình tích.
1. Bất phương trình tích:
Trên điều kiện của bất phương trình ta có :
*$f(x)g(x) > 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}f(x) > 0\\g(x) > 0\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}f(x) < 0\\g(x) < 0\end{array} \right.\end{array} \right.$
* $f(x)g(x) \ge 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}f(x) = 0\\\left\{ \begin{array}{l}f(x) > 0\\g(x) \ge 0\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}f(x) < 0\\g(x) \le 0\end{array} \right.\end{array} \right.$
Các trường hợp còn lại, các bạn tự suy luận.
2. Lưu ý:
Đây là kỹ thuật giải đòi hỏi có tư duy cao, kỹ năng phân tích thành nhân tử thành thạo, cần phải nhìn ra nhân tử chung nhanh.
3. Ví dụ :
Giải bất phương trình: $\sqrt {x - 1} \left( {3{x^2} - x + 1} \right) - 3{x^3} - 1 \ge 0$ (1)
Giải
Điều kiện: x ≥ 1 (*)$\begin{array}{l}
\left( 1 \right) \to x - 1 + 3{x^2}\sqrt {x - 1} + \sqrt {x - 1} - x\sqrt {x - 1} - 3{x^3} - x \ge 0\\
\Leftrightarrow \sqrt {x - 1} \left( {\sqrt {x - 1} + 3{x^2} + 1} \right) - x\left( {\sqrt {x - 1} + 3{x^2} + 1} \right) \ge 0\\
\Leftrightarrow \left( {\sqrt {x - 1} - x} \right)\left( {\sqrt {x - 1} + 3{x^2} + 1} \right) \ge 0\\
\Leftrightarrow \left( {\sqrt {x - 1} - x} \right) \ge 0\,\,\,\left( {do\,\,\sqrt {x - 1} + 3{x^2} + 1 > 0\,\,khi\,x \ge 1} \right)\\
\Leftrightarrow \sqrt {x - 1} \ge x \Leftrightarrow x - 1 \ge {x^2} \Leftrightarrow {x^2} - x + 1 \le 0\left( {vo\,nghiem} \right)
\end{array}$
Vậy bất phương trình đã cho vô nghiệm.
V. Kỹ thuật nhân chia liên hợp
1. Biểu thức nhân chia liên hợp:
* $\sqrt A \pm \sqrt B = \frac{{A - B}}{{\sqrt A \mp \sqrt B }}(A \ne B)$.
* $\frac{1}{{\sqrt A \pm \sqrt B }} = \frac{{\sqrt A \mp \sqrt B }}{{A - B}}(A \ne B)$.
2. Lưu ý:
+) Nên nhẩm với một số nghiệm nguyên đơn giản.
+) Chú ý tới các biểu thức nhân chia liên hợp.
3. Ví dụ:
Giải bất phương trình: $\sqrt {{x^2} + 15} < 3x - 2 + \sqrt {{x^2} + 8} $ (1)
Giải
* Ta có $\begin{array}{l}
\left( 1 \right) \Leftrightarrow \sqrt {{x^2} + 15} - \sqrt {{x^2} + 8} < 3x - 2\\
\Leftrightarrow \frac{{{x^2} + 15 - {x^2} - 8}}{{\sqrt {{x^2} + 15} + \sqrt {{x^2} + 8} }} < 3x - 2 \Leftrightarrow \frac{7}{{\sqrt {{x^2} + 15} + \sqrt {{x^2} - 8} }} < 3x - 2\left( 2 \right)
\end{array}$
Từ (2) ta có $3x - 2 > 0 \Leftrightarrow x > \frac{2}{3}$.
* Mặt khác:
$\begin{array}{l}\left( 1 \right) \Leftrightarrow \sqrt {{x^2} + 15} - 4 < 3x - 3 + \sqrt {{x^2} + 8} - 3\\ \Leftrightarrow \frac{{{x^2} - 1}}{{\sqrt {{x^2} + 15} + 4}} < 3(x - 1) + \frac{{{x^2} - 1}}{{\sqrt {{x^2} + 8} + 3}}\\ \Leftrightarrow \left( {x - 1} \right)\left( {\frac{{x + 1}}{{\sqrt {{x^2} + 15} + 4}} - 3 - \frac{{x + 1}}{{\sqrt {{x^2} + 8} + 3}}} \right) < 0\left( 3 \right)\end{array}$
* Lại có : Vì x > 2/3 nên
$\begin{array}{l}\sqrt {{x^2} + 15} + 4 > \sqrt {{x^2} + 8} + 3 \Leftrightarrow \frac{{x + 1}}{{\sqrt {{x^2} + 15} + 4}} < \frac{{x + 1}}{{\sqrt {{x^2} + 8} + 3}}\\ \Rightarrow \frac{{x + 1}}{{\sqrt {{x^2} + 15} + 4}} - \frac{{x + 1}}{{\sqrt {{x^2} + 8} + 3}} - 3 < 0\end{array}$
.
Vậy (3) ⇔ x – 1 > 0 ⇔ x > 1.
KL : bất phương trình(1) có tập nghiệm là T=(1 ; + ∞).
* Chú ý: Trong Bài toán này, việc thêm bớt, nhóm các số hạng với nhau để xuất hiện nhân tử chung xuất phát từ việc nhẩm được khi x=1 thì hai vể của bất phương trìnhbằng nhau.
Thường dùng cách giải tương tự cho Bài toán : $\sqrt {{x^2} + {a^2}} < cx - d + \sqrt {{x^2} + {b^2}} $.
Bài tập tương tự : Giải bất phương trình: $\sqrt {3x + 1} - \sqrt {6 - x} + 3{x^2} - 14x - 8 \le 0$
(Dựa vào ĐH_B_2010).
VI. Một số Bài tập tự luyện : Giải các bất phương trìnhsau:
1, $\sqrt {x + 4\sqrt {x - 4} } + \sqrt {x - 4\sqrt {x - 4} } \ge \frac{{x + 3}}{2}$.
2, $\frac{{{x^2}}}{{\sqrt {3x - 2} }} - \sqrt {3x - 2} < 1 – x$.
3, $\sqrt {x + \sqrt {2x - 1} } + \sqrt {x - \sqrt {2x - 1} } > \sqrt 2 $.
4, $\sqrt {3x + 4} - \sqrt {2x + 1} \le \sqrt {3 + x}$.
5, $(4x - 1)\sqrt {{x^2} + 1} > 2{x^2} + 2x + 1$.
6, $\left( {{x^2} - 3x} \right)\sqrt {2{x^2} - 3x - 2} \ge 0$ (ĐH_D_2002 )
7, $\frac{{\sqrt {{x^2} - 16} }}{{\sqrt {x - 3} }} + \sqrt {x - 3} > \frac{5}{{\sqrt {x - 3} }}$.
8, $\frac{1}{{\sqrt {2{x^2} + 3x - 5} }} > \frac{1}{{2x - 1}}$.
9, $\frac{{1 - \sqrt {1 - 4{x^2}} }}{x} < 3$.
10, $\sqrt {{x^2} - 8x + 15} + \sqrt {{x^2} - 2x + 15} \le \sqrt {4{x^2} - 18x + 18} $.
11, $\frac{{2{x^2}}}{{{{\left( {3 - \sqrt {9 + 2x} } \right)}^2}}} < x + 21$.
12, $4{\left( {x + 1} \right)^2} < \left( {2x + 10} \right){\left( {1 - \sqrt {3 + 2x} } \right)^2}$.
13, $\sqrt {x + \frac{1}{{{x^2}}}} + \sqrt {x - \frac{1}{{{x^2}}}} \ge \frac{2}{x}$
14, $\sqrt {{x^4} + {x^2} + 1} + \sqrt {x\left( {{x^2} - x + 1} \right)} \le \sqrt {\frac{{{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^3}}}{x}} $.
Chỉnh sửa cuối:
